【滚动轴承等效刚度模型及空气舵敏感性分析的理论基础概述3400字】

滚动轴承等效刚度模型及空气舵敏感性分析的理论基础概述目录TOC\o"1-3"\h\u19572滚动轴承等效刚度模型及空气舵敏感性分析的理论基础概述 1111451.1深沟球轴承结构介绍 1137091.1.1轴承滚道密合度 173381.1.2接触点的主曲率 299891.1.3轴承游隙与接触角 369921.2接触力模型 4197271.2.1法向接触力模型 4291521.2.2切向摩擦力模型 7254581.3显式动力学 7深沟球轴承结构介绍深沟球轴承是应用最广泛的一种轴承。特点是摩擦阻力小，转速高，主要承受径向载荷。轴承的外形尺寸包括轴承外径、轴承内径以及轴承宽度。为了保证轴承运动的可行性和可靠性，零件尺寸必须要满足一定的几何关系。以下为轴承内部结构比较重要的几何关系。轴承滚道密合度由于轴承的运动特点，轴承中滚道和滚珠的几何尺寸要求比较严格。在垂直于轴承滚动方向的横截平面内，滚珠与滚道的密合度为滚珠半径与滚道半径的比值，即 （2-1）式中：为球的直径；为滚道的曲率半径。设计轴承滚道的半径时采用下面的公式： （2-2）式中：为滚道曲率半径系数，它分为轴承内圈滚道曲率半径系数和轴承外圈滚道曲率半径系数，通常取0.51到0.54之间。因此，深沟球轴承的密合度又可以表示为： （2-3）深沟球轴承的另一个重要的几何量是轴承滚动体的中心圆半径： （2-4）式中：为轴承外径；为轴承内径；通常取0.5到0.515之间。接触点的主曲率当轴承不受力时，深沟球轴承的滚珠和滚道的接触为线接触。为了计算接触应力，需要得到接触点处曲面的主曲率。假设接触点附近的曲面函数可以近似表示为二次函数多项式（坐标系见图2-1所示） （2-5）则称和分别为接触面曲面的主曲率。对于外凸的曲面，主曲率为正值；对于内凹的曲面，主曲率为负值。对于滚珠，主曲率为 （2-6）对于轴承的内圈滚道，主曲率为 ， （2-7）对于轴承的外圈滚道，主曲率为 ， （2-8）式中：为内圈滚道曲率半径系数；为外圈滚道曲率半径系数。一般情况下，两个物体在接触点处的主曲率分别记为、、、，下标I、II代表主曲率方向，；下标1、2代表物体，接触点主曲率平面见图2-1所示。图2.1接触点主应力平面[接触力学理论与滚动轴承设计]在接触应力计算中，需要建立两种接触曲率函数。（1）曲率和函数 （2-9）（2）曲率比值函数 （2-10）式中：为两个接触体的主曲率平面之间的夹角。一般情况下在轴承的接触处，两个接触体的主曲率平面之间的夹角为0。所以轴承的曲率比值函数为 （2-11）轴承游隙与接触角1）轴承游隙轴承游隙是轴承的一个重要的几何量，它会对轴承内部的载荷分布、摩擦力大小等造成影响。轴承游隙定义是轴承套圈的相对位移量。其中径向的相对位移量为径向游隙，轴向的相对位移量为轴向游隙。对于深沟球轴承，当轴承内圈、轴承外圈及轴承滚珠靠向一边时，其径向游隙为 （2-12）式中：为轴承外圈滚道直径；为轴承内圈滚道直径；为滚珠直径。2）接触角对于具有轴承游隙的深沟球轴承，轴向推移轴承套圈后会出现接触角。接触角的定义为：在垂直于轴承滚动方向的横截平面内，滚珠法向接触力方向与轴承径向之间的夹角。轴承实际的接触角大小与轴承载荷情况有关。轴承在零载荷状态下检测出的接触角称为初始接触角。轴承初始接触角满足下面的关系 （2-13）式中：接触角的存在使得轴承可以同时承受轴向载荷和径向载荷，而且轴向载荷会使轴承滚珠受力更均匀，运动更稳定。对于深沟球轴承，轴向游隙的大小为： （2-14）接触力模型边界条件非线性指的时边界条件在分析的过程中会发生变化。接触非线性是典型的边界条件非线性问题。法向接触力模型当两个物体接触时，首先是在一个线上或一个点上接触。在载荷作用下它们在最初的接触点附近发生变形，导致它们在一个有限的区域上接触。我们需要一个理论来预测接触区域的形状，接触区域内部的应力以及接触区的尺寸随载荷的变化趋势。对两个弹性体接触处应力状态令人满意的分析，是由Hertz首先提出的。Hettz做研究两个接触体应力状态时，做了如下假设：1）每个物体均可被看做是一个弹性半空间体，载荷作用在一个小的椭圆区域上。为使这种假设合理，必须保证接触区的有效尺寸远小于每个物体的尺寸和表面的相对曲率半径。2）接触区的应力应变处于线弹性的范围。3）物体变形为小变形。4）忽略物体间摩擦力的影响。为了研究施加载荷引起的变形，两物体变形后的剖面见图2.2所示。图2.2相互接触两物体的变形图用二次多项式近似表示原点附近的曲面，两个曲面的表达式分别为： （2-15） （2-16）式中：、、、分别是两个曲面在原点的主曲率半径。它们是一切可能的截面中曲率半径的最大值和最小值。凸曲面的曲率半径为正，凹曲面的曲率半径为负。两曲面之间的间隙为： （2-17）式中：和为相对主曲率半径。图2.2中，点和点随着物体的压缩分别沿着轴方向移动了和。虚弧线代表两物体没有接触时的轮廓，物体表面对比未接触状态，由于接触发生的位移分别为和。如果在接触变形后，点和点在接触面重合，则 （2-18）记并将式（2-17）带入式（2-18）中，可得 （2-19）若点和点在接触区域外，则 （2-20）此时两点不接触。首先研究当接触物体为两个球体时的情况。设两个球体的半径分别为和,此时主曲率半径等于半径。此时接触区域为一个半径为的圆，。因此接触区内的位移边界条件为 （2-21）式中：为两物体的等效曲率半径，。在圆形区域内的应力分布为 （2-22）式中，为最大压应力。产生的法向位移为 （2-23）作用在两个物体上的压力相同，将和的表达式代入式（2-21）可得 （2-24）式中，.由此得到的接触圆半径为 （2-25）两物体远处的点相互靠近的距离为 （2-26）总载荷与压应力的关系为 （2-27）由式（2-27）可以得出最大压力是平均压力的1.5倍。将式（2-27）代入式（2-25）和式（2-26）中可得 （2-28） （2-29） （2-30）两个圆柱体在轴向平行的情况下被载荷压紧而发生接触。两圆柱体的半径分别为为和，长度为。它们在平行于圆柱体轴向，宽度为的长条上发生接触。此时接触的半带宽为 （2-31）压应力分布为 （2-32）压应力在接触区边缘降为0，最大压应力为 （2-33）式中，为平均压应力。切向摩擦力模型在进行接触非线性分析时，摩擦力同样是不能忽略的，会造成比较强烈的非线性现象。两个物体之间的摩擦时非常复杂的问题，目前应用最广泛的摩擦力模型为库伦摩擦定律。为了使静止的物体发生运动，必须要克服一个临界力，这个临界力被称为静摩擦力。静摩擦力与法向力成正比 （2-34）式中：为静摩擦系数，与接触材料有关，但与接触面积和粗糙度几乎无关。当物体克服静摩擦力开始运动时，受到接触面的阻力称为动摩擦力。动摩擦力与法向力成正比 （2-35）式中：为动摩擦系数，近似的等于静摩擦系数，动摩擦力与接触面积、粗糙度和滑动速度几乎无关。显式动力学显式动力学的增量步结束时的状态只依赖于增量步开始时的位移，速度和加速度，在分析时把整个求解步分成许多小的时间增量，不需要隐式算法所必须的整体刚度矩阵，不需要迭代和收敛准则，所以比较适合求解爆炸、碰撞、冲击等高度非线性的动力学问题。对于多自由度系统，其动力学方程为 （2-36）式中：、、、分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和载荷向量。、、分别为节点的加速度向量、速度向量和位移向量。中心差分法运用于显式动力学时，需要确保在初始时刻的，加速度，速度和位移均已知。将和在时刻处做泰勒展开到三次导数项并略去高阶余项 （2-37） （2-38）通过式（2-37）及式（2-38）可以推导出 （2-39） （2-40）将式（2-39）和式（2-40）代入式（2-36）可得 （2-41）显式动力学的节点计算的计算成本较低，大部分计算成本消耗在单元计算上，每一个增量步计算成本较低，但是为了得到精确的计算结果，一个显式动力学分析需要很多个增量步。如果增量步取得太大，超过稳定极限，会导致数值不稳定，解答不收敛。稳定极限时根据系统的最高频率来定义的。无阻尼时的稳定极限为 （2-42）有阻尼时的稳定极限为 （2-43）式中：为具有最高频率模型的临界阻尼比由于模型的最高频率一般很难计算，所以最好应用一个有效，保守的简单估算，所以常用下式来计算单元的稳定极限，不考虑整体模型。根据Courant-Friedrichs-Levy【MouraCAD,KubruslyCS.TheCourant-Friedrichs-Levy(CFL)Condition[M].BirkhäuserBoston,2013】稳定性准则，单元的稳定极限为 （2-44）式中：为单元尺寸，为材料的波速。对于实体单元和分别为 （2-45）式中：为单元体积，为单元最大底面面积，为材料密度。通过式（2-44）和式（2-45）可以看出：