复习讲义05 分式与分式方程（原卷版）

专题05分式与分式方程（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01分式、最简分式、最简公分母题型02分式有无意义的条件题型03分式的值为0的条件题型04利用分式的基本性质判断分式值的变化题型05分式的混合运算题型06分式化简求值题型07分式方程的定义题型08解分式方程题型09根据分式方程根的情况求参数题型10分式方程的实际应用题型11分式运算有关的规律性问题题型12分式方程有关的规律性问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律分式的概念与有意义条件理解分式的定义，能判断分式有无意义及分式值为零的条件基础必考点，常以填空题或选择题形式考查分母不为零及分子为零的条件分式的基本性质与约分、通分掌握分式的基本性质，能熟练进行约分、通分，化为最简分式高频易错点，容易忽略符号变化或因式分解不彻底，常出现在化简求值题中分式的乘除与乘方能准确进行分式的乘法、除法及乘方运算，并化为最简结果中档计算题常考，需注意运算顺序及结果化简，易与加减运算混淆分式的加减（同分母与异分母）掌握同分母分式加减法则，能正确进行异分母分式的通分与加减运算综合计算题中的核心步骤，常与分式方程、化简求值结合，易错点是最简公分母找错分式方程的解法理解分式方程的概念，掌握去分母化为整式方程的方法，并检验根期末必考点，常以解答题形式出现，易忽略检验增根，导致失分分式方程的应用能根据实际问题列出分式方程，并求解检验，解决行程、工程、销售等问题压轴题型之一，常考列方程及检验合理性，易在等量关系建立和增根检验上出错知识点01分式的概念与相关条件定义：形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。其中A叫分子，B三个重要条件：1.分式有意义：分母≠02.分式无意义：分母=03.分式值为0：分子=0且分母≠0示例：分式2xx-3有意义→x-3≠0，即x≠分式x2-4x-2的值为0→x2-4=0得x=±2，但x=2时分母为0易错点：1.判断分式值为0时，只关注分子为0而忽略分母不为0。如例中x=2虽使分子为0，但分母也为0，分式无意义。2.分式与分数的混淆：分母中必须含有字母才是分式，如x23.“有意义”与“值为0”的条件记反。知识点02分式的基本性质性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。数学表达：AB=A∙CB∙C;AB=A÷CB÷C（示例：2x3y=2x∙23y∙2=4x6yx2-1x+1=(x+1)(x-1)x+1=x-1（分子分母同除以x+1，前提x易错点：1.“都”字漏掉：只乘分子或只乘分母。2.“同一个”弄错：分子乘2，分母乘3，改变分式值。3.“不为0”忽略：同乘的整式可能为0导致错误。4.符号处理错误：分子分母同时变号时混淆。如-x-y=x知识点03分式的约分与最简分式约分：利用分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去。最简分式：分子与分母没有公因式的分式（不能再约分）。约分步骤：1.系数：约去系数的最大公约数。2.字母：约去相同字母的最低次幂。3.多项式：先分解因式，再找公因式。示例：6a3b29a2b4=2a3b2（系数约x2-4x2-2x=(x+2)(x-2)x(x-2)=易错点：1.只约系数忘约字母，或只约字母忘约系数。2.分子或分母是多项式时未分解因式直接约分。3.约分不彻底，结果不是最简分式。4.误以为x+yx+y=0，实际等于1（x+y≠0知识点04分式的通分通分：将几个异分母分式化为同分母分式的过程，通常取最简公分母。最简公分母的确定：1.系数：取各分母系数的最小公倍数。2.因式：取各分母所有因式的最高次幂。示例：-分式12x与13x2的最-1x2-1=1(x+1)(x-1)与1x+1的最简公分母为易错点：1.找最简公分母时遗漏因式或系数求错。2.通分后分子忘乘相应的倍数。3.将分母扩大时，分子未同步扩大。知识点05分式的运算1.分式的乘除:ab∙cd=ac示例：2x3y∙2.分式的加减:ab±c示例：xx+1-1x+1=x-1x+1;2x+3.分式的混合运算按先乘除、后加减，有括号先算括号的顺序进行。易错点：1.分数线有括号作用：分子是多项式时，相减忘加括号。如1x-x-1x=1-(x-1)x=2-xx，若写1-x-1)2.约分时对分式整体结构认识不清，只约部分。3.结果未化为最简分式。4.乘除运算中，除法转化为乘法时忘取倒数。知识点06分式方程的概念与解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的一般步骤（一化二解三检验）：1.去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。2.解整式方程。3.检验：将解代入最简公分母，若为0则舍去（增根）。示例：解方程2x-1=1-去分母：2(x+1)=x-1-解得：2x+2=x-1，x=-3-检验：x=-3时，(x-1)(x+1)=(-4)(-2)=8≠0，是原方程的解易错点：1.漏乘不含分母的项：方程中若有常数项，去分母时容易漏乘。2.忘记检验：检验是解分式方程的必要步骤，否则可能混入增根。3.增根概念不清：增根是使最简公分母为0的解，不是原分式方程的解，必须舍去。4.分子是多项式时去分母括号错误：如x-1x=2去分母得x-1=2x，而不是x-1=2知识点07分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤（审、设、列、解、验、答）：1.审：分析题意，找等量关系。2.设：设未知数（直接设或间接设）。3.列：根据等量关系列方程。4.解：解分式方程。5.验：检验是否是原方程的解+是否符合实际意义。6.答：写答案。常见模型：类型基本关系等量参考行程问题路程=速度×时间时间相等、路程相等工程问题工作量=效率×时间工作量常设为1利润问题利润=售价-进价单价相等、总价相等购物问题总价=单价×数量数量相等、总价相等示例（工程问题）：甲队单独完成工程需60天。甲队先做20天，剩下的甲乙合作24天完成。求乙队单独完成需多少天？解：设乙队单独完成需x天。20解得x=90，经检验符合题意。易错点：1.忽略双重检验：既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际（如人数为整数、时间正数等）。2.单位不统一：如速度单位千米/小时与时间单位分钟混用。3.等量关系找错：特别是工程问题中“合作时间”与“单独工作时间”混淆。知识点08分式方程增根与无解问题（拓展）增根：去分母后整式方程的解使最简公分母为0，不是原方程的解。无解：两种情况——1.去分母后的整式方程无解；2.整式方程有解，但所有解都是增根。已知增根求参数步骤：1.化分式方程为整式方程。2.令最简公分母=0，得增根的值。3.将增根代入整式方程求参数。示例：若关于x的方程2x-3+ax+3=1有增根x=3，求-去分母得整式方程，将x=3代入可求a。易错点：1.混淆“有增根”和“无解”：无解包含但不限于有增根的情况。2.未考虑最简公分母的多个零点（可能多个增根）。题型一分式、最简分式、最简公分母解｜题｜技｜巧分式分母含字母；最简分式分子分母无公因式，需约分；最简公分母取各分母系数最小公倍数与所有因式最高次幂的积，通分前先分解分母，避免漏乘或重复。【典例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【典例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列分式中，最简分式是（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式，的最简公分母为（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（

）A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数题型二分式有无意义的条件解｜题｜技｜巧分式有意义则分母不为零；无意义则分母为零，不考虑分子；根据分母列方程或不等式求解，注意分母为多项式时需整体考虑，不能只取部分因式为零，结果要检验。【典例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式无意义，则x的取值为（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）当取哪个数时，分式的值不存在（）A． B． C． D．【变式1】（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（

）A． B． C． D．题型三分式的值为0的条件解｜题｜技｜巧分式值为0需分子为零且分母不为零；先令分子等于0解方程，再代入分母检查是否非零，若分母为零则舍去该解，注意分子分母有公因式时先约分再判断，避免增根。【典例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）若分式的值为，则的值为___________．【典例2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式的值为零，则______．【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________．x的值1分式的值不存在0【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____．题型四利用分式的基本性质判断分式值的变化解｜题｜技｜巧分式分子分母同乘非零整式值不变；判断变化看分子分母运算是否对应，排除乘零情况；可代入特殊值快速验证，注意符号变化与整体倍分关系，避免只看部分忽略整体。【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍【变式1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（

）A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍C．扩大为原来的4倍 D．不变【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（

）A． B．C． D．题型五分式的混合运算解｜题｜技｜巧先算乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意通分与约分，结果化为最简分式或整式；运算中可先分解因式再约分，避免盲目通分，最后检验分母是否为零。【典例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）计算：．【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）化简：．【变式1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）化简：．【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程．①原式；②原式．(1)以上解法中正确的是_____________（填序号即可）；(2)写出完整的解答过程．题型六分式化简求值解｜题｜技｜巧先化到最简分式，再代入数值；代入时注意分母不为零，负数添括号，整体代入可简化；条件如x+y=3可变形后代入，避免复杂计算，结果需约分，检验是否合理。【典例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中．【典例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中．【变式1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，其中从3、2、1、中选取一个合适的数代入求值．【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值：(1)，其中．(2)，其中．题型七分式方程的定义解｜题｜技｜巧分母中含未知数的方程是分式方程；判断看分母字母是否未知，注意分母可为零但方程中需排除增根，整式方程与分式方程区别在于分母，解前先找最简公分母。【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，是分式方程的是（

）①；②；③；④A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在方程，，，，中，分式方程的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（

）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④题型八解分式方程解｜题｜技｜巧去分母乘最简公分母化为整式方程，解后必须检验代入最简公分母是否为零；零则增根舍去；注意符号变化与移项，避免漏乘常数项，无解情况包括整式方程无解或解全为增根。【典例1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）解方程(1)；(2)．【典例2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）解下列方程：(1)；(2)．【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程：(1)；(2)．【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）解方程(1)；(2)．题型九根据分式方程根的情况求参数解｜题｜技｜巧先将分式方程化为整式方程，解用参数表示，再根据根的正负、整数或增根条件列不等式或方程；注意分母不为零与增根排除，常需分类讨论，最后检验参数范围。【典例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________．【典例2】（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________．【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________．【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____．题型十分式方程的实际应用解｜题｜技｜巧审题设未知数，根据等量关系列分式方程，解后双重检验：是否满足方程且符合实际意义；注意单位统一与结果合理性，常涉及工程、行程或销售问题，答案要带单位。【典例1】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元．(1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用；(2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？【典例2】（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件．(1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？(2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同．(1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？(2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？【变式2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．题型十一分式运算有关的规律性问题解｜题｜技｜巧观察式子结构，寻找重复模式，通常含裂项相消或循环规律；将复杂分式拆成简单分式差，累加时中间项抵消，注意首尾项与分母变化，归纳通项公式，验证n=1时成立。【典例1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式：①；②；③；．．．(1)根据以上规律写出第④个等式：___________；(2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性；(3)利用你发现的规律，计算：．【典例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律：①，②，③……(1)请写出第④个等式：__________；(2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明．【变式1】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式：①；②；③；④(1)根据上面等式的规律补全等式：；(2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______；(3)请证明（2）中等式的正确性；(4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果：．【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：；；；……请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)；(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．题型十二分式方程有关的规律性问题解｜题｜技｜巧观察方程形式，常发现根与系数或序号关系，先解前几个特例找规律，猜想通解表达式；验证时代入方程，利用分式方程解法，注意增根与定义域，可归结为数列或递推问题。【典例1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；；【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明．（2）【拓展】①利用你发现的规律计算：；②利用上述规律解答：若的值为，求n的值．【典例2】（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：；；；请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：(1)________；(2)请你按利用发现的规律计算：；(3)利用上面规律解方程：．【变式1】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用【特例分析】（1）填空：①的解为x=；②的解为x=；③的解为x=；【总结规律】（2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：．【解决问题】（3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程）【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：特例1：；特例2：；特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）【发现规律】______．（，且n为整数）【应用规律】（1）计算：；（2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下列各式是分式的是（）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且4．（25-26八年级上·上海·期末）函数中自变量的取值范围是_____．5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为___________．6．