本科三年级《金融时间序列分析》教案：第三讲 平稳性与单位根检验

本科三年级《金融时间序列分析》教案：第三讲平稳性与单位根检验一、教学基本信息【课题名称】本科三年级《金融时间序列分析》教案：第三讲平稳性与单位根检验【授课对象】本科三年级金融学专业、经济学专业、统计学专业【课程类型】专业核心课/必修课【课时安排】2课时（90分钟）【授课教师】（由任课教师填写）【教材与参考书目】1.高铁梅.计量经济分析方法与建模：EViews应用及实例（第二版）.清华大学出版社.【基础】2.詹姆斯·D·汉密尔顿(JamesD.Hamilton).时间序列分析.中国人民大学出版社.【非常重要】3.沃尔特·恩德斯(WalterEnders).应用计量经济学：时间序列分析（第四版）.高等教育出版社.【热点】4.张晓峒.EViews使用指南与案例.机械工业出版社.二、教学目标设计（一）知识与技能目标1.【基础】准确理解时间序列平稳性的严格定义，能够区分严平稳、弱平稳（协方差平稳）以及白噪声过程。2.【非常重要】深刻理解非平稳时间序列的特征，掌握随机游走模型（有无漂移）的数学表达及其统计性质。3.【核心】系统掌握单位根的概念，能够清晰阐述单位根过程与非平稳性之间的内在逻辑关系。4.【技能】熟练掌握迪基富勒(DickeyFuller,DF)检验和增广迪基富勒(AugmentedDickeyFuller,ADF)检验的模型设定、检验步骤、统计量构造及判别准则。5.【难点】能够运用EViews或Stata等软件，对实际金融数据（如股票价格、汇率、GDP）进行ADF检验，并正确解读软件输出的检验结果。（二）过程与方法目标1.通过理论推导与案例剖析相结合的方式，引导学生建立“从数据特征到模型选择”的计量经济学思维。2.采用“问题导向”教学法，以一个经典的经济学谬误回归案例（如中国GDP与某国降雨量）为引子，激发学生对时间序列平稳性重要性的思考。3.通过分组讨论与上机操作，培养学生独立进行实证研究的能力，使其在面对一组时间序列数据时，能形成规范的分析流程：图形观察→自相关分析→单位根检验→差分处理。（三）情感、态度与价值观目标1.培养学生严谨求实的科学态度，认识到在使用时间序列数据进行经济建模前，对数据平稳性进行检验是必不可少的步骤，绝不能为了追求显著性结果而“伪造”平稳。2.引导学生体会金融数据背后的统计规律，理解金融市场有效性与随机游走假设之间的理论关联，建立金融直觉与计量工具的桥梁。3.鼓励学生勇于探索，面对看似复杂抽象的统计理论，能够通过实证操作和案例分析，建立解决实际问题的自信心。三、教学重难点（一）教学重点1.平稳性的定义及其内涵。2.单位根过程的本质与非平稳性的关系。3.ADF检验的模型形式（三种形式：无截距无趋势、有截距、有截距和趋势项）的选择依据与判断方法。【高频考点】4.DF/ADF检验统计量与常规t统计量的区别及其临界值的特殊性。（二）教学难点1.【难点】对“随机游走”过程方差无限大这一抽象概念的理解，以及它与经济学中“趋势”和“周期”概念的辨析。2.【非常重要】单位根检验中检验统计量渐近分布的非标准性，导致不能使用常规t分布临界值的原因。虽不要求本科生完全推导证明，但需理解其含义。3.【难点】ADF检验中滞后阶数（p）的选择原则（如AIC、BIC准则），以及选择不当对检验功效和尺寸的影响。4.在含有结构突变的序列中，传统ADF检验功效降低的问题及其初步认识。四、教学方法与手段（一）教学方法1.启发式讲授法：通过层层递进的问题设计，引导学生从直观感知上升到理论抽象。2.案例教学法：使用真实的金融时间序列数据（如上证综指日收盘价）作为贯穿全课的实证案例。3.比较分析法：对比分析平稳序列与非平稳序列的自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）特征。4.探究式学习：布置课后研究任务，让学生自主寻找数据并完成平稳性检验全流程。（二）教学手段1.多媒体PPT演示：展示核心定义、公式推导过程、检验步骤流程图和软件操作界面截图。2.板书辅助：对于关键的公式推导（如DF检验统计量的推导思路）和逻辑框图，进行板书演示，放慢节奏，加深理解。3.计量软件演示：课堂上实时运行EViews，演示从导入数据、绘制序列图、查看相关图到完成ADF检验的全过程。五、教学过程设计（一）课堂导入：从“谬误回归”现象谈起（约8分钟）1.情景创设：在PPT上展示两个序列的折线图——序列A：中国年GDP（万亿元）；序列B：某太平洋岛国同期年降雨量（毫米）。两个序列均呈现单调上升趋势。2.提出问题：如果我们将GDP对降雨量进行普通最小二乘(OLS)回归，通常会得到非常显著的t统计量（例如t>5）和极高的拟合优度R²（例如>0.8）。请问，我们能就此得出结论“某岛的降雨量显著影响了中国的GDP增长”吗？3.学生互动：引导学生认识到这显然是一个“伪回归”或“谬误回归”。原因在于，这两个本无任何经济联系的序列都含有共同的“趋势”成分，使得残差序列非平稳，导致传统的t检验和F检验失效。4.教师总结：引出本节课的核心议题——如何科学地识别和检验时间序列的平稳性。这是避免谬误回归、构建可靠计量模型的第一道关卡。由此引入本课新标题：《平稳性与单位根检验》。（二）知识回顾与概念辨析：什么是平稳性？（约15分钟）1.【基础】回顾随机过程的概念。一个时间序列{Yt}可以看作是一个随机过程的一个实现。2.严格平稳(StrictlyStationary)：......定义：对于所有的时间t和任意的滞后k，随机向量(Yt,Yt+1,...,Yt+k)的联合分布与(Yt+m,Yt+1+m,...,Yt+k+m)的联合分布完全相同。也就是说，序列的统计性质不随时间原点的平移而改变。2.4.意义：这是一个非常强的条件，在实际应用中很难满足，也很难检验。5.【核心】弱平稳(WeaklyStationary)或协方差平稳(CovarianceStationary)：1.6.定义：如果一个时间序列{Yt}满足以下三个条件，则称其为弱平稳过程：(1)均值平稳：E(Yt)=μ，为与时间t无关的常数。(2)方差平稳：Var(Yt)=E[(Ytμ)²]=σ²，为与时间t无关的常数。(3)协方差平稳：对于任意滞后k，协方差Cov(Yt,Ytk)=E[(Ytμ)(Ytkμ)]=γk，只依赖于滞后期k，而与时间t无关。2.7.【非常重要】强调：这是计量经济学中最常用的平稳性定义。除非特别说明，通常所说的“平稳”即指“弱平稳”。8.白噪声过程(WhiteNoise)：1.9.定义：如果一个序列{εt}满足：E(εt)=0，Var(εt)=σ²，且对于所有k≠0，Cov(εt,εtk)=0。则称{εt}为白噪声过程。2.10.这是最基础的平稳过程，是构成许多其他时间序列模型（如AR、MA、ARMA）的基石。特别地，如果εt还服从独立同分布，则称为独立白噪声。11.直观理解与图形判断：1.12.展示几张典型的平稳序列图（如利率变化、高频金融收益率）：数据围绕一个常数均值上下波动，波动幅度大致恒定，无明显的趋势或季节性。2.13.展示非平稳序列图（如股价、GDP、物价指数）：数据呈现明显的上升或下降趋势，或者波动幅度随时间变化（异方差）。3.14.【基础】指导学生初步观察图形的“遍历性”和“均值回归”特征。（三）核心模型引入：随机游走与单位根（约20分钟）1.【非常重要】随机游走模型(RandomWalk)：1.2.不含漂移的随机游走：Yt=Yt1+εt，其中εt为白噪声。2.3.含漂移的随机游走：Yt=α+Yt1+εt，其中α为漂移项（非零常数）。3.4.推导性质：(1)通过递推，Yt=Y0+Σεi（不含漂移），均值E(Yt)=Y0，为常数。看似满足均值平稳？不，这里Y0是常数，但关键是方差。(2)方差：Var(Yt)=Var(Σεi)=tσ²。方差随着时间t的增长而趋向于无穷大。这直接违反了弱平稳的第二个条件。(3)协方差：Cov(Yt,Ytk)=(tk)σ²，依赖于时间t，而非仅依赖于k。违反了第三个条件。4.5.结论：随机游走过程是一个典型的非平稳过程。6.一阶自回归模型AR(1)与单位根：1.7.考虑AR(1)模型：Yt=ρYt1+εt，εt~WhiteNoise(0,σ²)。2.8.滞后算子形式：(1ρL)Yt=εt。3.9.特征方程：1ρz=0，特征根为z=1/ρ。4.10.平稳性条件：对于平稳性，要求|ρ|<1，即特征根的模大于1。5.11.单位根过程：当ρ=1时，模型退化为随机游走Yt=Yt1+εt。此时，特征方程的根z=1/1=1。这个等于1的根就叫做“单位根”。6.12.【高频考点】因此，“单位根过程”和“随机游走过程”（一阶）在本质上是一回事。单位根是导致时间序列非平稳的根源之一（另一种是确定趋势）。13.区分趋势：1.14.确定性趋势+平稳成分：Yt=α+βt+ut，其中ut是平稳的。此时序列围绕一个确定的线性趋势波动。2.15.随机性趋势（随机游走+漂移）：Yt=α+Yt1+εt。此时，趋势本身是随机的，每次冲击εt都会对序列的长期水平产生永久性影响。3.16.【难点】通过图示对比两种趋势，帮助学生理解为何含有单位根的序列具有“长记忆性”和“随机性趋势”，冲击是永久的；而平稳序列围绕趋势波动，冲击是暂时的。（四）检验方法（一）：迪基富勒(DF)检验（约15分钟）1.检验思想的起源：DF检验(DickeyFuller,1979)的基本思想是在AR(1)模型框架下，检验ρ=1是否成立。2.三种检验模型形式：模型1（无常数项、无趋势项）：ΔYt=γYt1+εt，其中γ=ρ1。模型2（有常数项、无趋势项）：ΔYt=α+γYt1+εt。模型3（有常数项、有趋势项）：ΔYt=α+βt+γYt1+εt。原假设H0：γ=0（即存在单位根，序列非平稳）。备择假设H1：γ<0（即序列平稳，或趋势平稳）。3.【非常重要】检验统计量及其非标准分布：1.4.常规的OLSt统计量计算公式为：t=(γ̂0)/SE(γ̂)。2.5.【难点】但是，在原假设γ=0成立时，这个t统计量并不服从标准的t分布或正态分布！它的极限分布是维纳过程的泛函，是一个非对称的分布。3.6.因此，不能使用传统的t临界值来判断显著性。必须使用迪基和富勒通过蒙特卡洛模拟得到的特殊临界值表（即τ统计量临界值）。7.判别准则：1.8.如果计算出的DF统计量（即τ统计量）小于给定显著性水平下的临界值（通常是负的很大的数，如2.86），则拒绝原假设，认为序列不存在单位根，是平稳的。2.9.如果DF统计量大于临界值，则不能拒绝原假设，认为序列存在单位根，是非平稳的。（五）检验方法（二）：增广迪基富勒(ADF)检验（约18分钟）1.【核心】为何要引入ADF？因为DF检验假设误差项εt是白噪声。但在实际金融数据中，误差项常常存在自相关。如果直接使用DF检验，会导致检验统计量扭曲（sizedistortion）或检验功效降低。2.ADF检验的原理：通过在模型右侧加入ΔYt的滞后项，来控制误差项的高阶自相关。这相当于检验一个AR(p)过程是否存在单位根。3.ADF检验的三种模型形式：模型1（无常数项、无趋势项）：ΔYt=γYt1+Σ(βiΔYti)+εt。模型2（有常数项、无趋势项）：ΔYt=α+γYt1+Σ(βiΔYti)+εt。模型3（有常数项、有趋势项）：ΔYt=α+βt+γYt1+Σ(βiΔYti)+εt。其中，i=1到p（滞后阶数），p的选择通常依据AIC或BIC准则。4.【非常重要】ADF检验的关键步骤：1.5.第一步：图形观察与初步判断。画出序列的时序图，判断是否存在截距项（均值非零）和时间趋势。这有助于初步确定检验模型中是否应包含常数项和趋势项。2.6.第二步：确定滞后阶数p。通常从较大的滞后阶数开始，根据AIC(AkaikeInformationCriterion)或SIC(SchwarzInformationCriterion)最小的原则，或者通过检验滞后项系数的显著性来确定最优滞后阶数。3.7.第三步：进行检验。依次从最复杂的模型（含趋势项和截距项）开始检验。如果趋势项不显著，则退化为只含截距项的模型；如果截距项也不显著，则退化为不含截距和趋势的模型。但这种序贯检验方法在学术界有争议，更稳健的做法是根据经济理论和图形特征事先设定模型。4.8.第四步：判断结果。将计算出的ADF统计量与对应模型、对应样本容量的Mackinnon临界值比较。若ADF值<临界值，则拒绝原假设，认为序列平稳。9.【高频考点】案例分析：以上证综指日收盘价（Pt）和日收益率（Rt=lnPtlnPt1）为例。1.10.在EViews中导入上证综指数据。2.11.先看Pt的时序图：明显呈上升趋势，波动聚集。初步判断为非平稳。3.12.进行ADF检验（选择含截距和趋势项，滞后阶数由SIC自动选择）。结果显示ADF统计量=1.5，p值>0.1。不能拒绝原假设，说明Pt含有单位根。4.13.再看Rt的时序图：围绕0值上下波动，无明显趋势。初步判断为平稳。5.14.进行ADF检验（选择仅含截距项，滞后阶数由SIC自动选择）。结果显示ADF统计量=30，p值=0.0000。强烈拒绝原假设，说明收益率序列Rt是平稳的。这验证了金融学中“价格一般非平稳，收益率通常平稳”的典型事实。（六）课堂练习与实时反馈：基于模拟数据的检验（约10分钟）1.任务布置：使用预先安装在电脑上的EViews软件，或者通过教师机发送的模拟数据集（包含三个序列：Series_A平稳AR(1)过程，ρ=0.5；Series_B随机游走过程；Series_C含趋势的平稳过程）。2.学生操作：要求学生独立完成以下操作：(1)绘制三个序列的时序图，初步判断其平稳性。(2)查看三个序列的自相关图(Correlogram)，观察其衰减速度（平稳序列的自相关函数通常快速衰减到0，而非平稳序列则衰减缓慢）。(3)对三个序列分别进行ADF检验，并根据图形特征合理选择检验模型形式。3.问题讨论：教师巡视指导，选取几位学生的检验结果进行展示。讨论为什么对Series_B的检验不能拒绝原假设？为什么Series_C的检验模型必须包含趋势项？如果错误地选择了不含趋势项的模型对Series_C进行检验，会得到什么错误结论？（通常会导致不能拒绝单位根的原假设，犯第二类错误）。（七）课堂小结与核心要点归纳（约4分钟）1.知识图谱梳理：在黑板上或PPT最后一张，以思维导图的形式回顾本课逻辑主线：谬误回归（问题提出）→平稳性定义（理论基础）→随机游走与单位根（模型表现）→DF/ADF检验（实证方法）→软件实现与案例解读（应用落地）。2.【非常重要】总结三个关键点：(1)单位根是非平稳性的重要来源，特征是方差随时间发散、冲击具有持久性。(2)ADF检验是应用最广的单位根检验方法，其核心在于通过包含被解释变量滞后项来控制自相关。(3)检验模型形式（截距、趋势）的选择至关重要，选择错误可能导致结论完全相反。3.【热点】预告下节课内容：如果序列是非平稳的（存在单位根），我们该怎么办？引出“差分法”和“协整理论”，为后续建立误差修正模型(ECM)埋下伏笔。（八）课后作业与拓展阅读（布置）1.基础作业：(1)简述弱平稳的定义，并说明为什么随机游走过程不满足弱平稳条件。(2)查阅文献，简述ADF检验与DF检验的主要区别。为什么在大多数实证研究中都使用ADF检验？2.【非常重要】上机作业：(1)从“锐思数据库”或“Wind资讯”某只股票（如贵州茅台）自2010年1月1日至2020年12月31日的日收盘价数据。(2)生成其对数价格序列(lnP)和对数收益率序列(R=lnPlnP1)。(3)分别绘制两个序列的时序图、自相关偏自相关图。(4)对两个序列进行ADF检验（包括选择合适的模型形式和滞后阶数），并撰写一份不超过一页A4纸的检验报告，内容包括：数据描述、图形特征、检验过程、结果解读和最终结论。3.【拓展】进阶思考题（选做）：(1)如果时间序列存在结构突变（如金融危机前后），ADF检验可能会出