八年级数学下学期期末学情自测-培优卷（新教材北师大版八下全册）（解析版）

八年级数学下学期期末学情自测·培优卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2025·陕西宝鸡·二模）某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义判断即可，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故选项不符合题意；C、是中心对称图形，故选项符合题意；D、不是中心对称图形，故选项不符合题意；故选：C．2．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知M=xx-1，N=2A．M+N=-1 B．M-N=C．M×N=-2xx-12【答案】C【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可．【详解】解：∵M=xx-1，∴A．M+N=xx-1+B．M-N=xx-1-C．M×N=xx-1×D．M÷N=xx-1÷3．若不等式组3x-1<x+5x<a-1的解集是x<3，则a的取值范围是（

A．a=4 B．a<4 C．a≥4 D．a≤4【答案】C【分析】先求解第一个不等式得到x<3，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规律，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围．【详解】解：3x-1<x+5x<a-1解不等式3x-1<x+5，得x<3，∴原不等式组可化为x<3x<a-1∵不等式组的解集是x<3，根据“同小取小”的规律，可得a-1≥3，解得a≥4．4．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数a, b, c满足A．a+b=0 B．a+c=0 C．b+c=0 D．b【答案】D【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将a2=b2+c2代入a2+【详解】解：将a2=b得b2∴2b∴b=0，∴a2∴a∴a+ca-c∵a+b+c≠0，∴a+c≠0，∴a-c=0，∴a=c≠0，A.a+b≠0，结论错误，不符合题意；B.a+c≠0，结论错误，不符合题意；C.b+c≠0，结论错误，不符合题意；D.b2故选：D．5．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，CD为△ABC的角平分线，则CD的长为（

）A．10 B．102 C．5 D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．证明△ABC为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质解题即可．【详解】解：由图可知，AC=22+12=5∴AC∴△ABC为等腰直角三角形，∵CD为△ABC的角平分线，∴CD是Rt△ABC斜边AB∴CD=10故选：B．6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，等边△ABC与△A'BC'关于直线l对称，l⊥AB，且△ABC的边长为3，DA．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A'BC'=60°，AB=BC=BA'=3【详解】如图，连接DA∵等边△ABC与△A'B∴∠ABC=∠A'B∵l⊥AB，∴∠CBC∴∠CBC∵在△BDC与△BDABC=BA∴△BDC≌△BDA∴DC=DA∴AD+DC=AD+DA∴AD+DC的最小值为6．7．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，△ABC中，D是AC的中点，过D点作DE⊥AB于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且FG=12BC，连接BG，CG．若AE=3，BE=7，则DGA．1 B．23 C．32 D【答案】D【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．延长ED至点H，使DH=DE，连接CH，证明△ADE≌△CDH，得出相等的边和角，根据线段垂直平分线的性质得出相等边和∠BGC=90°，根据同角的余角相等得出∠BGE=∠GCH，证明△BEG≌△GHC，得出相等边，最后利用线段的和差进行求解即可．【详解】解：如图所示，延长ED至点H，使DH=DE，连接CH，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BEG=90°，∵点D是AC的中点，∴AD=CD，又∵∠ADE=∠CDH，∴△ADE≌△CDHSAS∴DE=DH=12EH，∠CHD=∠AED=90°∵GF垂直平分线段BC，∴GB=GC，BF=CF=12BC又∵FG=1∴BF=CF=FG，∴∠FBG=∠FGB=∠FCG=∠FGC=45°，∴∠BGC=90°，∴∠BGE=∠GCH=90°-∠CGH，又∵∠BEG=∠GHC=90°，∴△BEG≌△GHCAAS∴GH=BE=7,EG=CH=3，∴DE=1∴DG=DE-EG=5-3=2，故选：D．8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点E在AD边上，将▱ABCD沿CE翻折，使D点的对应点F落在AB边上，若∠DCE=45°，BC=5，CD=4，则AF的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由翻折得出CF=CD=4，∠FCE=∠DCE=45°，求出∠BFC=∠DCF=90°，根据勾股定理求出BF=3，进而求出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=5，CD=4，∴AB∥CD，AB=CD=4，∵点E在AD边上，将▱ABCD沿CE翻折，使D点的对应点F落在AB边上，∴CF=CD=4，∠FCE=∠DCE=45°，∴∠DCF=2∠DCE=90°，∴∠BFC=∠DCF=90°，∴BF=B∴AF=AB-BF=4-3=1．9．对于分式：x2x-1，1x-1，x2x+1，1x+1，2xx+1，在每个式子前添例如：+x2x-1+1①对于“绝对和差操作+x2x-1-1②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数；③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果；其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查了分式的运算，按照分式运算法则即可判断①，举例计算x2x-1-1x-1-x2x+1-1【详解】①+====2∵x<-1，∴x+1<0，∴原式=-2x2②举例：x====0，即至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数，故②正确；③x2x-1，1x-1，x2x+1，1则组合的可能有：2×2×2×2×2=32（种），又∵+x∴至少有两种情况的结果相同，∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误，故正确的有2个，故选：C．10．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，过点O作平行于DC的直线交PD于点E，若BC=6，EO=2，则CD的长为（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．由平行四边形的性质推出CD∥AB，AD=BC=6，DO=OB，由平行线的性质推出∠APD=∠CDP，由角平分线定义得到∠ADP=∠CDP，因此∠ADP=∠APD，推出AP=AD=6，证明△PEF≌△DEOASA，可得EF=OE=2BP=OF=4，从而得到AB=AP+BP=10【详解】解：如图，过点P作PF∥OB交射线OE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD=BC=6，DO=OB，∴∠APD=∠CDP，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADP=∠APD，∴AP=AD=6，∵OE∥CD，∴OE∥BP，∴四边形OBPF为平行四边形，∴PB=OF，PF=OB，∴PF=OD，∵PF∥OB，∴∠PFO=∠DOF,∠FPE=∠ODE，∴△PEF≌△DEOASA∴EF=OE=2，即BP=OF=4，∴AB=AP+BP=10，∴CD=10．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．若关于x的不等式组2x-a≤1,x+23>1无解，则a【答案】a≤1【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围.【详解】解：2x-a≤1①解不等式①得：x≤a+1解不等式②得：x>1；∵不等式组无解，∴a+1解得a≤1.12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）若xy=2026, x-3y=-1，则x【答案】0【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键．先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解．【详解】解：x=xy将xy=2026，x-3y=-1代入上式，得原式=2026×-2026+2026=0，故答案为：0．13．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的分式方程ax-2=4x的解为正整数，则整数【答案】3(或2或-4，写出一个即可)【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先解出分式方程的解，再根据解为正整数且不为增根的条件，推导整数a的取值．【详解】解：分式方程ax-2=4x两边同乘展开整理得ax-4x=-8，即a-4x=-8解得x=8∵方程的解为正整数，且x≠2，∴4-a是8的正约数(1，2，4，8)，当4-a=1时，a=3，此时x=8，符合条件；当4-a=2时，a=2，此时x=4，符合条件；当4-a=8时，a=-4，此时x=1，符合条件；当4-a=4时，a=0，此时x=2(增根，舍去)；故整数a的一个值可以是3(或2或-4)；故答案为：3(或2或-4，写出一个即可)．14．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=80°；在AB上取一点D，以AD为底边作等腰三角形EAD，且△EAD≌△ABC，连CD，∠BDC=______．【答案】30°/30度【分析】连接CE，由等腰三角形的性质，可得∠ACB=∠B=80°，由三角形的内角和定理，可得∠BAC=20°，由△EAD≌△ABC，可得∠EDA=∠ACB=80°，△ACE是等边三角形，可得∠DEC=40°，CE=DE，由三角形的内角和定理，可得∠EDC=70°，即可得∠BDC的度数．【详解】解：连接CE，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=80°，∴∠BAC=180°-80°×2=20°，∵△EAD≌△ABC，∴∠AED=∠BAC=20°，EA=AB，ED=AC，∠EAD=∠B=80°，∠EDA=∠ACB=80°，∴∠CAE=80°-20°=60°，EA=AB=AC=ED，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC=60°，CE=AC，∴∠DEC=60°-20°=40°，CE=DE，∴∠EDC=∠ECD=180°-40°∴∠BDC=180°-80°-70°=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质，等边三角形的判定和性质．15．（25-26八年级上·山西长治·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1，数学家刘徽（约公元225年-公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=8，b=2，则长方形的面积为_____．【答案】160【分析】本题考查了勾股定理的运用．设小正方形的边长为x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可建立关于x的方程，求得x=【详解】解：设阴影部分小三角形长直角边边长为x，∵a=8，b=2，∴AC=x+2，AB=x+8，BC=8+2=10，在Rt△ABC中，A即x+22解得，x=103而长方形面积为x+2×10=故答案为：160316．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD=∠ADF,FA⊥AC，垂足为A，AF=DF=5,AD=6，则AC的长为_____．【答案】9.6【分析】首先证明四边形AFDB为平行四边形，易得BD=AF=5,AB=DF=5，设BE=x，则DE=5-x，在Rt△AEB和Rt△AED中，由勾股定理解得x的值，然后由【详解】解：∵BD垂直平分AC，∴DA=DC,BA=BC，∴∠DAE=∠DCE,∠BAE=∠BCE，∴∠DAE+∠BAE=∠DCE+∠BCE，即∠DAB=∠DCB，∵∠BCD=∠ADF，∴∠DAB=∠ADF，∴AB∥FD，∵FA⊥AC，BD垂直平分AC，∴FA∥BD，AE=CE=1∴四边形AFDB为平行四边形，∴BD=AF=5,AB=DF=5，设BE=x，则DE=5-x，在Rt△AEB中，A在Rt△AED中，A∴AB即52-x∴BE=1.4，∴AE=A∴AC=2AE=9.6．三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级上·山东威海·期末）（1）分解因式：3ab（2）利用因式分解计算：2022【答案】（1）3a(b+3)2(b-3)2【分析】本题主要考查了提公因式法、平方差公式、完全平方公式在因式分解及简便计算中的应用，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式的结构特征是解题的关键．（1）先提取公因式3a，再将括号内的式子整理为平方差的形式，利用平方差公式分解，最后对分解后的因式用完全平方公式进一步化简；（2）观察式子结构，将202×196转化为2×202×98，使原式符合完全平方公式的形式，再利用公式进行简便计算．【详解】（1）解：3a=3a=3a=3a(b+3)（2）解：202====90000．18．（6分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式：y-1（2）解不等式组：2x-7<3x-1【答案】（1）y≥3；（2）-4<x≤3，数轴表示见解析【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变；（1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1；（2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示．【详解】（1）解：y-1去分母，得5(y-1)≥20-2(y+2)，去括号，得5y-5≥20-2y-4，移项，得5y+2y≥20-4+5，合并同类项，得7y≥21，系数化为1，得y≥3．（2）解：2x-7<3(x-1)解不等式2x-7<3(x-1)，去括号，得2x-7<3x-3，移项，得2x-3x<-3+7，即-x<4，∴x>-4．解不等式12去分母，得3(x+1)-2x≤6，去括号，得3x+3-2x≤6，合并同类项，得x+3≤6，移项，得x≤3．∴不等式组的解集为-4<x≤3．不等式组的解集在数轴上表示为：19．（8分）（2025·河北邯郸·二模）已知分式2xx+2(1)化简分式；(2)若x的值为方程3x-3【答案】(1)1(2)-【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式的混合运算．（1）根据分式混合运算法则，先算小括号里面的分式减法，然后再算分式的除法即可；（2）先把分式方程转变为整式方程，解分式方程求出x的值，然后检验，把分式方程的解代入（1）中化简后的分式，进行计算即可．【详解】（1）解：2x====1（2）解：对于方程3x-3去分母，得3x=2x-6，解得x=-6．检验：把x=-6代入xx-3，得x∴分式方程3x-3=2∴原分式的值为1x-220．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为点A(-1,2)，点B(-4,1)，点C(-2,-2)，将△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到△DEF，其中点D与点A对应，点E与点B对应，点F与点C对应．(1)若将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请写出这一平移的平移方向与平移距离；(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A'B'C，其中点A'与点A对应，点B'【答案】(1)△DEF是由△ABC沿AD方向一次平移35(2)点A'2,-3【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质、旋转作图、勾股定理等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键．（1）连接AD，然后用勾股定理求得的AD长即可解答；（2）先根据旋转的性质求得对应点A'、B'，然后直接读出点A'【详解】（1）解：如图：连接AD，根据勾股定理可得：AD=6∴△DEF是由△ABC沿AD方向一次平移35个（2）解：如图：△A由坐标系可得：点A'2,-3、点21．（10分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有a块正方形木板和b块长方形木板．(1)当a=600，b=2000，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？(2)当a=100时，且395<b<405，恰好要将库存木板用完，求整数b的值．【答案】(1)无盖竖式木箱做了400个，有盖横式木箱做了100个(2)b的值为396或400【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设无盖竖式木箱做了x个，有盖横式木箱做了y个，根据制作的两种木箱正好使用600个正方形木板和2000个长方形木板，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设无盖竖式木箱做了m个，则有盖横式木箱做了100-m2个，根据两种木箱每个均需使用4个长方形木板，可找出b=2m+200，结合395<b<405，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m，100-m2均为整数，即可确定m的值，进而可得出【详解】（1）解：设无盖竖式木箱做了x个，有盖横式木箱做了y个，根据题意得：x+2y=6004x+4y=2000解得：x=400y=100答：无盖竖式木箱做了400个，有盖横式木箱做了100个；（2）解：设无盖竖式木箱做了m个，则有盖横式木箱做了100-m2个根据题意得：b=4m+4×100-m∵395<b<405，∴2m+200>395解得：1952又∵m，100-m2∴m可以为98或100，∴b=2m+200=2×98+200=396或2m+200=2×100+200=400．答：b的值为396或400．22．（10分）（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的7×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）．(1)在图1中画一条线段，使它平分四边形ABCD的面积；(2)在图2的边CD上画点E，使∠ABE=45【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可）(2)见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形作图即可；（2）如图，点A向右4个格点，向下3个格点为M，连接BM，则△ABM是等腰直角三角形，则∠ABM=45°，BM与CD的交点E即为所求；【详解】（1）解：由题意知，AD∥BC，AD=4=BC，AB=CD=3∴四边形ABCD是平行四边形；则连接AC，BD交于O，做一条过O的线段即可；（2）解：如图，取格点M，连接BM交CD于E，点E即为所求；证明：由勾股定理可知：AB2=32∴△ABM是等腰直角三角形，∴∠ABM=45°，即∠ABE=4523．（12分）（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题：【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如x+1x-1，x2x-2，例如：将分式x2方法1：x2方法2：由分母为x+3，可设x2+2x-5=x+3x+a+b∵x+3∴x2+2x-5=∴a+3=23a+b=-5，解得∴x∴x这样，分式x2【材料2】对于式子2+31+x2，由x2≥0知1+x2的最小值为1，所以(1)分式2x+2是分式（填“真”或“假”(2)把分式x2(3)当x≥1时，求分式x【答案】(1)真(2)x+2-4x+1(3)【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键．（1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断．（2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案．（3）先求出x4+3x2【详解】（1）解：2x+2（2）解：设x+1x+a则a+1=3a+b=-2解得a=2b=-4∴x（3）解：考虑x4∵x≥1，x当x2=1时，x∴x2+124．（12分）（25-26八年级上·湖北十堰·期末）数学活动课上，老师让同学们准备两个等腰直角三角形纸片，将直角顶点重合到一起，利用图形的旋转开展探究活动．(1)当两个等腰直角三角形纸片如图1放置时，∠A=90°，AB=AC，点D和点E分别在AB和AC上，且AD=AE，则BD与CE的数量关系是______，位置关系是__