新结构：概率统计

24届2月优质模拟试题汇编（新结构）：概率统计（大题）

★一.解答题常见结论背景

一.二项分布

1.〃重伯努利试验的概念

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验称为〃重伯

努利试验.

2.〃重伯努利试验具有如下共同特征

（1）同一个伯努利试验重复做〃次；

（2）各次试验的结果相互独立.

3.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为用X表示事件A发生的次数，

则X的分布列为：P（X=Z）=C：p“l-p）T,Z=0J2…〃，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称

随机变量X服从二项分布，记作

X~B（n,p）

4.一般地，可以证明：如果X~伏〃,p）,那么EX=/中，DX=npQ-p）.

二.超几何分布

超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取

〃件（不放回），用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为尸（*=幻=竺口~»=叫加+1,血+2一..，

其中〃，N,MEN*,峪N,次=max{0,〃-N+M},r=min{w,M}.如果随机变量X的分布列具有上式

的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

2.超几何分布的期望

E（X）=^=np（p为N件产品的次品率）.

三.二项分布与超几何分布的区别

1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布,此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.

2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.

3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A或一般考查二项分布.

4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.

5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这

也是判断二项分布的最根本依据.

6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先拍，再抽”的题干

信息.

3.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件4发生的概率为〃用X表示事件4发生的次数，

k

则X的分布列为：P(X=k)=//(1-Py-,k=0,1,2,..nf如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称

随机变量X服从二项分布，记作

X~B(n,p)

4.一般地，可以证明：如果X~p),那么EX=，",DX=〃p(l—p).

四.二项分布的两类最值

(1)当〃给定时，可得到函数/(6=。)"1一〃)1次=01,2厂〃，这个是数列的最值问题.

Pk_C；pkQ-p)，i(〃-A+1)〃k(1-〃)+5+1)〃-A_]।(〃+1)〃一左

—=k(\-p)=k(\-p)=

分析：当％时，〃&>〃£_]，随〃值的增加而增加：当%>5+1)〃时，

Pk<Pk7,PA随攵值的增加而减少.如果(〃+1)〃为正整数，当％=(〃+1)〃时，Pk=Pi，此时这两项概率均

为最大值.如果5+1)〃为非整数，而攵取(〃+1)〃的整数部分，则P*是唯一的最大值.

注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量A等于期望时，概率最大.

(2)当人给定时，可得到函数f(p)=C：—…，〃£(0,1),这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

分析：f\p)=C：?PJ(\-p)n-k-pkp)"i]

=《(1一〃广1卜(1一p)-5-4)p]=〃)〃-i(k-np).

当Z=l,2,…,〃一1时，由于当时，/'(p)>0,/(p)单调递增，当〃〉人时，/'(p)<0,,f(p)单调递减，

nn

故当〃」时，/(〃)取得最大值，/(P)max=/(3•又当〃一°，/(P)f1，当〃-0时，/(〃)一°，从而一(〃)

nn

无最小值.

五.复杂概率计算

(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：4表示“第i局比

赛胜利”，则无表示“第，.局比赛失败”.

(2)理解事件中常见词语的含义：

A/中至少有一个发生的事件为AU5；都发生的事件为A8;4班都不发生的事件为A8；恰有一个发生

的事件为4五U彳6；A,B至多一个发生的事件为4万U15U彳万.

(3)善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用夕(A)=l-P(入)解

出所求事件概率.

六.条件概率

1.条件概率定义

一般地，设A3为两个随机事件，且尸(A)>0,我们称。(3|4)二里”为在事件A发生的条件下，事件8发

P(A)

生的条件概率，简称条件概率.

可以看到，P(8|A)的计算，亦可理解为在样本空间A中，计算A3的概率.于是就得到计算条件概率的第二种途，

n(AB)

n(AB)=n(Q)=P(AB)

即P(B\A)=〃⑷一厂一户⑷

〃(。)

特别地，当尸(B|A)=P(B)时,即4B相互独立，则尸(AB)=P(A)P(5).

2.条件概率的性质

设P(A)>0,全样本空间定义为Q,则

(1)P(C|A)=1；

(2)如果3与。是两个互斥事件，则P((3uC)|A)=P(5|A)+P(C|A)；

(3)设事件A和8互为对立事件，则P(耳IA)=1-P(B|A).

七.全概率公式与贝叶斯公式

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分

解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设小，从2,…，A”是一组两两互斥的事件，人=45..74=^,且P(A)>0，i=L2,…，nf则对

任意的事件BqC,有P(B)=£P(A)P(B|A).

r-l

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一.

2.贝叶斯公式

设4,从2,…,A〃是一组两两互斥的事件，AD…uA“=。，且尸(A)>0,i=l,2,…，〃，则对任意事件Bg。，

有p(ai8)="a)*®"1)=,"(，')"®,/=i,2，…,几在贝叶斯公式中，尸(耳)和P(AW)分别称为先验

P⑻”(A)P伊A)

k=\

概率和后验概率.

八.一维随机游走与马尔科夫链

1.转移概率：对于有限状态集合5,定义：4)=。(X用="乂")为从状态，到状态,/的转移概率.

2.马尔可夫链：若P(X“«j|X〃,‘，x”』,xo..)=I=Pl),即未来状态Xe只受当前状态X.的

影响，与之前的X1，X、2,…，X。无关.

3.一维短机游走模型.

设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻，=0时，位于点x=i(ieN+),下一个时刻，它将以概率。或

者夕(a£(0,1)。+/=1)向左或者向右平移一个单位.若记状态Xg表示:在时刻/该点位于位置x=i(iwN»

那么由全概率公式可得：

尸(X-)=P(Xw)•P(X…IXu)+尸―P(X,+I=/1Xu)

另一方面，由于P(X.1|X』T)=£,P(X,+』|X』.|)二a,代入上式可得：

■=。％+厂用・

进一步，我们假设在工=0与工=m(〃2>0,〃?£%+)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于

是，己=0,^=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为。，原地不动，其概率为力，向右平移一个

单位，其概率为C,那么根据全概率公式可得：

有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.

九.统计

1.线性回归方程与最小二乘法

(1)回归直线方程过样本点的中心(月田，是回归直线方程最常用的一个特征

(2)我们将»=去+6称为y关于X的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直

线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的〃，。叫做方，。的最小二乘估计(/easfsq”areses〃mme),其

b=--------=-------

£(七-可2力;一沅

f=Ir=l

A

a=y-bx.

(3)残差的概念

对于响应变量y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的亍称为预测值，观测值减去预测值称

为残差.残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存

在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

(4)刻画回归效果的方式

(i)残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图

形称为残差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好.

(ii)残差平方和法：残差平方和力(n-二)2,残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合

/=|

效果越差.

(iii)利用心刻画回归效果：决定系数斤是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立

-5j

预报变量的能力.内=1得"，乃越大，即拟合效果越好，序越小，模型拟合效果越差.

E(z-y)2

/=|

★二.优质模拟试题汇编

1.(浙江省温州市2024届高三上学期期末考试)现有标号依次为1,2,…，〃的〃个盒子，标号为1号的盒子里

有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2

号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从〃-1号盒子里取出2个球放入〃号盒子为止.

(1)当〃=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)当〃=3时，求3号盒子里的红球的个数J的分布列；

(3)记〃号盒子中红球的个数为X“，求X”的期望E(X“).

【详解】(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为2=等=

⑵由题可知4可取1,2,3,^=l)=||x||+^x||=^,

*=3)=1喀+管P(k2)=n)—P(­)=?

所以3号盒子里的红球的个数q的分布列为

123

7117

P

361836

(3)记%T为第，?(〃N2)号盒子有三个红球和一个白球的概率，则4=:，“I为第〃(〃22)号盒子有两个红球和两

6

711

个白球的概率，则伪=：b2=g则第〃(〃22)号盒子有一个红球和三个白球的概率为-如，且

31o

211

bn-\=T^-2+Tan-2+弓(1-%-2-2-2)(〃23),

J44

化解得加=?1*+1：，得心「3沁1心，―3―、卜*3=13而4,3="才々、3、，则数列九/31I为等比数列，首项

6256^5731553/51

11

此

因

以+

=--・

622♦

E(X”)=1xan_1++3x(1—a,-_2_J=3—2%—%=2.

2.(浙江省宁波市镇海中学2024届高三上学期期末)某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费

10元，现有以下两种方案.方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为Pi；方案二：每次抽卡抽中新

皮肤的概率为〃2,若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤.已知。＜〃2＜目＜1,玩家按照一、二两种方案进

行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为x,y(元).

(1)求x,y的分布列;

(2)求E(x)；

(3)若PI=2〃2=0.02,根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.(参考数据：0.9/!0.37.)

【详解】(1)X可取值10,20,30,…,，y可取值10.20，…,1000,当＞=A时，摸球次数为苏,没有抽中新皮肤的概

率为"Pi，故P(X=&)=(1-pj历t,-j^eN,

(1_〃2尸〃2,34

尸(y=2)=.

(l-p,)",A:=1000

(2)令A=£/(l—pji,则(1一〃|)八二之/(1一〃|)',故PjA=l+(l-pj+(l-整理得

/=|

至1」〃e=匕止血一

P\

所以A=若玩家按方案一抽卡，花费k元时抽到皮肤，则抽取次数为3而

月I。

k_k_

尸(X=s)=p«-pJ力，其中浑3s”.则£(x)=fs(l—月沛龙亲(Jpj广

5-1S-11U

1-(1一四)布±

=10--------------------〃(1-/I》。，

Pl

因为玩家按方案一抽卡次数无限制，且当〃时，&(]-p消->0，(if声_>0，

所以E(X)=W.

Pi

(3)A=2〃2=O.O2,即月=0.02,%=()♦()1,由(2)可得故石")=旦=50()；

0.02

若玩家按方案二抽卡，则y可取值10,20,…,1000,且2(丫=/)=0.0以0.99分，其中i=1()，20,…,990,

99

p(r=iooo)=0.99",故E(丫)=1ooox0.99"+1og卜x0.01x0.99^'j,

A=1

=01xf>0#0./3一巴工+I000M

普1710.0120.01J

=1000(1-0.99")-990x0.99"+1000x0.99"=I000-990x0.99w«1(X)()-990—«630

,70.99

因为E(x)〈矶y),故选择方案二.

3.(新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2024届高三第一次质量监测)我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈

现为4.8,4.9,5.0,5.1.视力25.0为正常视力.否则就是近视.某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽

查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：

(1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；(不需说明理由)

(2)估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；(精确到0.1)

(3)已知该地区学生的近视率为54%,学生成绩的优秀率为36%(成绩285分为优秀)，从该地区学生中任选一

人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率.(以样本中的频率作为相应的概率)

【详解】(1)因从频率分布直方图可以看到，不同成绩层次的同学近视率大致相当，故不能据此判断学生的学习成

绩与视力状况相关；

(2)由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为7%+13%+20%+24%=64%,因此第85百分位数一定位

于［90,100］内,

85-6435

由go+iOxMTrngo+magsw，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8；

(3)设A=”该地区近视学生”，6=“该地区优秀学生”，由频率分布直方图可得=(竿

。日。.54~)=。.36,所以2陋=锵=缥产=端衿=。.72.

，\UI，\UfIJ

即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为0.72.

4.(合肥一中2024届高三上学期期末)我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国

对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发

展.2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%,以公司与一零部件制造公司合作生

产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同

时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测.下面是某天从生产线上抽取的

10个零部件的质量分数(总分1000分，分数越高质量越好)：928、933、945、950、959、967、967、975、982、

994.假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布N(〃,2(>),并把这10个样本质量分数的平均

数［作为〃的值.

参考数据：若X〜则P(〃一bKXK〃+b)=0.68.

(1)求〃的值；

(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940?

(3)若从该生产线上随机抽取〃个零件中恰有4个零部件的质量分数在［940,980］内，则〃为何值时，P(^=1O)

的值最大？

【解析】

28+33+45+50+59+67+67+75+82+94

(1)=二900+=960,所以〃=960.

10

(2)由(1)知，X~N(960,202),

/、z、1一P(〃一。WXW1-0.68

P(X<940)=P(X<//-rr)=——---------------------——人-----------=0.16.

22

该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为0.16x1000=160.

(3)每个零部件的质量分数在［940,980］内的概率为P(//-cr<X<//+cr)«0.68,

,oM,o

由题意可知g〜8(〃,0.68),则P(J=10)=xO.68xO.32->

(,oM9

、+C'I1xO.68xO.32-().32〃+0.32

设/(〃)=C：°xO.68")x0.32…则二.人0.68隈0.3210—一口一令

0.32〃+0.32,-9.32…、0.32n+0.32,皿

------------------>1,得〃<-----»13.7,所以当〃<13时，+令A------------<1,得

72-90.68〃一9

o32

n>—«13.7,所以当〃214时，+所以〃=14时，/(〃)最大，故使尸(4=10)最大的n的

0.68

值为14.

5.（江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2

个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球.现按照如下规则摸球.从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随

机摸出2个球，摸球的结果是一红一白.

（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；

（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X,求X的数

学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）.

【详解】（1）设选择1号盒子后摸出一红一白的概率为片，设选择2号盒子后摸出一红一白的概率为4，则

片=罢4〃=萼=4,因为八人，所以较大可能选择1号盒子;

J3jo

99）

（2）由贝叶斯公式，选择1号盒子后猜中的概率＞=2=由题意得：X~B5,-,

945

所以qX）=5x行=正―

6.（江西省抚州市临川第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试）某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学

71

进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是；，乙获胜的概率是可，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，

先得3分者获胜，比赛结束.

（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；

（2）若甲以2:1领先乙时，记X表示比赛结束时还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望.

【详解】（1）甲3局全胜的概率为=■，乙3局全胜的概率为鸟

JJJ4/JJJ4，

・•・进行3局比赛决出冠亚军的概率为P=：+：=：

719111

（2）X的可能取值为1,2,P（X=1）=-,P（X=2）=^x-+lxi=l故X的分布列为：

7.（吉林省长春市五校2023.2024学年高三上学期联合模拟考试）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求

每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰、滑雪、冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若

I