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2026年数学奥林匹克竞赛模拟试题真题及答案1.求所有正整数对(k,n)，满足k<n，且+=解：对等式+=整理得nk−2k−2n=0，因式分解得(k−2)(n−2)=4，由于k,n都是正整数且k<n，因此k−2和n−2都是正整数：若k−2=1，则n2.在锐角△ABC中，AB<AC，O是外心，D是边BC上一点，E是点A关于直线BC的对称点，过点D作AB的平行线交AC于点P，过点D证明：设△ABC中AB=c,AC=b,BC=a，设A为原点，AB在x轴上，坐标为A(0,0),B(t这是过两定曲线交点的圆系，联立两个定方程，解得除原点A外的另一个交点坐标为定值，因此△APQ3.给定正整数n>1，集合S=1,2,...,2n解：首先由条件可证f是单射：若f(i)=f(j)，则|f(i设f(1)=a，由条件|f(2)若f(2)=a+1，假设对所有1≤m≤k都有f(m)=a+m−1模2n，对f若f(2)=a−1验证两类映射都满足条件，因此所有满足条件的映射为：ff4.设,,..≥证明：不妨设<<...<，因此|−|当n=2时，≥1假设n=k时不等式成立，当n=k+1时，原不等式左边可写为L(=因此：≥由调和不等式≥，得≥，代入得：(因此归纳成立，原不等式得证。5.凸四边形ABCD内接于圆ω，对角线AC和BD交于点P，点E,F分别在边AB,CD上，满足P证明：因为ABCD内接于圆，故△PAB∼△PDC，结合PE⊥AB,PF⊥CD得=计算M−M，代入d=化简可得M=M等价于=，而BC的斜率==6.设p是质数，S=0,c证明：分两种情况讨论：情况1：p∣k，设k=pt，1≤t≤p−1，则原式变为cos()，对任意x可写为x情况2：

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