复习讲义02 相交线与平行线（原卷版）

专题02相交线与平行线（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01对顶角同位角内错角同旁内角的辨别题型02利用对顶角相等求角题型03求一个角的余角、补角题型04利用对顶角余角补角直角求角题型05点到直线的距离与垂线段最短题型06判断两条直线是否平行题型07平行线的判定和性质多结论题题型08平行线的性质在生活中的应用题型09平行线的判定和性质综合问题题型10根据平行线的判定与性质探究角的关系过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律对顶角、余角、补角1.理解对顶角、余角、补角的概念；2.掌握对顶角相等、余角、补角的性质并能计算。基础必考点，选择、填空常考角度计算，易混淆邻补角与补角。垂线及其性质1.理解垂线的定义，掌握“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”；2.会画垂线，理解垂线段最短的性质。高频基础点，常结合实际问题考查垂线段最短，作图题常考。同位角、内错角、同旁内角能准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角。概念辨析题高频，是平行线判定与性质的基础，易认错角的位置。平行线的判定掌握平行线的3种判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能证明两直线平行。中考核心考点，解答题证明题必考，是几何推理的基础。平行线的性质掌握平行线的3条性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能进行角度计算与证明。高频考点，选择、填空、解答均有涉及，常与判定结合考查。尺规作图（作角、平行线）掌握用尺规作一个角等于已知角、过直线外一点作平行线的方法。基础作图题常考，需规范作图步骤并说明依据。平行线间的距离理解平行线间距离的概念，知道平行线间距离处处相等。距离处处相等。基础考点，常与面积计算结合考查。知识点01对顶角对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。性质：对顶角相等。示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC=30°，则对顶角∠BOD=30°。易错点：1.把“有公共顶点的角”都当成对顶角，忽略两边互为反向延长线；2.计算角度时漏看图形位置。知识点02余角与补角余角：两个角的和为90°，互为余角。补角：两个角的和为180°，互为补角。性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。示例：∠A=30°，余角是60°，补角是150°；-若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。易错点：1.余角、补角只看度数和，与位置无关，不要只认相邻的角；2.把“余角”记成和为180°，“补角”记成和为90°；3.计算钝角的余角，钝角没有余角。知识点03垂线及其性质两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则两直线互相垂直。性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。点到直线的距离：点到直线的垂线段长度。示例：过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则PQ最短。易错点：1.把“垂线段”和“垂线”混淆：垂线是直线，垂线段是线段；2.忘记“同一平面内”这个前提；3.求距离时不垂直，随便连一段线段当距离。知识点04同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线（截线）所截：1.同位角：位置相同，都在截线同侧、两被截线同一方；2.内错角：在两被截线之间，截线两侧；3.同旁内角：在两被截线之间，截线同侧。示例：找出图中∠1的同位角、内错角、同旁内角。易错点：1.分不清哪条是截线，哪两条是被截直线；2.把不在“三线八角”里的角硬套概念；3.内错角、同旁内角位置混淆。知识点05平行线的概念及画法在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；平行推论：若a∥b，b∥c，则a∥c。示例：过点P作直线AB的平行线，有且只能画一条。易错点：1.忽略“同一平面内”，误以为空间不相交就是平行；2.说成“过直线上一点也能作平行线”；3.推论中漏传平行关系。知识点06平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离；2.平行线间的距离处处相等。示例：两条平行线间的垂线段长度都相等，可用于求面积。易错点：1.用斜线段长度当距离；2.认为距离是两平行线间任意线段长；3.与“两点间距离”混淆。知识点07平行线的判定同位角相等⟹两直线平行；内错角相等⟹两直线平行；同旁内角互补⟹两直线平行；推论：都垂直于同一直线的两直线平行。示例：若∠1=∠2（同位角），则AB∥CD。易错点：1.判定与性质混用，因果颠倒；2.角找错，用不对应的角判定平行；3.同旁内角“相等”当成平行条件，正确应为“互补”。知识点08平行线的性质两直线平行⟹同位角相等；两直线平行⟹内错角相等；3.两直线平行⟹同旁内角互补。示例：已知AB∥CD，∠1=50°，则内错角∠2=50°，同旁内角∠3=130°。易错点：1.因果关系写反：把“角等”写在前面，“平行”写在后面；2.同旁内角写成相等；3.复杂图形中找不到对应的平行线与角。题型一对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别解｜题｜技｜巧对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。【典例1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（

）A．B．C． D．【典例2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（

）A．和是内错角 B．和是对顶角C．和是同位角 D．和是同旁内角【变式1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（

）A．与是同旁内角 B．与是内错角C．与是同位角 D．与互补【变式2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（

）A．与是邻补角 B．与是对顶角C．与是同旁内角 D．与是内错角题型二利用对顶角相等求角解｜题｜技｜巧先找出对顶角，根据对顶角相等建立等量关系；常结合邻补角互补、平行线性质或三角形内角和，将未知角与已知角通过等量代换联系起来，设未知数列方程求解。【典例1】（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°．【典例2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则__________．【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则________．【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________．题型三求一个角的余角、补角解｜题｜技｜巧两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）若，则余角的度数为__________．【典例2】（25-26七年级上·北京·期末）已知，则的补角大小为_________________．【变式1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）（1）_____；（2）角的余角是_____，补角是______．【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大，则______．题型四利用对顶角、余角、补角、直角求角解｜题｜技｜巧先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。【典例1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且．(1)求的度数；(2)如图2，若平分，平分，求的度数．【典例2】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【变式1】（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，．(1)若，满足，则，，与的特殊关系是；(2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由；(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数．【变式2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”．(1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）；(2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值；(3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值．题型五点到直线的距离与垂线段最短解｜题｜技｜巧点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。【典例1】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是___________，测量点P到直线l的距离是___________（精确到）．【典例2】（24-25七年级下·广东珠海·期末）为了测量村庄是否对河道施工有影响，需测量村庄到河道的距离．某测绘队（点）沿河道规划路线进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示，则村庄到河道的距离为______米．的度数/度52.369.59093105.8117.8的长度/米693586549552570620【变式1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段；（2）线段_____的长就是点到直线的距离；（3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）．【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题：(1)作射线；(2)连接，交于点；(3)过点作于点；(4)点到的距离是线段______的长度；(5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______．题型六判断两条直线是否平行解｜题｜技｜巧根据平行判定：同位角相等、内错角相等或同旁内角互补；结合图形已有条件，从角的关系入手，添加角相等或互补条件，也可利用垂直同一直线或平行公理推论，注意结论唯一性。【典例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（

）A． B．C． D．【典例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（

）A．B．C． D．【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（

）A． B．C． D．题型七平行线的判定和性质多结论题解｜题｜技｜巧先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（

）A． B．C． D．【典例2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的结论有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论：①；

②；

③；④设，则；⑤其中，正确的有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤题型八平行线的性质在生活中的应用解｜题｜技｜巧将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。【典例1】（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数．【典例2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数；(2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数．【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．【变式2】（24-25七年级下·北京·期末）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，．(1)求的度数；(2)与平行吗？为什么？题型九平行线的判定和性质综合问题解｜题｜技｜巧先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点．(1)若，求的度数；(2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由．【典例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P．(1)求证：．(2)若，求的度数．(3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数．【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D．(1)______．(2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．(3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由．【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下：【探究一】如图①，已知，测得，求的度数；【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由；【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数．题型十根据平行线的判定与性质探究角的关系解｜题｜技｜巧从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。【典例1】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，．(1)如图，若点在直线，之间，求证：．(2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数．(3)如图，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数．【典例2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题(1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小；(2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小；(3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则；（用，，的代数式表示）(4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论．【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线．(1)当平分，平分时，求与的数量关系；(2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由；(3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【变式2】（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究如图，，点P，Q为直线，上两定点，．(1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为；(2)若平分，平分，．①如图2，点N在左侧时，求的角度；②如图3，点N在右侧，求的角度；(3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则．（直接写出结果）期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（

）

A．与互余 B．与是同位角C．与不是对顶角 D．与是同位角2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线相交于点O，，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知与互为余角，，则_______．5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______．6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行．7．（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分．(1)如图1，若，则的度数为______；(2)如图2，，且，求的度数．8．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间．初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由；深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（

）A．①或② B．①或④ C．②或④ D．②或③2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图