2.1认识不等式-【导学练评】北师大版数学八年级下册

2.1认识不等式-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1．感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念｡2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型｡3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣｡学习重点：通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。学习难点：正确理解题意列出不等式.一、创设情境、导入新课你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想过它的工作原理吗？2、这是限速标志，红圈中的数字是指行车不能超过的速度，你能表示行车速度V与40的关系吗？3、在现实生活中我们也经常看到下面的情形与相等关系相比，不等关系在生活中更为普遍。与一元一次方程的学习类似，本章将研究不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法，并通过解决一些简单的实际问题，体会不等式的模型思想及一元一次不等式、一次函数、一元一次方程之间的内在联系。二、合作交流、新知探究任务一：检查预习效果认识不等式号：>，<，≥，≤，≠归纳：“<”读作“小于”,比･･･小“>”读作“大于”.比･･･大“≤”读作“小于等于”,又可理解为“不大于、不超过、最多”;“≥”读作“大于等于”,又可理解为“不小于，不低于、最少”.“≠”读作“不等于”,表示左、右两边不相等.任务二：探究不等式的定义1.如图，利用两个长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆：用含有的式子表示它们的面积要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳子长l应满足怎样的关系式？当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？当l=12时，正方形和圆的面积哪个大？你能得到什么猜想？改变l的取值再试一试。根据上面的不等式，说一说周长相等的情况下圆的面积大于正方形的面积的理由。2、铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm。设行李的长、宽、高分别为acm、bcm、ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。3、通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,以后树围10年内每年增加3cm，这棵树要生长多少年其树围超过30cm？任务三：总结归纳一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）一个式子是不等式，要把握两点：①一是含有不等号，②二是表示不等关系，而与不等式是否成立无关.任务四：列不等式例11．列不等式：（1）a与1的和是正数：.（2）y的2倍与1的和大于3：.（3）x的一半与x的2倍的和是非正数：.（4）c与4的和不大于－2：.例22．用适当的符号表示下列关系：（1）x的3倍与8的和比x的5倍小；.（2）x2是非负数；.（3）地球上海洋的面积大于陆地面积；.（4）老师的年龄不超过你的年龄的2倍。.【强调】；列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后用表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边；常用不等关系的基本语言的意义：(1)a是正数a＞0；(2)a是负数a＜0；(3)a是非正数a≤0；(4)a是非负数a≥0；(5)a大于ba－b＞0；(6)a小于ba－b＜0；(7)a不大于ba≤b；(8)a不小于ba≥b；(9)a，b同号ab＞0或＞0；(10)a，b异号ab＜0,一、基础达标1：3．下列说法中，正确的是（）A．a不是正数，则a＜0 B．b是小于0的数，则b＞0C．c不大于-1，则c＜-1 D．d是负数，则d＜04．济南春季某日最高气温是20℃，最低气温是6℃，则济南当日气温t（℃）的变化范围是（）A．t≤20 B．t≥6 C．6≤t≤20 D．6＜t＜205．下列式子：①3＞0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2≤3；⑥2x≠0.其中不等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．“数x不小于2”是指()A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞27．下列各项中，蕴含不等关系的是（）A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小军和小红一样高C．小明岁数比爸爸小26岁 D．x28．用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）x减去6大于12；（5）x的2倍与5的差是负数；二、能力提升1：9．对于任意实数a，用不等号连结|a|a（填“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）10．某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为；11．按商品质量规定：商店出售的标明500g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5g．设实际克数为x(g)，则x应满足的不等式是．三、拓展迁移1：12．在数轴上有P、Q两点，其中点P所对应的数是x，点Q所对应的数是1．已知P、Q两点间的距离小于3，请你利用数轴作答下面的题．（1）写出点P所满足的不等式．（2）数-1，0，4所对应的点到点Q的距离小于3吗?1、不等式的定义：一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。2、“≥、≤”的意义：(1)“≥”：a不小于(不低过)b表示为a≥b，a为非负数表示为a≥0；(2)“≤”：a不大于(不高过)b表示为a≤b，a为非正数表示为a≤0。3、列不等式：找不等关系四、基础达标2：13．下列式子：①3x=5；②a>2；③3m−1≤4；④5x+6y；⑤a+2≠−2．其中不等式有()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个14．下列说法正确的是（）A．﹣a比a小 B．一个有理数的平方是正数C．a与b之和大于b D．一个数的绝对值不小于这个数15．x与y的差的5倍与2的和是一个非负数，可表示为()  A．5(x−y)+2>0 B．5(x−y)+2≥0C．x−5y+2≥0 D．5x−2y+2≤016．有理数m，n在数轴上如图，用不等号填空．（1）m+n0；（2）m﹣n0；（3）m•n0；（4）m2n；（5）|m||n|．17．用适当的符号表示下列关系：（1）明天下雨的可能性不小于70%；（2）小明的身体不比小刚轻．（3）x的3倍与4的和是非负数；（4）y的5倍与9的差不大于-1.五、能力提升2：18．对于不等式5X+4y≤20我们可以这样解释：香蕉每千克5元，苹果每千克4元，x千克香蕉与y千克苹果的总钱数不超过20元．请你结合生活实际，设计具体情境解释下列不等式：（1）5x-3y≥2（2）4a+6b＜8六、拓展迁移2：19．甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：甲种原料乙种原料维生素C/(单位/千克)600100原料价格/(元/千克)84（1）现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足的不等式：.（2）现配制这种饮料10千克，购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出所需甲种原料的质量x(千克)应满足不等式：.20．张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）．回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以a+b2A．赚钱 B．赔钱C．不赚不赔 D．无法确定赚和赔

答案解析部分1．【答案】（1）a+1>0（2）2y+1>3（3）1（4）c+4≤-2【解析】【解答】解：（1）∵a与1的和是正数，

∴a+1>0，

故答案为：a+1>0.

（2）∵y的2倍与1的和大于3，

∴2y+1>3，

故答案为：2y+1>3.

（3）∵x的一半与x的2倍的和是非正数，

∴12x+2x≤0，

故答案为：12x+2x≤0.

（4）∵c与4的和不大于－2，

∴c+4≤-2，

故答案为：c+4≤-2.

【分析】（1）根据题意，用不等式表示其中不等关系；

（2）据题意，用不等式表示其中不等关系；2．【答案】（1）3x+8<5x（2）x2≥0（3）地球上海洋的面积>陆地面积（4）老师的年龄≤我的年龄的2倍【解析】【解答】解：（1）∵x的3倍与8的和比x的5倍小，

∴3x+8<5x，故答案为：3x+8<5x.(2)∵x2是非负数，

∴x2≥0，

故答案为：x2≥0.

（3）∵地球上海洋的面积大于陆地面积，

∴地球上海洋的面积>陆地面积，

故答案为：地球上海洋的面积>陆地面积.

（4）∵老师的年龄不超过你的年龄的2倍，

∴老师的年龄≤我的年龄的2倍.

故答案为：老师的年龄≤我的年龄的2倍

【分析】（1）根据题意，用不等式表示其中不等关系；

（2）非负数用“≤0”表示；

（3）大于用“>”表示；

（4）不超过用“≤”表示.3．【答案】D【解析】【解答】解：a不是正数，则a≤0，故A选项错误；

b是小于0的数，则b<0，故B选项错误；

c不大于-1，则c≤-1，故C选项错误；

d是负数，则d＜0，故D选项正确.故答案为：D.【分析】根据语句中的不等关系，选择适当的不等符号表示即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵济南春季某日最高气温是20℃，最低气温是6℃，

∴济南当日气温t的取值范围为：6≤t≤20，故答案为：C.【分析】根据题意知，济南当日的气温不超出最高气温，不低于最低气温，用适当的不等号表示即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0是不等式.故答案为：C.【分析】用符号“>”、“<”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子，叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式，据此判断.6．【答案】B【解析】【解答】解：数x不小于2，即是数x大于或等于2，x≥2．故答案为：B.

【分析】根据文字叙述写出不等式即可．7．【答案】D【解析】【解答】A错误，根据题意可列出等量关系；B错误，是等量关系；C错误，小明的岁数加上26与他爸爸的岁数相同，是等量关系；D正确，由x2是非负数可知故选D【分析】根据不等式的定义对四个选项进行逐一解答即可8．【答案】（1）解：x+2x≤0（2）解：设炮弹的杀伤半径为r，则应有r≥300（3）解：设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a+4b≤268（4）解：x-6＞12（5）解：2x-5＜0【解析】【分析】（1）非正数即0和负数，用“≤”表示；

（2）“不小于”用“≥”表示；

（3）“不高于”用“≤”表示；

（4）“大于”用“>”表示；

（5）“负数”即小于0的数，用“<”表示.9．【答案】≥【解析】【解答】解：当a=0时，a=a；

当a>0时，a=a；

当a<0时，a=−a>0，即a>a，故答案为：≥.【分析】对a的符号进行讨论，结合绝对值的性质比较|a|与a的大小.10．【答案】4.5x+2.5(35-x)≤100【解析】【解答】解：设买x包4.5元的点心，则2.5元一包的点心需要买（35-x）包，

根据题意，4.5x+2.5(35-x)≤100故答案为：4.5x+2.5(35-x)≤100.【分析】根据学生数量确定两种点心的数量，再结合其单价及总金额列出不等式即可.11．【答案】495≤x≤505【解析】【解答】解：根据题意，可知x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5，即495≤x≤505.故答案为：495≤x≤505.【分析】由相差不能超过5g可知x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5，即495≤x≤505.12．【答案】（1）解：画出数轴如下图所示：

|x−1|（2）解：根据数轴知，

数-1，0所对应的点到点Q的距离分别为2和1，都小于3；

数4所对应的点到点1的距离等于3．【解析】【分析】（1）根据题意画出相应的数轴，借助数轴用不等式表示点P所满足的不等关系.

（2）将数-1，0，4代入x−1求出相应距离，再与3对比即可.13．【答案】B【解析】【解答】解：①3x=5，是等式，不符合题意；

②a>2，是不等式，符合题意；

③3m−1≤4，是不等式，符合题意；

④5x+6y，是多项式，不符合题意；

⑤a+2≠−2，是不等式，符合题意．

因此不等式有②、③、⑤.故答案为：B.【分析】根据不等式的概念（含有不等符号：>，<，≥，≤，≠的式子）逐一对各式子作出判断即可.14．【答案】D【解析】【解答】解：A、当a=0时，﹣a=a，故本选项错误；B、一个有理数的平方是非负数，故本选项错误；C、当a、b都是负数时，a与b之和不大于b，故本选项错误；D、一个数的绝对值是非负数，所以不小于这个数，故本选项正确；故选：D．【分析】根据实数的性质和不等式的定义解答．15．【答案】B【解析】【解答】解：x与y的差的5倍与2的和可表示为：5（x-y）+2，

非负数即正数和0，用“≥0”表示，

根据题意，不等式为：5(x−y)+2≥0.故答案为：B.【分析】根据题意用代数式表示“x与y的差的5倍与2的和”为“5（x-y）+2”，再选择适当的不等符号列出不等式即可.16．【答案】（1）＜（2）＜（3）＞（4）＞（5）＞【解析】【解答】解：由数轴可得m＜n＜0，（1）两个负数相加，和仍为负数，故m+n＜0；（2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故m﹣n＜0；（3）两个负数的积是正数，故m•n＞0；（4）正数大于一切负数，故m2＞n；（5）由数轴离原点的距离可得，|m|＞|n|．【分析】由数轴得到m＜n＜0，据此判断各式的大小．17．【答案】（1）用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%；（2）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有a≥b（3）3x+4≥0（4）解：5y-9≤-1【解析】【分析】（1）“不小于”用“≥”表示；

（2）“不比小刚轻”用“≥”表示；

（3）先用代数式表示“x的3倍与4的和”为“3x+4”，非负数表示为“≥0”的数；

（4）先用代数式表示“