《倍数和因数》大单元探究式教学设计（西师大版五年级下册）

《倍数和因数》大单元探究式教学设计（西师大版五年级下册）一、教材与学情分析：基于核心素养的深度解读【基础】本课内容是西师大版五年级下册第一单元“倍数和因数”的开启课，是整个数论知识体系的基石。在此之前，学生已经系统认识了自然数，掌握了乘除法的基本运算，这为本课从乘法算式出发理解因数与倍数的概念提供了坚实的经验基础。教材编排摒弃了传统的整除定义式引入，转而采用“36人队列操练”的生活情境，引导学生列出乘法算式，由具体的算式抽象出数学模型，体现了“从生活走向数学，再从数学回到生活”的课程理念1。【重要】本单元内容属于初等数论范畴，概念抽象且逻辑严密。因数与倍数不是孤立存在的，而是反映两个非零自然数之间的一种相互依存关系，这是学生认知上的一次重要飞跃。后续的公因数、公倍数、质数、合数等知识，都将在此概念基础上生长。因此，本节课不仅是对单一概念的教学，更是为学生构建整个“数论”认知结构的奠基工程。从跨学科视野来看，这种“依存关系”在科学、社会学等领域普遍存在，教学中可以适时渗透这种联系的观点。【非常重要】学情分析是教学的起点。五年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们能够熟练进行乘除法计算，但面对“倍数与因数”这种高度抽象且相互依存的概念时，容易产生两种倾向：一是将“因数”与乘法算式中的“乘数”完全等同，忽略其整除的前提；二是孤立地理解概念，说出“4是因数，12是倍数”之类的错误表述。因此，教学设计的核心难点在于如何帮助学生完成从“具体算式”到“抽象关系”的跨越，并深刻理解概念的“相互依存性”。二、教学目标：指向深度学习与素养达成基于上述分析，依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，确立以下指向核心素养的教学目标：（一）知识与技能：【基础】结合具体情境，借助乘法算式理解因数和倍数的意义，能正确判断两个非零自然数之间的因数和倍数关系。【高频考点】掌握有序找一个数的因数和倍数的方法，能熟练地找出一个非零自然数的所有因数（在100以内）和指定范围内的倍数。（二）过程与方法：【重要】经历“操作观察—概念抽象—方法探究—规律发现”的数学化过程，通过自主探究与合作交流，感悟分类计数、归纳推理和数形结合的思想方法，培养思维的条理性和严密性。（三）情感、态度与价值观：在探究活动中体验数学的严谨与趣味，感受数学知识之间的内在联系，初步形成用联系的观点看待世界的意识，激发对数论基础知识的好奇心和求知欲。三、教学重难点：聚焦概念建构与方法优化【重点】理解因数与倍数的意义及其相互依存的关系。【难点】掌握有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数的方法。【热点】在探究过程中感悟有序思考的数学价值。四、教学准备：技术支持与资源整合多媒体课件（包含队列动画、电子交互转盘）、学生学具（12个小正方形卡片）、学习单（含分层探究任务）。五、教学过程设计与实施：四阶探究，深度建构整个教学过程分为“激活经验，初感依存—数形结合，建构概念—方法探究，深化思维—分层练习，拓展应用”四个层层递进的环节，确保将“教学实施过程”这一核心环节做细、做实、做深。（一）激活经验，初感“相互依存”课前谈话，建立情感链接。教师出示一张自己和朋友握手的照片，提问：“同学们，你们能描述一下我和我的这位朋友是什么关系吗？”学生自然会回答“朋友关系”。教师追问：“能说我是一位朋友，或者说他是一位朋友吗？”引导学生明白“朋友”是指两个人之间的一种关系，不能单独说某个人是朋友。【设计意图】通过生活中熟悉的“人际关系”，巧妙地破解放了概念的冰冷外衣，让学生直观感受到“相互依存”的含义，为理解因数和倍数不能单独存在奠定了情感和认知基础。这一环节用时约3分钟，重在唤醒生活经验，不着痕迹地引出核心概念的本质特征。（二）数形结合，建构概念内涵1.操作感知，以形引数。教师出示核心任务：“请同学们拿出准备好的12个小正方形，拼成一个长方形。想一想，每排摆几个，摆了几排？你能用一道乘法算式来表示你的摆法吗？”学生独立操作后，全班展示交流。预设学生会出现三种不同的摆法：1×12（或12×1）、2×6（或6×2）、3×4（或4×3）。教师根据学生的回答，同步在课件上呈现对应的长方形拼摆图，并在图下方板书出相应的乘法算式5。2.抽象概念，揭示定义。教师以“4×3=12”为例，引导学生进行角色扮演：“在这个乘法算式里，4、3、12这3个数，它们之间也有一种像‘朋友’一样相互依存的关系。在数学中，我们就说：4是12的因数，3也是12的因数；反过来，12是4的倍数，12也是3的倍数。”教师边说边在算式的相应位置板书“因数”“倍数”。随后，教师引导学生模仿说理：“谁能结合另外两道算式，像老师这样，说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？”先请优等生示范，再让同桌两人互相说说。通过多道算式的反复强化，让学生在具体的语境中内化概念。【重要】此时教师必须进行关键追问：“刚才我们在‘4×3=12’中，说4是因数，这样说可以吗？”引导学生辨析讨论，明确必须说成“4是12的因数”，因数与倍数是一种关系，不能孤立地指向一个数。为了研究的方便，教师还需补充说明：我们研究的范围是非零自然数13。3.逆向迁移，深化理解。教师挑战学生：“刚才是用乘法，如果老师给出一道除法算式‘12÷4=3’，你还能从中找到因数和倍数关系吗？”引导学生利用乘除法的互逆关系，将除法算式转化为乘法，从而深化理解：只要两个数（非零自然数）的乘积等于第三个数，它们之间就存在因数和倍数的关系。【设计意图】此环节从动手操作到算式表达，从直观到抽象，完全契合学生的认知规律。特别是对乘法算式的充分解读和辨析，将核心概念“相互依存”深深地烙印在学生脑海中。整个环节约12分钟，是概念建构的关键期。（三）方法探究，深化思维层次1.探究找一个数的因数的方法（核心环节）。（1）提出问题，引发冲突。教师指着板书上的“36人队列操练”情境图（此例可在引出概念后呈现，或与12个正方形的例子结合使用，西师大版教材主情境是36人3），提问：“刚才我们发现，36的因数有4和9，还有1、36、2、18、3、12、6。难道36的因数只有这几个吗？请你找出36的所有因数。”（2）自主探究，暴露资源。学生独立尝试找出36的所有因数，教师巡视，收集典型的解法。预设学生会出现以下几种水平：A.无序、遗漏地找，如找到了2、3、4、6，却漏掉了9、12等。B.用乘法一对一对地找，但顺序混乱，或者重复（如找到4×9=36，又找到9×4=36，当成两个）。C.有序地用乘法一对一对地找：从1开始，1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36。D.有序地用除法找：36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷6=6。（3）交流碰撞，优化策略。教师将收集到的典型作业（特别是无序和有序的）通过投影展示，让学生当小评委：“你觉得哪种方法找得又快又全？为什么？”引导学生发现：一对一对地找（利用乘法或除法），并且从一开始，按顺序试下去，才能做到不重复、不遗漏。【非常重要】此时教师不仅要总结方法，更要提升思维品质。教师追问：“为什么试到6就差不多了？后面还需要继续试7吗？8呢？”引导学生发现：当除数和商越来越接近，直到出现重复（如6×6）时，说明已经找全了。这背后蕴含的是“临界点”的数学思想。（4）巩固练习，内化方法。学生用学到的方法，独立找出“30”的所有因数。指名板演，集体订正，再次强化有序思考的过程。（5）观察归纳，发现规律。引导学生观察36和30的因数，小组讨论：“一个数的因数有什么特点？”在全班交流中逐步归纳出：【难点】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。2.探究找一个数的倍数的方法（迁移类推）。（1）迁移类推，自主探究。教师：“刚才我们学会了找一个数的因数，那么怎么找一个数的倍数呢？你能找出多少个3的倍数？”放手让学生尝试。（2）展示交流，总结方法。学生可能会用乘法：3×1=3，3×2=6，3×3=9……；也可能用加法：3，3+3=6，6+3=9……。教师肯定多种方法，并引导学生体会用乘法思考的简便性和通用性。（3）讨论归纳，揭示规律。教师追问：“3的倍数你能找得完吗？为什么？一个数的倍数有什么特征？”引导学生归纳出：【高频考点】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。【设计意图】此环节约20分钟，是本课的核心部分。教师将探究的主动权完全交给学生，让学生在“尝试—出错—比较—优化”的过程中，亲历知识的再创造。找因数侧重于“有序思考”，找倍数侧重于“无限推理”，各有侧重，层层递进，真正实现了从“教会”到“学会”再到“会学”的转变。（四）分层练习，拓展应用提升本环节设计三个层次的练习，确保不同水平的学生都能获得发展。1.【基础练习】基础判断，巩固概念。出示一组算式，如“7×8=56”“63÷7=9”，让学生快速说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。并判断对错：“因为45÷5=9，所以45是倍数，5是因数。”（）【基础】此题直击概念核心，强调相互依存关系。2.【综合练习】开放探究，深化有序。“游戏：猜猜我是谁？”（1）我的最小倍数是18，我是（）。（2）我的最大因数和最小倍数都是20，我是（）。（3）我是42的因数，又是7的倍数，我还是21的因数。我是（）。【热点】此题将倍数、因数的特征综合起来，考查学生的逆向思维和综合分析能力。3.【拓展练习】跨域融合，文化渗透。介绍“完美数”：6的因数有1、2、3、6，把这些因数中的“真因数”（除去它本身）加起来，1+2+3=6，正好等于它本身。像这样的数叫做“完美数”。请同学们课后找一找20以内的另一个完美数（28）6。同时简单介绍中国古代数学家在这方面的研究成果，增强民族自豪感。【设计意图】练习设计由浅入深，既保证了所有学生达成基础目标，又为学有余力的学生提供了思维拓展的空间。尤其是“完美数”的介绍，将数学知识从课堂延伸到课外，点燃了学生探索数论奥秘的热情。此环节约10分钟。六、板书设计：思维可视化的知识地图【非常重要】板书遵循“简洁、有序、生成”的原则，随着课堂探究的推进动态生成。《倍数和因数》（相互依存，非零自然数）乘法算式找因数（36）找倍数（3）4×3=121×36=363×1=3↓↓2×18=363×2=6因数因数积3×12=363×3=9↓4×9=36……12是3和4的倍数6×6=36（不能说12是倍数）36的因数有：1,2,3,4,6,9,12,18,36。有限，最小是1，最大是本身。无限，最小是本身。整个板书以“关系”为核心，左侧明确概念，中间和右侧对比呈现找因数与倍数的方法与规律，清晰展示了知识的发生与发展过程，为学生课后复习提供了清晰的思维路径。七、教学反思：基于证据的持续改进本节课的设计，始终坚持以“学生发展”为核心，通过创设富有挑战性和探究性的数学活动，让学生在“做数学”和“思数学”的过程中自主建构知