2026年部编版高二第二学期数学期末冲刺培优评估试卷（附答案可下载）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知空间向量a=(1,0,-1)，b=(2,1,0)，则a·b=（）A.-2B.-1C.2D.12.直线l:y=kx+1与圆C:x²+(y-1)²=1的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.随k变化3.已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率e=√5/2，则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=±1/2xB.y=±2xC.y=±1/3xD.y=±√3x4.从3名男生和2名女生中选2人参加演讲比赛，恰有1名女生的选法种数为（）A.3B.5C.6D.125.(x-1/x)⁶的展开式中常数项为（）A.-20B.-15C.15D.206.已知直线l过点(2,1)，且与直线2x-y+1=0垂直，则直线l的方程为（）A.x+2y-4=0B.2x-y-3=0C.x-2y=0D.2x+y-5=07.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2，则p=（）A.1/3B.2/3C.1/2D.3/48.已知平面α的法向量为n=(1,-1,1)，点A(2,0,1)在α内，则点P(-1,1,1)到α的距离为（）A.√3/3B.2√3/3C.√3D.4√3/39.抛物线y²=4x的焦点到双曲线x²-y²/3=1的渐近线的距离为（）A.1/2B.√3/2C.1D.√310.某同学忘记了电话号码的最后一位数字，他随意拨打最后一位，则不超过3次拨对的概率为（）A.1/10B.3/10C.1/5D.2/511.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则三棱锥A-B1DE的体积为（）A.1B.4/3C.2D.5/312.已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与椭圆交于A,B两点，若△AF1B的周长为8，且离心率为√3/2，则椭圆C的方程为（）A.x²/4+y²=1B.x²+y²/4=1C.x²/2+y²=1D.x²+y²/2=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线x-√3y+3=0的倾斜角为______。14.已知空间两点A(1,0,2)，B(2,1,-1)，则向量AB与向量AC=(0,1,2)的夹角余弦值为______。15.从4名教师和5名学生中选2人参加活动，至少有1名教师的选法种数为______。16.已知双曲线C:x²/4-y²/b²=1的离心率为√5/2，则以双曲线C的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的标准方程为______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,1)，B(2,1,0)，C(-1,2,1)。（1）求向量AB与向量AC的夹角；（2）求点B到直线AC的距离。18.（本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线y=2x上，且经过点A(2,-1)，与直线x+y-1=0相切。（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点(0,3)且被圆C截得的弦长为2√2，求直线l的方程。19.（本小题满分12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(2,1)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P(0,1)的直线与椭圆C交于A,B两点，求|PA|·|PB|的最大值。20.（本小题满分12分）已知(1-2x)ⁿ的展开式中，第3项的二项式系数为15。（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项。21.（本小题满分12分）某高中学校举办了“防疫知识竞赛”，高一年级有500名学生，高二年级有400名学生，高三年级有300名学生，现采用分层抽样的方法抽取60名学生进行问卷调查，已知抽取的高一年级学生中有10名获得一等奖。（1）求抽取的高二、高三年级学生的人数；（2）若从抽取的一等奖获得者（仅高一年级）中任选2人，求这2人来自不同班级的概率（假设高一年级各班级人数均等）；（3）若从抽取的60名学生中任选1人，求该学生是高一年级且获得一等奖的概率。22.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PD的中点，F为PB上的点，且PF=1/3PB。（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值。参考答案：一、选择题1.C解析：a·b=1×2+0×1+(-1)×0=2。2.A解析：直线l过(0,1)，该点在圆C上，故相交。3.A解析：e=√(1+b²/a²)=√5/2，得b/a=1/2，渐近线y=±1/2x。4.C解析：选法为C(3,1)×C(2,1)=3×2=6。5.A解析：通项T(r+1)=(-1)^rC(6,r)x^(6-2r)，令6-2r=0得r=3，常数项为(-1)^3C(6,3)=-20。6.A解析：所求直线斜率为-1/2，方程为y-1=-1/2(x-2)，整理得x+2y-4=0。7.A解析：E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=2，解得p=1/3。8.D解析：向量AP=(-3,1,0)，距离d=|AP·n|/|n|=|-3×1+1×(-1)+0×1|/√(1+1+1)=4/√3=4√3/3。9.B解析：抛物线焦点(1,0)，双曲线渐近线√3x±y=0，距离d=|√3×1|/√(3+1)=√3/2。10.B解析：概率为1/10+9/10×1/9+9/10×8/9×1/8=3/10。11.B解析：用体积公式计算得三棱锥体积为4/3。12.A解析：△AF1B周长=4a=8得a=2，离心率e=√3/2得c=√3，b²=1，椭圆方程x²/4+y²=1。二、填空题13.π/6（或30°）解析：直线斜率k=1/√3，倾斜角为π/6。14.-√55/11解析：AB=(1,1,-3)，AB·AC=0+1-6=-5，|AB|=√11，|AC|=√5，余弦值=-5/(√11×√5)=-√55/11。15.26解析：总选法C(9,2)=36，全学生选法C(5,2)=10，故至少1名教师的选法为36-10=26。16.(x-√5)²+y²=1解析：双曲线离心率e=√(1+b²/4)=√5/2得b²=1，c=√5，右焦点(√5,0)，渐近线x±2y=0，圆半径r=|√5|/√5=1，方程为(x-√5)²+y²=1。三、解答题17.解：（1）向量AB=(1,1,-1)，AC=(-2,2,0)，AB·AC=1×(-2)+1×2+(-1)×0=0，故AB⊥AC，夹角为90°；（2）|AB×AC|=|(2,2,4)|=√(4+4+16)=2√6，|AC|=√(4+4)=2√2，点B到AC的距离d=|AB×AC|/|AC|=2√6/(2√2)=√3。18.解：（1）设圆心为(a,2a)，半径r=√((a-2)²+(2a+1)²)=|a+2a-1|/√2，平方得9a²-6a+9=(3a-1)²/2？修正：直线为x+y-1=0，距离为|a+2a-1|/√2=|3a-1|/√2，平方得(a-2)²+(2a+1)²=(3a-1)²/2，解得a=-1，圆心(-1,-2)，r=√((-1-2)²+(-2+1)²)=√10，圆方程为(x+1)²+(y+2)²=10；（2）设直线l：y=kx+3，圆心到直线距离d=|-k+1|/√(k²+1)，弦长2√2得d²+(√2)²=10，即((k-1)²)/(k²+1)+2=10，解得k=-1，直线方程y=-x+3；当直线斜率不存在时，x=0，弦长为2√(10-1)=2√2，符合，故直线方程为x=0或y=-x+3。19.解：（1）e=√2/2得b²=a²/2，代入点(2,1)得4/a²+1/(a²/2)=1，解得a²=6，b²=3，椭圆方程x²/6+y²/3=1；（2）设直线y=kx+1，联立椭圆得x²+2(kx+1)²=6，即(1+2k²)x²+4kx-4=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，|PA|·|PB|=(√(1+k²)|x1|)(√(1+k²)|x2|)=(1+k²)|x1x2|，x1x2=-4/(1+2k²)，故|PA|·|PB|=(1+k²)×4/(1+2k²)=2(1+k²)/(0.5+k²)=2+1/(k²+0.5)，当k=0时，最大值为2+2=4。20.解：（1）第3项二项式系数为C(n,2)=15，得n(n-1)/2=15，n=6；（2）展开式通项T(r+1)=C(6,r)(-2x)^r，系数为(-2)^rC(6,r)，计算得r=4时系数最大，为(-2)^4C(6,4)=16×15=240，项为240x⁴。21.解：（1）总人数1200，抽样比60/1200=1/20，高一年级抽取500×1/20=25人，故高二抽取400×1/20=20人，高三抽取300×1/20=15人；（2）高一年级抽取25人，设m个班级，每个班级人数25/m，10人来自不同班级，概率C(m,2)×(25/m)(25/m-1)/C(10,2)？修正：设高一年级有5个班，每班5人，10人来自不同班，概率为C(10,2)/C(25,2)=45/300=3/20；（3）概率为10/60=1/6。22.（1）证明：以A为原点建系，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(2/3,0,2/3)，向量AE=(0,1,1),AF=(2/3,0,2/3)，平面AEF的法向量n1=AE×AF=(2/3,-2/3,-2/3)，平面P