题型清单03 因式分解11大题型（原卷版）

专题03因式分解因式分解的概念（一）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。关键点：左边是多项式，右边是几个整式相乘；分解要彻底，不能再分解为止；因式分解是恒等变形，不是计算求值。（二）因式分解与整式乘法的关系整式乘法：整式积→多项式（展开）因式分解：多项式→整式积（还原），二者是互逆变形。因式分解方法（一）提公因式法公因式：多项式各项都含有的相同因式。找公因式三步：系数：取各项系数的最大公因数；字母：取各项相同字母；指数：取相同字母的最低次幂。公式形式：ma+mb+mc=m(a+b+c)特殊：首项为负，先提负号。（二）公式法1.平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)适用特征：两项、平方、异号。2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2​适用特征：三项、首末平方、中间两倍乘积。（三）十字相乘法（拓展）定义：对于二次三项式x2+px+q，若能找到a,b使得a+b=p且ab=q，则可分解为(x+a)(x+b).核心特征：适用于二次项系数为1的二次三项式；关键是找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项.因式分解一般步骤（口诀）一提、二套、三分组、四检查先提公因式；再套用公式（平方差、完全平方）；两项看平方差，三项看完全平方；分解后检查是否还能再分解，必须分解到不能再分为止。因式分解的应用利用因式分解简便运算已知因式分解结果求参数代数式化简与求值判断是否是因式分解【例1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（

）A． B．C． D．公因式【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式各项的公因式是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______．【变式2-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式中，各项的最大公因式是（）A． B． C． D．【变式2-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式的公因式是（

）A． B． C． D．提公因式法分解因式【例3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：．【变式3-1】（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解：．【变式3-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解：(1)；(2)．【变式3-3】（25-26八年级下·天津·开学考试）因式分解：【变式3-4】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）分解因式：(1)(2)．公式法分解因式【例4】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2026·江苏连云港·一模）因式分解：．【变式4-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知多项式可以分解成，则m的值是________．错误1：概念错误混淆因式分解与整式乘法，分不清和差化积、积化和差；错误2：提公因式易错提取公因式后漏写1；提负号时部分项不变号；公因式提取不彻底；错误3：公式运用易错两项同号乱用平方差；完全平方漏掉2倍；公式符号记混；错误4：分解不彻底因式还能继续分解就停止运算，没有分到最简；错误5：符号错误去括号、添括号变号不全，正负号使用混乱；错误6：步骤错误不先提公因式，直接套用公式，解题顺序颠倒；错误7：结果不规范因式顺序杂乱，括号内首项带负号，书写格式错误。已知因式分解的结果求参数【例5】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（

）A． B．1 C．7 D．【变式5-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________．【变式5-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若是多项式的一个因式，求的值；(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料：已知多项式有一个因式是，求m的值．解法：设（A为整式）∵上式为恒等式，∴当时，，即，解得：．感悟上述材料，解答下列问题：已知多项式含有因式和．(1)求、的值；(2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是．（直接写答案）综合提公因式法和公式法分解因式【例6】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解：_________．【变式6-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解：(1)；(2)．【变式6-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解：(1)；(2)．【变式6-3】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解：(1)；(2)；(3)(4)．十字相乘法分解因式【例7】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________．【变式7-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解：(1)(2)【变式7-2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为_____．【变式7-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的．(1)观察猜想：请根据此图填空：（________）（________）．(2)说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：（________）（________）（________）（________）．(3)迁移运用：请对下列多项式因式分解：①填空：________；②．分组分解法分解因式【例8】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）分解因式：________．【变式8-1】（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）因式分解：________．________．________．________．【变式8-2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题．(1)因式分解：；(2)求方程的整数解．1.解题顺序口诀：一提公因式，二套乘法公式，三检查是否分解彻底。2.提公因式法确定公因式：系数最大公因数，相同字母取最低次幂；首项为负先提负号，括号内各项全部变号；提取后剩余项不能漏掉1。平方差公式：形式：a2−b2=(a+b)(a−b)适用：两项、异号、均可写成平方形式完全平方公式和：a2+2ab+b2=(a+b)2；差：a2−2ab+b2=(a−b)2适用：三项，首尾平方同号，中间项为2倍乘积。5.综合运用先提公因式，再套用公式，逐层分解。因式分解求代数式的值【例9】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果，，那么的值是（

）A． B．1 C．5 D．6【变式9-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若，则__________．【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：4a2b-ab2【变式9-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知，，求代数式的值．利用因式分解简便运算【例10】（25-26八年级下·江苏·单元测试）利用因式分解计算：____________．【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解简化计算：．【变式10-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算：(1)(2)【变式10-3】（2026八年级下·全国·专题练习）运用简便方法计算：(1)．(2)．(3)因式分解的应用【例11】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）．【变式11-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形．【变式11-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列正整数①3；②17：③45：④85；⑤257，其中能整除的是_____．（填出所有正确答案的序号）【变式11-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）对