黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年高一数学上学期第一次月考试卷含解析

2025—2026学年度高一数学上学期10月份考试试卷

一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1.已知全集，集合，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】由补集运算即可求解.

【详解】由，集合，

可得：，

故选：B

2.集合的真子集的个数是（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解.

【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是．

故选：A.

3.命题“，”的否定是（）

A.，B.，

C.，D.，

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可解出.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得：“，”的否定为，

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.

故选：B.

4.函数的定义域是（）

A.B.

CD.

【答案】C

【解析】

【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不等于列不等式组，解不等式组即可求解.

【详解】由题意可得：，解得：

故函数的定义域为：，

故选：C.

5.下列说法错误的是（）

A.若，则

B.已知，“且”是“”的充分而不必要条件

C.“”是“”的充要条件

D.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】作差法判断A，根据充分条件、必要条件的判定方法，判断BCD.

【详解】对于A，，则，

，

则，正确；

对于B，由“且”，可得“”，即充分性成立；

反之：例如：，满足，但且不成立，即必要性不成立，

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所以且是的充分而不必要条件，正确；

对于C，由，可得或，

所以是的充分不必要条件，所以C不正确；

对于D，根据充分条件、必要条件的关系，可得p是q的充分不必要条件，

则q是p的必要不充分条件，所以D正确.

故选：C.

6.若，满足，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由不等式性质求解即可

【详解】,

，

，

，

，

又可得，

所以，

所以的取值范围是

故选：A

7.已知，则函数的解析式为（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

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【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果.

【详解】令，则，所以，

所以

故选：D.

8.关于的不等式的解集为，若，则实数的值是

（）

A.1B.C.2D.

【答案】A

【解析】

【分析】由二次不等式解集可得对应二次方程的解，后利用韦达定理可得答案.

【详解】因的解集为，

则方程解为或，

则由韦达定理有：.

又，得，即

结合解得.

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．

9.若集合M，N满足，则下列结论正确的有（）

A.B.

C.D.

【答案】ABCD

【解析】

【分析】根据互为子集得出，逐个选项判断即可.

【详解】由于，则，则，A选项正确；

因，则，，B选项正确；

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因，则，则，C选项正确；

则，D选项正确.

故选：ABCD.

10.下列说法不正确的是（）

A.函数与是同一个函数

B.若函数的定义域为，则函数的定义域为

C.已知，，若，则m集合为

D.若，不等式恒成立，则k的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据同一函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；化简集合，结合判断

C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D.

【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，

所以函数与不是同一函数，故A错误；

对于B，由函数的定义域为，

则，即，

所以函数的定义域为，

令，则，

所以函数的定义域为，故B正确；

对于C，由，

当时，，满足，故C错误；

对于D，当时，不等式为恒成立，

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当时，则需满足，解得，

综上，的取值范围是，故D错误.

故选：ACD.

11.定义，且，叫做集合的对称差，若集合

，，则以下说法正确的是（）

A.B.

C.D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，

然后计算与，判断D选项是否成立.

【详解】∵，，故A正确；

∵定义且，

∴，，故B正确；

，故C错误；

，所以，故D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合

，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.不等式的解集是________．

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【答案】

【解析】

【分析】先将不等式转化为，结合“穿针引线法”即可求解.

【详解】因为，等价于，

即，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：.

13.函数的值域为__________．

【答案】

【解析】

【详解】函数

令，则.

得.

当时，函数有最大值.

所以值域为.

故答案为.

点睛：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判

别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数

的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择

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14.已知，，且，则的最小值是______．

【答案】7

【解析】

【分析】依题意，化简得

，应用基本不等式求解.

【详解】

（当且仅当时取等号）

由解得

所以的最小值为7（当且仅当且时取得）.

故答案为：7

四、解答题：本题有5道题，总共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式，得到集合，利用交集的运算求出交集；

（2）根据并集的结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出取值范围即可.

【小问1详解】

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由题意可得.

当时，，

则.

【小问2详解】

因为，所以.

当时，，解得；

当时，，解得.

综上所述，a的取值范围是.

16.已知，且．

（1）求的最大值；

（2）求的最大值；

（3）求的最小值．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）由基本不等式即可直接求解；

（2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解；

（3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解.

【小问1详解】

由题意得，得，

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当且仅当，即时，等号成立．

故的最大值是．

【小问2详解】

由，得，

则，

当且仅当，即时，等号成立．

故的最大值是．

【小问3详解】

由，得，

则，

当且仅当，即时，等号成立．

故的最小值为．

17.函数的定义域为，对于，，，且当时，

．

（1）求的值；

（2）证明：为减函数；

（3）若，求不等式的解集．

【答案】（1）

（2）证明见解析（3）

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【解析】

【分析】（1）利用赋值法，令求解即可；

（2）由，得，然后化简即可证明；

（3）由和化简不等式得，结合定义域利用单调性解不等式即可

.

【小问1详解】

令，则，所以.

【小问2详解】

设，且，则，，

因为，所以，

所以为减函数.

【小问3详解】

因为，

所以，

由，则，

又因为在上单调递减，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

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18.设函数的定义域为，一般地，对于，，若

，则称为“凹函数”；若，则称

为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，

在上是增函数.

（1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）证明：在上是凹函数；

（3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得

成立，求实数的值.

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为；

（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）根据题设描述性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域；

（2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论；

（3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值.

【小问1详解】

由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

所以，又，，

所以，所以，

所以在上的值域为.

【小问2详解】

设，，，

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则

，

∴，

∴当时，是凹函数.

【小问3详解】

，

设，，，则，，

由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为，

当，即时，单调递增，所以递增区间为，

由，，，得的值域为，

因为为减函数，所以，，

根据题意，的值域为的值域的子集，

从而有，所以.

19.已知函数.

（1）若的解集为，求实数的值；

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（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围；

（3），解关于的不等式.

【答案】（1），；

（2）

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由题意可知3是方程的一个根，计算即可得，再解出的另一根即可得

解；

（2）由题意可得对任意恒成立，从而只需借助基本不等式求出