时间序列分析-第五章-非平稳序列的随机分析

应用时间序列分析实验报告

实验名称第五卓非平稳序列的随机分析

一、上机练习

拟合ARIMA模型

dataexample5_l;

input

difx=dif(x);

t=_n_;

cards;

1.05-0.84-1.420.2C2.816.725.404.38

5.524.462.89-0.43-4.86-8.54-11.54-16.22

-19.41-21.61-22.51-23.51-24.49-25.54-24.06-23.44

-23.41-24.17-21.58-19.00-14.14-12.69-9.48-10.29

-9.88-8.33-4.67-2.91-2.91-1.86-1.91-0.80

f

procgplot;

plotx*t;

symbolv=starc=blacki=join;

run;

输出时序图显示这是一个典型的非平稳序列。如图（1）所示:

考虑对该序列进行1阶差分运算，同时考察差分序列的平稳性，在原程序根底上添加相关命令，程

序修改如下：

procgplot;

plotx*tdifx*t;

symbolv=starc=blacki=join;

procarima;

identifyvar=x(1);

estimatep=l;

estimatep=lnoint;

forecastlead=5id=t;

run;

(1)我们在GPLOT过程中添加绘制了一个时序图，这是为了直观考察1阶差分后序列

的平稳性。所得时序图如图(2)所示：

图(2)

时序图显示差分后序列difx没有明显的非平稳特征。

(2)"identifyvar=x(l);M,使用该命令可以识别差分后序列的平稳性。纯随机性和适当的拟合

模型阶数。其中x(1)表示识别变量x的1阶差分后序列。识别局部的输出结果显示1阶差分后序列

difx为平稳非白噪声序列，而且具有显著的自相关系数不截尾、偏自相关系数1阶截尾的性质。

(3)"estimatep=l;”对1阶差分后序列拟合AR(1)模型。输出拟合结果显示常数项不显

著，添加或修改估计命令如下：

estimatep=lnoint;

这就是命令系统不要常数项拟合AR(1)模型，拟合结果显示模型显著且参数显著。如图(3)所示:

ConditionaILeastSquaresEstimation

StandardApprox

ParameterEstimateErrortValuePr>|t|Lag

AR1,10.669330.121185.52<.00011

VarianceEstimate2.987777

StdErrorEstimate1.728519

AIC154.3508

SBC156.0144

NumberofResiduaIs39

*AICandSBCdonotinc1udelo&determinant.

AutocorrelationCheckofResidua1s

ToChi-Pr>

LagSquareDFUdn0l、Aq—————————————————

65.68bU.333U-u.uazU.12U-u.ItiUU.l/1u.iuaU.1UU

127.48110.7593-0.1630.001-0.021-0.065-0.049-0.038

1810.31170.8802-0.1060.043-0.104-0.118-0.0670.012

2412.85230.9552-0.026-0.023-0.098-0.0730.096-0.039

输出结果显示，序列Xt的拟合模型为ARIMA(1,1,0)模型。

(4)**forecastlead=5id=t;M,利用拟合模型对序列Xt作5期预测。

拟合Auto-Regressive模型

在SAS系统中有一个AUTOREG程序,可以进行残差自回归模型拟合。下面以临时数据example5_2的

数据为例，介绍相关命令的使用。

一、建立数据集，绘制时序图

dataexample5_2;

input

t=_n_;

lagx=lag(x)；

cards;

3.038.4610.229.3011.962.83

8.4313.7716.1816.8419.5713.26

14.7824.4828.1628.2732.6218.44

25.2538.3643.7044.4650.6633.01

39.9760.1768.1268.3478.1549.84

62.2391.49103.20104.53118.1877.88

94.75138.36155.68157.46177.69117.15

procgplotdata=exampl€5_2;

plotx*t=1;

symbollc=blacki=joinv=start;

run;

输出时序图如图(4)所示：

图(4)

时序图显示，序列x有一个明显的随时间线性递增的趋势，同时又有一定规律性的波动，所以不妨

考虑使用误差自回归模型拟合该序到的开展。

二、因变量关于时间的回归模型

procautoregdata=example52;

modelx=t/dwprob;

run;

语句说明：

(1)“procautoregdata=exaniple52;”指令SAS系统对临时数据集example52进行自回归程序

分析。

(2)"modelx=t/dwprob;"指令SAS系统以变量I作为自变量，变量x作为因变量，建立线性模

型：

Xt=a+bt+Ut

并给出残差序列{Ul}DW检验统计量的分位点。

本例中，序列x关于变量I的线性回归模型最小二乘估计输出结具如图(5)所示。

OrdinaryLeastSquaresEstimates

SSE15464.5248DFE40

MSE386.61312RootMSE19.66248

SBC374.828818AIC371.353479

RegressR-Square0.8300TotalR-Square0.8300

Durbin-Watson0.7628Pr<DW<.0001

Pr>DW1.0000

图(5)序列关「变量i的线性回归模型最小二乘估计结果

本例输出结果显示，DW统计量的值等于0.7628,输出概率显示残差序列显著正相关。所以考虑对残

差序列拟合自相关模型，修改AUTOREG程序如下：

procautoregdata=example5_2;

modelx=t/nlag=5backstepmethod=ml;

run;

model语句是指令系统对线性回归模型Xt=a+bt+Ut的残差序列｛Ut｝显示延迟5阶的自相关图，并拟

合延迟5阶自现关图。

由于自相关延迟阶数确实定是由我们尝试选择的，所以nlag的价数通常会指定得大一些。这就导

致残差自回归模型中可能有局部参数不显著，因而添加逐步回归选项backstop,指令系统使用逐步回归

的方法筛选出显著自相关因子，并使用极大似然的方法进行参数估计。

输出结果如下四方面的结果：

1.因变量说明

TheAUTOREGProcedure

dependentVariablex

因变身说明

2.普通最小二乘估计结果

该局部输出信息包括误差平方和(SSE)、自由度(DFE)、均方误差(MSE)、根号均方误差(Root

MSE).SBC信息量、AIC信息量、回归局部相关系数平方(RegressR-Square)、总的相关系数平方(Totcl

R-Square),DW统计量(Durbin-Watson)及所有待估参数的自由度、估计值、标准差、t值和t统计

量的P值。如图(6)所示：

OrdinaryLeastSquaresEstimates

SSE15464.5248DFE40

MSE386.61312RootMSE19.66248

SBC374.828818AIC371.353479

RegressR-Square0.8300TotalR-Square»0.8300

Durbin-Watson0.7628

StandardApprox

VariableDFEstimateErrortValuePr>HI

Intercept1-20.91026.1780-3.380.0016

t13.49770.250313.97<.0001

图：6)普通最小二乘估计结果

3.回归误差分析

该局部共输出四方面的信息：残差序列自相关图、逐步回归消除的不显著项报告、初步均方误差

(MSE)、自回归参数估计。

本例该局部输出结果如图(7)圻示。

Eetimate©ofAutocorrelation©

g

CovarianceCorrelation-19876543210123456788

0

1388.21.000000

2221.90.602573

3116.10.315203

457.63010.158517***

521.81450.059246*

74.86440.203324

BackwardEliminationof

AutoregressiveTerms

LagEstimatetVa1uePr>III

3-0.035768-0.190.8537

20.0612500.370.7132

40.2167401.370.1801

5-0.168214-1.330.1925

PreIiminaryMSE234.5

EstimatesofAutoregressiveParameters

Standard

LasCoefficientErrortValue

1-0.6025730.127793-4.72

图（7）自回归误差分析输出结果

本例输出的残差序列自相关图显示残差序列有非常显著的1阶正相关性。逐步I可归消除报告显示除

了延迟1阶的序列值显著自相关外，延迟其他阶数的序列值均不具有显著地自相关性，因此延迟2阶、5

阶的自相关项被剔除。初步均方误差为234.5,1阶残差自I可归模型的参数为-0.6（）2573。

4.最终拟合模型

该局部输出三方面的汇总信息：收敛状况、极大似然估计结果和1n1归系数估计。

本例输出结果如图（8）所示.

TheAUTOREGProcedure

MaximumLikeIihoodEstimates

SSE10037.807DFE40

MSE250.94518RootMSE15.84125

渐357.312944AIR353.243605

RegressR-Square0.6876TotalR-Square0.9533

Durbin-Watson1.6975

NOTE：Nointercepttermisused.R-squaresareredefined.

StandardApprox

VariableDFEstimateErrortValuePr>HI

t12.76380.29489.38<.0001

ARI1-0.68830.1124-6.12<.0001

Autoregressiveparametersassumedgiven.

StandardApprox

VariableDFEstimateErrortValuePr>|t|

12.76380.23463.38<.0001

图(8)最终拟合模型输出结果

为了得到直观的拟合效果，还可以利用OUTPUT命令将拟合结具存入SAS数据集中，并对输出结

果作图，相关命令如下：

procautoregdata=example5_2;

modelx=t/nlag=5backstepmethod=mlnoint;

outputout=outp=xppm=trend;

procgplotdata=out;

plotx*t=2xp*t=3trenc*t=4/overlay;

symbol2v=stari=nonec=black;

symbol3v=nonei=joinc=redw=21=3;

symbol4v=nonei=joinc=greenw=2;

run；

语句说明：

<4outputout=outp=xppm=trend;"，该命令是指令系统将局部结果输入临时数据集OUT,

选择输出的笫个信息为整体模型的拟合值(P选项)，该拟合变量取名为XP：选择输出的第二个信息

为线性趋势拟合值〔PM选项)，还可以选择R选项输出拟合残差项，本例不要求输出此项。

输出图像如图(9)所示。

图(9)拟合效果图

三、延迟因空量回归模型

procautoregdata=example5_2;

modelx=lagx/lagdep=lacx;

run;

语句说明：

(l)首先在DATA步中添加命令"lagx=lag(x)；”，该语句指令系统使用延迟函数生成序列x的

I阶延迟序列，并将该序列赋值给变量lagx。

⑵“modelx=lagx/lagdep=lagx;”指令系统建立带有延迟因变量的回归模型并通过LAGDEP

选项指令被延迟的因变量名.木例偷出结果如图(10).

Dependentvariable

OrdinaryLeastSquaresEstimates

E

ssE11462.72DFE39

MSC293.91590Root.MSE17.14398

se354.744717AIC351.317573

Re0.8701TotalR-Square0.8701

DU-0.2916Pr<h0.3853

StandardApprox

VariableDFEstimateErrortValuePr>|t|

Intercept15.94594.07211.460.1523

lacx10.94010.058216.16<.0001

图(10)带延迟因变量回归分析结果

由于带有延迟因变量，所以这种场合在回归模型估计结果输出的是Durbinh统计量。本例中Durbin

h统计量的分布函数到达0.3853,这表示残差序列不存在显著地相关性，不需要考虑对残差序列继续拟

合自回归模型。

再注意参数检验结果，如图(II)所示。

StandardApprox

VariableDFEstimateErrortValuePr>Itl

Intercept15.94594.07211/60.1523

lagx10.94010.058216.16<.0001

图：11)参数估计结果

在显著性水平默认为005的条件下，截距项不显著1P值大于0.05),所以可以考虑在模型拟合命

令中增加NOINT选项。最后输出拟合结果，并绘制拟合时序图，相关命令如下:

procautoregdata=example5_2;

modelx=lagx/lagdep=lacxnoint;

outputout=outp=xp;

procgplotdata=out;

plotx*t=2xp*t=3/overlay;

symbol2v=stari=nonec=black;

symbol3v=nonei=joinc=redw=2;

run;

输出的拟合效果图如图(12)所示。

图(12)带有延迟因变成的回归模型拟合效果图

5.8.3拟合GARCH模型

SAS系统中AUTOREG过程功能非常强大，不仅可以提供上述的分析功能，还可以提供异方差性检

险乃至条件异方差模型建模。以临时数据集example5_3数据为例，介绍GARCH模型的拟合，相关

命令如下:

dataexample5_3;

inputx@@;

t=_n_;

cards;

10.7713.3016.6419.5418.9720.5224.36

23.5127.1630.8031.8431.6332.6834.90

33.8533.0935.4635.3239.9437.4735.24

33.0332.6735.2032.3€32.3438.4538.17

32.1439.7049.4247.8€48.3462.5063.56

67.6164.5966.1767.5C76.1279.3178.85

81.3487.0686.4193.2C82.9572.9661.10

61.2771.5888.3498.7C97.3197.1791.17

80.2085.1281.4070.8757.7552.3567.50

87.9585.4684.5598.16102.42113.02119.95

122.37126.96122.79127.96139.20141.05140.87

137.08145.53145.59134.36122.54106.9297.23

110.39132.40152.30154.91152.69162.67160.31

142.57146.54153.83141.81157.83161.79142.07

139.43140.92154.61172.33191.78199.27197.57

189.29181.49166.84154.28150.12165.17170.32

procgplotdata=example5_3;

plotx*t=l;

symbollc=blacki=joinv=start;

procautoregdata=example5_3;

modelx=t/nlag=5dwprobarchtest;

modelx=t/nlag=2nointgarch=(p=l,q=l)；

outputout=outp=presidual=residuallcl=lclucl=uclcev=cev;

dataout;

setout;

195=-1.96*sqrt(51.42515);

u95=l.96*sqrt(51.42515);

Lcl_GARCH=-l.96*sqrt(cev);

Ucl_GARCH=l.96*sqrt(cev);

Lcl_p=p-1.96*sqrt(cev);

Ucl_p=p+1.96*sqrt(cev);

procgplotdata=out;

plotresidual*t=2195*t=3LclGARCH*t=4u95*t=3Ucl_GARCH*t=4/overlay;

plotx*t=5lcl*t=3LCL_p*t=4ucl*t=3UCL_p*t=4/overlay;

symbol2c=greeni=needlev=none;

symbol3v=blacki=joinc=nonew=21=2;

symbol4c=redi=joinv=none;

symbolsc=greeni=joinv=none;

run;

该序列输出时序图如图(13)所示。

图(13)序列时序图

时序图显示序列具有显著线性递增趋势，且波动幅度随时间递增,所以考虑使用AUTOREG过程建

立序列｛Xt｝关于时间I的线性回归模型，并检验残差序列的自相关性和异方差性，如果检验结果显示我

差序列具有显著自相关性，建立残差自回归模型；如果残差序列具有显著异方差性，那么要建立条件异

方差模型。

语句说明：

(1)“modelx=t/nlag=5dwprobarchtest;M,该命令指令系统建立序列｛Xi｝关于时间t的线性

回灯模型，并检验残差序列5阶延迟的自相关性并输出DW检验的P值，同时对残差序列进行异方差检

验,

DW检验结果显示残差序列具有显著的正相关性，如图(14)所示。

OrdinaryLeastSquaresEstimates

SSE24013.8586DFE110

MSE218.30781RootMSE14.77524

SBC928.482631AIC923.045633

RegressR-Square0.9184TotalR-Square0.9184

Durbin-Watson0.3280Pr<DW<.0001

Pr>DW1.0000

图(14)普通最小二乘估计输山结果

残差序列5阶延迟自相关图显示残差序列至少具有2阶显著自相关性，如图(15)所示。

EstimatesofAutocorrelations

LagCovarianceCorrelation--138765432101234567891

0214.41.000000*«(*****************

1179.10.835094*****************

2116.90.545110*郴楙******

358.46830.272694*«<**

47.79430.036352*

5-22.9080-0.106843

图(15)残差序列自相关图

参数估计结果显示回归模型常熟截距项不显著，如图(16)所示。

StandardApprox

VariableDFEstimateErrortValuePr>|t|

Intercept15.92805.29961.120.2659

t11.52120.081018.78<.0001

图(16)线性回归模型参数估计结果

异方差检验结果显示，残差序列具有显著地异方差性，且具有显著地长期相关性，如图(17)所示。

QandLMTestsforARCHDisturbances

OrderQPr>QLMPr>LM

156.8872<.000155.8442<.D001

264.8438<.000167.8444<J001

366.0180<.000174.7982<J001

467.1297<.000176.6094<.D001

567.5047<.000176.7411<.D001

667.5465<.000176.8508<.D001

768.2509<.000176.9365<.D001

869.5583<.000176.9384<.D001

970.6655<.000176.9464<.D001

1071.5577<.000177.1134<.D001

1171.9196<.000177.8402<.D001

1271.9249<.000177.8512<.D001

图(17)异方差检验结果

⑵“modelx=t/nlag=2nointgarch=(p=l,q=l);M,综合考虑序列残差序列自现关性和异方差

性检验结果，尝试拟合无回归常数项的AR(2)-GARCH(1,1)模型。

模型最总拟合结果如图(18)所示。

GARCHEstimates

SSE5759.61713Observations112

MSE51.42515UncondVar216.158433

LocLikelihood-368.38039TotalR-Square0.9354

SBC765.07178AICM8.760787

NormalityTest2.3384Pr>ChiSq0.3106

NOTE：Nointercepttermisused.R-squaresareredefined.

StandardApprox

VariableDFEstimateErrortValuePr>HI

t11.64430.065725.03<.0001

ARI1-1.28390.0988-12.99<.0001

AR210.42920.09574.48<.0001

ARCH011.59342.03870.780.4345

ARCH110.28170.15961.760.0776

GARCH110.71090.13805.15<.0001

图(18)普通最小二乘估计输出结果

参数检验结果显示除GARCH(1.1)模型中的常数项不显著外，其他变量均显著，整个模型的1，2

高达0.9954,且正态性检验不显著(P值为0.3106),这与假定GARCH的残差函数£t/(ht)71/2)

服从正态分布相吻合，所以可以认为该模型拟合成功。

⑶aoutputout=outp=presidual=residuallcl=lclucl=uclcev=cev;”将估计值(p=),

残差(residual=),序列置信下限(lcl=),序列置信上限(Ucl=),条件方差(cev)的结果存入临

时数据集work.out»

后面整个data步的工作都是对结果数据集work.out进行数据加工，已获得以下数据：

残差序列方差齐性假定下95%的置信下限：195=T.96*sqrt(51.42515);

残差序列方差齐性假定下95%的置信上限：u95=l.96*sqrt(51.42515);

残差序列条件方差假定下95%的置信下限：Lcl_GARCII=-l.96*sqrt(cev);

残差序列条件方差假定下95%的置信上限：Ucl_GARCH=l.96*sqri(cev);

条件方差假定下，序列的95%的置信下限Lcl_p=p-1.96*sqrt(cev);

条件方差假定下，序列的95%的置信上限Ucl_p=p+1.96*sqrt(cev);

分别绘制两种拟合效果图，图(19)是针对残差序列的波动性拟合情况，及在方差齐性和非齐两种

假定下的置信区间，绘制命令如下：

plotresidual*t=2195*t=3Lcl_GARCH*t=4u95*t=3Ucl_GARCH*t=4/overlay;

图(19)残方行列在两种方差假定下的置信区间效果图

图(21)是原序列的拟合情况，及在方差齐性和非齐两种假定下的置信区间，绘图命令如下:

plotx*t=5lcl*t=3LCL_p*t=4ucl*t=3UCL_p*t=4/overlay;

图(21)序列在两种方差假定下的置信区间效果图

图中，中间的波动曲线为残差序列或原序列，虚线为根据无条件方差得到的95%置信区间，而实线

为根据条件方差得到的95%置信区间。

习题1

dataexample5_l;

inputx@@;

difx=dif(x);

t=n;

cards;

304303307299296293301293301295284286286287284

28227828127827727$278270268272273279279280275

271277278279283284282283279280280279278283278

270275273273272275273273272273272273271272271

27327727427427228C282292295295294290291288288

290293288289291293293290288287289292288288285

282286286287284283286282287286287292292294291

288289

/

procgplot;

plotx*t;

symbolv=starc=blacki=join;

procgplot;

plotx*tdifx*t;

symbolv=starc=blacki=join;

procarima;

identifyvar=x(1);

estimatep=l;

forecastlead=5id=t;

run;

实验结果:

图1.1序列时序图

由时序图可知，该序列不平稳，是一个非平稳序列。

图1.2序列difx时序图

差分运算的实质是使用自回归方式提取确定性信息，因此用1阶差分对序列的信息提取。该时序图

没方明显的非平稳特征。

ConditionalLeastSquaresEstimation

StandardApprox

ParameterEstimateErrortValuePr>IIILag

MU-0.142010.30359-0.470.64090

AR1,1-0.154780.09692-1.600.11331

ConstantEstimate-0.16399

VarianceEstimate12.99744

StdErrorEstimate3.605196

AIC574.6596

SBC579.9865

NumberofResidua1s106

AutocorrelationCheckotKesiduaIs

ToChi-Pr>

1c~

LagSquareUhrLnloqAutocorre1ations

e4.3150.5058-0.001-0.015-0.083-0.110-0.0300.134

1211.35110.41480.205-0.0210.020-0.1200.0470.028

1818.00170.38880.023-0.1160.116-0.132-0.0550.068

2425.30230.33520.0550.020-0.204-0.048-0.061-0.054

图1.3序列difx模型拟合结果

根据检验结果显示，该序列延达各阶的P值都大于显著性水平0.05,接受原假设，即股票的收盘价

1阶差分序列为非白噪声序列。

borecaststorvariablex

ObsForecastStdError95%ConfidenceLimits

108288.68123.6052281.6152295.7473

图1.4预测结果

由上图可得，预测该股票下一天的收盘价为288.6812。

习题5

dataexample5_l;

inJUL

difx=dif(x);

t=_n_;

cards;

22332360225421652024207822142292220721192119

2137

21321955178517471818190919581892191918531868

1991

21112119199118591856192418921916196819281898

1850

18411824182318431880196820291995193318051713

1726

17521795171716481512133813831344138414841597

1686

17371640161116321775185018091653164816651627