八年级数学（人教版）上册《完全平方公式》深度探究导学案

八年级数学（人教版）上册《完全平方公式》深度探究导学案

一、导学案设计总纲：核心素养导向下的单元整体教学锚点

（一）设计哲学与课改锚点

本导学案严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》所倡导的“素养导向、学科实践、综合学习、因材施教”原则。摒弃传统学案作为习题集的定位，将其重构为学生“思维外显化”的认知地图。设计哲学立足于“做中学、用中学、创中学”，将完全平方公式这一代数核心知识置于“图形与几何”、“数量关系”、“模型建构”的跨学科交叉地带进行重构。锚定两大课改支点：一是通过“面积拼割”实现几何直观与代数抽象的深度融合，破解形式化运算的机械记忆困局；二是通过“结构辨识”与“恒等变形”发展学生的符号意识与推理能力，为后续学习配方法、一元二次方程、二次函数奠定逻辑根基。

（二）教材二次开发与跨学科锚点

人教版八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”将完全平方公式置于多项式乘法之后。本导学案打破常规课时边界，实施“大概念统领”的教材二次开发：以“式结构的对称性”为统摄中心，将两数和的平方、两数差的平方、三项式的平方、配方法萌芽四阶内容进行统整。引入物理学科“伽利略斜面实验”中的位移比例关系（s

∝

t

2

s\proptot^2

s∝t2）作为情境锚点，同时链接美术学科“黄金分割矩形”的构图原理，阐释完全平方式在视觉平衡中的隐性表达。通过跨学科素材的介入，使抽象的代数公式获得物理意义与美学意义的双重支撑，完成从“公式记忆”到“公式理解”再到“公式创造”的认知跃迁。

（三）学情精准画像

基于对八年级学生认知结构的实证调研，本学案确立以下精准画像：学生已具备整式乘法运算技能（基础），能从几何背景直观感知面积相等关系（重要），但对于公式中“2

a

b

2ab

2ab”项的来源常陷于“系数记忆”而忽视其作为“两倍乘积”的结构本质（难点）。部分优等生能正向套用公式，但在逆向识别（如将x

2

+

4

x

+

4

x^2+4x+4

x2+4x+4还原为(

x

+

2

)

2

(x+2)^2

(x+2)2）及符号辨析（如(

−

a

−

b

)

2

(-a-b)^2

(−a−b)2与(

a

+

b

)

2

(a+b)^2

(a+b)2的关系）中存在认知断点。此外，城乡接合部学校学生普遍缺乏将代数公式迁移至现实情境的元认知监控能力。据此，本学案将“结构敏感性”与“变形灵活性”作为思维进阶的两大靶向。

（四）素养导向目标簇

【基础】能通过多项式乘法推导出完全平方公式，并用符号语言准确表述(

a

+

b

)

2

=

a

2

+

2

a

b

+

b

2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)2=a2+2ab+b2及(

a

−

b

)

2

=

a

2

−

2

a

b

+

b

2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a−b)2=a2−2ab+b2；能借助面积模型解释公式的几何意义。

【重要】能辨识公式的结构特征（首平方、尾平方、乘积二倍放中央），在具体问题情境中灵活选用公式进行简便运算与化简求值；能初步逆用公式完成简单的配形。

【非常重要】经历“观察—猜想—验证—抽象—应用”的完整数学化过程，感悟从特殊到一般、数形结合、等价转化的思想方法；能通过小组共学解释公式变形的逻辑依据，发展批判性思维与数学交流素养。

【高频考点】公式的正向与逆向套用、与平方差公式的混合运算、利用公式进行大数简便计算。

【热点】在跨学科情境（物理匀变速运动、经济复利模型）中提取完全平方结构并建立方程。

【难点】对三项及以上的多项式进行分组构造完全平方式；准确处理含负号或系数的完全平方展开。

（五）核心问题链与驱动任务

以“一个核心问题、四个子问题”构成问题系统：核心问题——“为什么‘和的平方’不等于‘平方的和’？”子问题1：你能用几种方法验证(

a

+

b

)

2

=

a

2

+

2

a

b

+

b

2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)2=a2+2ab+b2？子问题2：当加号变为减号，公式中哪一项发生了变化？为什么？子问题3：如何在复杂代数式中“发现”完全平方结构？子问题4：完全平方公式能解决哪些现实与跨学科问题？驱动性任务为“校园微农场矩形花坛设计”——给定固定长度的篱笆，如何围出最大面积？此任务将完全平方公式与二次函数最值问题前置联结，形成单元学习的认知“钩子”。

二、教学实施过程：四阶循环进阶模式

（一）课前微探究：唤醒经验，暴露前概念（约15分钟家庭活动+5分钟课堂反馈）

1.诊断性前测与认知冲突创设

设计三个层级的预学单，不使用计算器，要求保留代数痕迹。

层级A【基础】：直接计算(

x

+

3

)

2

(x+3)^2

(x+3)2与(

2

y

−

1

)

2

(2y-1)^2

(2y−1)2，写出每一步运算依据。此层级旨在暴露“漏掉乘积项”或“误将平方分配”的典型错误。通过班级数字化平台（如班级优化大师）收集典型错例，制作成“错误光谱图”在课始展示，使学生直面认知冲突。

层级B【重要】：已知一个正方形的边长为a

+

b

a+b

a+b，请用两种方法表示其面积，并解释代数结果与几何图形的对应关系。此层级意在唤醒小学阶段“数形结合”经验，将抽象的2

a

b

2ab

2ab在矩形分割图中定位为两个“长a

a

a宽b

b

b”的小长方形。

层级C【拓展】：观察11

2

=

121

11^2=121

112=121、101

2

=

10201

101^2=10201

1012=10201，你发现了什么规律？能否用字母表示这一规律？这是完全平方公式在十进制数中的直观呈现，为后续简便运算埋下伏笔。教师通过课前数据分析，将学生划分为“几何直观优势型”、“符号运算敏捷型”、“双重劣势需帮扶型”三类，为课中异质分组提供依据。

2.代数拼图游戏实物化操作

每位学生发放一套由卡纸剪裁的代数拼图块：一个a

×

a

a\timesa

a×a大正方形，两个a

×

b

a\timesb

a×b长方形，一个b

×

b

b\timesb

b×b小正方形。要求学生在家庭中尝试用这四块图形拼成一个更大的正方形，并记录拼图过程。此操作将静态的公式转化为动态的图形重组，【非常重要】完全平方公式的几何意义在此具身认知活动中自然内化。课前反馈环节，选取三种典型拼图路径：先拼大正方形再填补角落、先拼长方形条再围合、对称拼接。通过对比，引导学生发现无论拼图顺序如何，总面积恒为a

2

+

2

a

b

+

b

2

a^2+2ab+b^2

a2+2ab+b2，且拼成的大正方形边长为a

+

b

a+b

a+b，从而深刻理解公式的恒等性。

（二）课中深学习：建构模型，形成结构（约30分钟核心探究）

1.情境驱动：从面积到公式的抽象跃迁

【1】几何直观验证——公式的“形”之源

课堂伊始，教师呈现动态几何画板（GeoGebra演示）：边长为a

a

a的正方形，将其一边延长b

b

b，另一边不变，形成一个a

+

b

a+b

a+b乘a

a

a的长方形；再将另一边也延长b

b

b，补全为大正方形。动画分步展示面积构成：原有a

2

a^2

a2区域、新增的两个a

×

b

a\timesb

a×b矩形、以及角落的b

2

b^2

b2小正方形。此时，【非常重要】【基础】完全平方公式的几何意义被凝练为一句口诀：“大正方形面积等于各部分面积之和。”教师进一步追问：若原正方形边长为a

−

b

a-b

a−b，如何逆向拼割？引导学生将小正方形放置于大正方形内部，通过“整体减空白”推导(

a

−

b

)

2

=

a

2

−

2

a

b

+

b

2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a−b)2=a2−2ab+b2，并辨析此处为何不是a

2

−

b

2

a^2-b^2

a2−b2——因为减去的并非只是一个小正方形，还包括两个重叠计算的长方形。此环节利用视觉反差强化公式中符号的物理意义。

【2】代数恒等推导——公式的“数”之逻辑

在几何直观建立安全感后，转入代数形式化推导。学生独立完成(

a

+

b

)

2

=

(

a

+

b

)

(

a

+

b

)

(a+b)^2=(a+b)(a+b)

(a+b)2=(a+b)(a+b)的乘法展开，并小组交换批改。教师巡视捕捉两类典型写法：

写法A：=

a

⋅

a

+

a

⋅

b

+

b

⋅

a

+

b

⋅

b

=

a

2

+

a

b

+

a

b

+

b

2

=

a

2

+

2

a

b

+

b

2

=a·a+a·b+b·a+b·b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2

=a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

写法B：=

a

2

+

b

2

+

2

a

b

=a^2+b^2+2ab

=a2+b2+2ab（交换顺序）

此处【重要】【高频考点】公式的结构特征被精炼为：“首平方、尾平方、积的二倍在中央，符号看前方”。教师特别强调：顺序不影响结果，但按降幂排列a

2

+

2

a

b

+

b

2

a^2+2ab+b^2

a2+2ab+b2更利于后期识别完全平方式。对于(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2，重点处理符号：(

−

b

)

2

=

b

2

(-b)^2=b^2

(−b)2=b2，而交叉项a

⋅

(

−

b

)

+

(

−

b

)

⋅

a

=

−

2

a

b

a·(-b)+(-b)·a=-2ab

a⋅(−b)+(−b)⋅a=−2ab。至此，板书形成对称的公式双子塔，左侧(

a

+

b

)

2

(a+b)^2

(a+b)2，右侧(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2，中间用彩色粉笔标注“乘积项互为相反数”。

1.变式进阶：从正向到逆向的思维逆转

【1】公式的正用——自动化技能训练

本环节采用“闪卡竞速”模式。教师快速出示代数式：(

2

x

+

3

)

2

(2x+3)^2

(2x+3)2、(

4

−

5

y

)

2

(4-5y)^2

(4−5y)2、(

1

2

m

+

2

n

)

2

(\frac{1}{2}m+2n)^2

(21​m+2n)2、(

−

3

a

−

2

b

)

2

(-3a-2b)^2

(−3a−2b)2等。学生口答展开结果，重点讨论(

−

3

a

−

2

b

)

2

(-3a-2b)^2

(−3a−2b)2的策略：既可以将其看作[

(

−

3

a

)

+

(

−

2

b

)

]

2

[(-3a)+(-2b)]^2

[(−3a)+(−2b)]2，也可以利用偶次方性质转化为(

3

a

+

2

b

)

2

(3a+2b)^2

(3a+2b)2。此处渗透转化思想，【重要】学生需掌握：底数互为相反数时，完全平方结果相等。这一结论为后续因式分解时提取负号奠定基础。针对易错点——系数平方时漏掉系数、乘积项漏乘2、乘积项符号误判——教师设计“找茬诊所”，呈现四个带有典型错误的解答过程，学生以“小先生”身份批注错误根源。例如：(

x

+

2

y

)

2

=

x

2

+

4

y

2

(x+2y)^2=x^2+4y^2

(x+2y)2=x2+4y2（漏掉4

x

y

4xy

4xy）；(

2

a

−

1

)

2

=

4

a

2

+

1

(2a-1)^2=4a^2+1

(2a−1)2=4a2+1（漏乘积项且符号错误）。通过纠错，将错误资源转化为教学增长点。

【2】公式的逆用——因式分解的雏形

【热点】【难点】逆用完全平方公式是本节课的思维分水岭。教师出示一组多项式：x

2

+

6

x

+

9

x^2+6x+9

x2+6x+9、4

a

2

−

4

a

+

1

4a^2-4a+1

4a2−4a+1、9

m

2

+

12

m

n

+

4

n

2

9m^2+12mn+4n^2

9m2+12mn+4n2、x

2

+

x

+

0.25

x^2+x+0.25

x2+x+0.25。任务：判断哪些可以写成某个式子的平方？并写出那个式子。小组合作探究，提炼出逆用公式的“三步鉴定法”：第一步，看首尾两项是否都是平方（系数是否为完全平方数，字母指数是否为偶数）；第二步，看中间项是否等于首尾底数乘积的2倍；第三步，符号匹配（若中间项为正，则为和的平方；为负，则为差的平方）。对于x

2

+

x

+

0.25

x^2+x+0.25

x2+x+0.25，学生发现0.25=0.5²，而中间项x=2·x·0.5，因此可化为(

x

+

0.5

)

2

(x+0.5)^2

(x+0.5)2。此环节是【非常重要】的模型识别训练，直接服务于九年级一元二次方程中的配方法。教师补充“缺项补项”思想：若多项式为x

2

+

4

x

x^2+4x

x2+4x，缺少常数项，能否通过添加并减去同一项构造完全平方式？为配方法埋下伏笔。

1.纵横联结：公式的推广与拓广

【1】三项式的完全平方——结构的延伸

出示挑战题：计算(

a

+

b

+

c

)

2

(a+b+c)^2

(a+b+c)2。学生尝试将其看作[

(

a

+

b

)

+

c

]

2

[(a+b)+c]^2

[(a+b)+c]2，套用两数和的平方公式，得到(

a

+

b

)

2

+

2

(

a

+

b

)

c

+

c

2

=

a

2

+

2

a

b

+

b

2

+

2

a

c

+

2

b

c

+

c

2

(a+b)^2+2(a+b)c+c^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2

(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2。引导学生观察结果的结构：每项的平方和加上两两乘积的二倍。此结论可推广至任意多项式平方，【重要】体现“化归”思想。部分学有余力者尝试(

a

−

b

+

c

)

2

(a-b+c)^2

(a−b+c)2，通过符号分析加深对“二倍乘积”符号规律的理解。此环节不要求所有学生掌握三项式展开的熟练运算，重在体验公式应用的灵活性。

【2】配方法的萌芽——从算术到代数的飞跃

以“长方形场地面积最大化”为现实载体：用20米长的篱笆围成一侧靠墙的长方形菜园，如何设计长宽使面积最大？设垂直于墙的边长为x

x

x米，则平行于墙的边长为20

−

2

x

20-2x

20−2x米，面积S

=

x

(

20

−

2

x

)

=

−

2

x

2

+

20

x

S=x(20-2x)=-2x^2+20x

S=x(20−2x)=−2x2+20x。学生此时尚不具备二次函数顶点式知识，教师引导学生将表达式改写成−

2

(

x

2

−

10

x

)

-2(x^2-10x)

−2(x2−10x)，并在括号内配方：x

2

−

10

x

=

x

2

−

10

x

+

25

−

25

=

(

x

−

5

)

2

−

25

x^2-10x=x^2-10x+25-25=(x-5)^2-25

x2−10x=x2−10x+25−25=(x−5)2−25，从而S

=

−

2

[

(

x

−

5

)

2

−

25

]

=

−

2

(

x

−

5

)

2

+

50

S=-2[(x-5)^2-25]=-2(x-5)^2+50

S=−2[(x−5)2−25]=−2(x−5)2+50。当x

=

5

x=5

x=5时面积最大为50。此过程中，完全平方公式逆向应用于含字母系数的二次三项式，学生首次体会到“构造完全平方”在解决最优化问题中的威力。此处标记【热点】【非常重要】，是连接代数与函数的枢纽。

（三）课后拓应用：迁移创新，素养外显（约10分钟课堂收尾+分层课后任务）

1.跨学科项目式任务发布

教师发布本单元项目任务：“金融小管家——零花钱复利模型”。情境：小明每年年初向银行存入1000元，年利率为r

r

r，按复利计算，两年后的本息和是多少？学生需列出表达式：第一年本金1000，一年后本息和1000(1+r)；第二年本金为1000(1+r)，年末本息和为1000(1+r)(1+r)=1000(1+2r+r^2)。引导学生关注系数1000，识别括号内是完全平方式。进一步追问：若每年存入金额不同，是否还能用完全平方公式？将数学建模前置，激发课后探究兴趣。

2.高阶思维挑战题（课堂最后5分钟弹性处理）

出示毕达哥拉斯学派“形数”问题：第n

n

n个正方形点阵的点数恰好是n

2

n^2

n2，第n

n

n个矩形点阵（n

n

n行n

+

1

n+1

n+1列）点数为n

(

n

+

1

)

n(n+1)

n(n+1)。求证：四个相同的矩形点阵与一个小正方形点阵可以拼成一个更大的正方形点阵。通过图形直观呈现n

(

n

+

1

)

×

4

+

1

=

4

n

2

+

4

n

+

1

=

(

2

n

+

1

)

2

n(n+1)×4+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2

n(n+1)×4+1=4n2+4n+1=(2n+1)2。此题将完全平方公式嵌入古希腊数学史，使代数推理获得历史厚重感。

三、评价与反馈系统：表现性评价与精准补救

（一）嵌入式评价量规

将评价贯穿于学案使用全过程，采用“三色信号灯”即时反馈机制。

绿灯（完全理解）：能独立推导公式，并在正用、逆用两种情境下准确操作。

黄灯（部分存疑）：能完成正向展开，但在逆向识别或符号处理上需同伴提示。

红灯（严重障碍）：仍出现漏项、符号错误等程序性失误，或无法理解几何拼图与公式的对应关系。

教师依据课中观察，在5分钟内完成首次学情分诊，对“红灯区”学生实施“微课资源包+学长助学”即时干预。干预策略包括：用彩色磁贴再次演示面积拼补过程，将抽象的2

a

b

2ab

2ab转化为可视化的两块矩形；针对(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2的符号难点，编撰韵语口诀“减号开，中间减，平方都为正，千万莫要乱”。

（二）分层作业设计

【基础必做】（全批全改，确保达标）

1.计算：（1）(

3

x

+

4

y

)

2

(3x+4y)^2

(3x+4y)2；（2）(

2

3

a

−

1

2

b

)

2

(\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}b)^2

(32​a−21​b)2；（3）(

−

5

m

−

2

n

)

2

(-5m-2n)^2

(−5m−2n)2。

2.下列多项式是否为完全平方式？若是，请写成平方形式：（1）x

2

+

8

x

+

16

x^2+8x+16

x2+8x+16；（2）4

a

2

−

20

a

+

25

4a^2-20a+25

4a2−20a+25；（3）9

y

2

−

6

y

+

1

9y^2-6y+1

9y2−6y+1。

3.应用：一个正方形的边长增加3cm，面积增加39cm²，求原正方形的边长。（列方程并利用完全平方公式求解）

【重要提升】（部分选做，课堂讲评）

1.若x

2

+

2

(

k

−

3

)

x

+

25

x^2+2(k-3)x+25

x2+2(k−3)x+25是一个完全平方式，求k

k

k的值。

2.用简便方法计算：1002

2

1002^2

10022、999

2

999^2

9992。

3.已知a

+

b

=

5

a+b=5

a+b=5，a

b

=

3

ab=3

ab=3，求a

2

+

b

2

a^2+b^2

a2+b2与(

a

−

b

)

2

(a-b)^2

(a−b)2的值。（整体代入思想）

【热点挑战】（鼓励钻研，线上研讨）

1.阅读材料：杨辉三角与完全平方公式、完全立方公式的关系。请写出(

a

+

b

)

3

(a+b)^3

(a+b)3的展开式，并类比完全平方公式的几何解释，尝试给出完全立方公式的几何模型（可用语言描述或手绘图示）。

2.物理建模：从静止开始做匀加速直线运动的物体，通过连续相等位移的时间比为1

:

(

2

−

1

)

:

(

3

−

2

)

:

.

.

.

1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):...

1:(2<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221

l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

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M83480h400000v40h-400000z">

​−1):(3<pathd="M95,702

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l0-0

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H400000v40H845.2724

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M83480h400000v40h-400000z">

​−2<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

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l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

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M83480h400000v40h-400000z">

​):...。请利用完全平方公式证明：(

n

+

1

−

n

)

(

n

+

1

+

n

)

=

1

(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1

(n+1<pathd="M95,702

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l0-0

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M83480h400000v40h-400000z">

​−n<pathd="M95,702

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l0-0

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l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

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​+n<pathd="M95,702

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s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,