新高考版《数学》资料：随机事件、古典概型

专题十一概率与统计

lh1随机事件、古典概型

基础篇

考点一随机事件的概率

考向一事件的关系及运算

1.（2023届山东潍坊五县联考,4）已知A,8是一次随机试验中的两个事件,若满足

〃（/1）二/，（夕三,则（）

A.事件4占互斥

B.事件48相互独立

C.事件4,4不互斥

D.事件4A不相互独立

答案C

2.（2022福建南平三模,E）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件”至少一枚硬币正

面朝上”互为对立的是（）

A.至多一枚硬币正面朝上

B.只有一枚硬币正面朝上

C.两枚硬币反面朝上

D.两枚硬币正面朝上

答案C

3.（2022河北邯郸3月模拟,6）袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表

示”第一次摸得白球“，如果”第二次摸得白球"记为用”第二次摸得黑球”记为C

那么事件力与日月与。间的关系是（）

A.力与自力与「均相互独立

8./1与8相互独立,/1与。互斥

C./与氏/与。均互斥

D./1与8互斥,4与。相互独立

答案A

4.（多选）（2023届吉林省吉林市调研，11）抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A=“第一枚

出现奇数点”，事件庐“第二枚出现偶数点”，事件仁“两枚骰子出现点数和为8”，事

件“两枚骰子出现点数和为9”，则（）

A.力与8互斥B.。与〃互斥

C.力与〃独立D.8与。独立

答案BC

考向二频率与概率

1.（2018课标HI文,5,5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支

付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B,0.4C,0.6D,0.7

答案B

2.（2014课标I,5,5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周

六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）

A」B.-C.-D.-

8888

答案D

3.（2019课标m,3,5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典

文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，

随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过

《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,

则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

答案C

4.（2022海南海口质量检测，13）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随

机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中卜环的暇率,先由计算器产生0到9之间

取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每

三个随机数为一组，代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数：321

421292925274632800478598663531297396021506318230113507965

据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为.

答案0.3

5.（2020课标I文，17,12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件;按

标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分

别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂

有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/牛，乙分厂加工成本费

为20元/（牛.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种

产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布N

等级ABCD

频数28173421

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据,厂家应

选哪个分厂承接加工业务？

解析（1）由试加工产品等级的频数分布表知，

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为弥0.4;

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为瑞=0.28.

（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润6525-5-75

频数40202020

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为竺吧至端出上空二15（元）.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润70300-70

频数28173421

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为"巴叫詈卫卫-10（元）.

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.

考点二古典概型

1.（2023届广东东莞四中月考,6）已知在多项选择题的四个选项A、B、C、D中，有至少

两项且至多三项符合题R要求.规定：全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.

若某题的正确答案是CD,某考生随机选了至少一个选项且至多三个选项，则该考生能得

分的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

147147

答案c

2.（2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,5）同时掷两枚骰子，向上的点数之和是

3的倍数的概率是（）

.131

A.—c.—D.

36B目4

答案c

3.（2022新高考I,5,5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互

质的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6323

答案D

4.（2022全国甲文,6,5分）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,

则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5353

答案c

5.（2023届长沙雅礼实验中学入学考,5）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天

实验舱和梦天实验舱,假设空间站要安排甲，乙,丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核

心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的

概率为（）

A.-B.-C.-D.—

6432

答案A

6.（2021全国甲理，10,5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

（）

A.-B.-C.-D.-

3535

答案C

7.（2020课标I文,4,5分）设。为正方形40的中心,在0,A,B,G〃中任取3点，则取

到的3点共线的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5525

答案A

综合篇

考法古典概型概率的求法

考向一古典概型的综合应用

1.（2023届浙江嘉兴基础测试,4）从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三

角形,则所得的三角形是直角三角形的概率是()

A.-B.—C.—D.-

1414207

答案D

2.（2019课标I理,6,5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一”重

卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“一一“和阴爻”——"，如图所示的

图形是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦哈有3个阳爻的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

16323216

答案A

3.（2019课标II文,4,5分）生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从

这5只兔子中随机取出2只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3555

答案B

4.（2018课标H理,8,5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先

的成果.哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.

在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数,其和笔于30的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

12141518

答案c

5.（2023届河北唐山海港中学开学检测,7）已知函数M=^b^2.若a"分别是从

1,2,3中任取的一个数，则函数F（x）有两个极值点的概率为（）

答案C

6.（2023届江苏常州一中检测，15）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、

乙、丙三校支教,每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率

为

答案I

7.（2022全国甲理，15,5分）从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面

的概率为

答案盘

8.（2022全国乙,理13,文14,5分）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工

作，则甲、乙都入选的概率为

答案?

9.（2022南京一中期初测试，17）某校高一年级1000名学生期中考试生物学科成绩的频

率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表.

组号第i组第二组第三组第四组第五组

分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

（1）求生物成绩在［50,60）内的人数;

（2）若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，根据频率分布直方图,估计这1000名

学生生物成绩的平均分;

（3）现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中

随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率.

解析（1）由题意，知生物成绩在［50,60）内的频率为

1-（0.01X10+0.02X10+0.03X10+0.035X10）=0.05,

所以生物成绩在［50,60）内的人数为0.05X1000=50.

（2）由（1）及频率分布直方图，知分数在［50,60）内的频率为0.05,在［60,70）内的频宓为

0.35,在［70,80）内的频率为0.3,在［80,90）内的频率为0.2,在［90,100］内的频率为0.1,

所以估计这1000名学生生物成绩的平均分为

55X0.05+65X0.35+75X0.3+85X0.2+95X0.1=74.5.

(3)设”这2名同学来自不同组”为事件A,设第三组的3名同学为a,b,c,第四组的2

名同学为乂匕则样本空间为

0={(&"),(3c),(a,x)：(a,力，(6,c),(6,x),(伍力，(c,x),(c,y),{xyy)},事件

A={(a,x),(a,y),(b,x),(Z>,y),(c,x),(c,y)},所以P(A)=1.

考向二求复杂的互斥事件的概率

L(2022江苏百校联考,6)一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中,

它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测,恰好三次检测出两件次品的

概率为()

A.iB.-C.-D,—

54510

答案D

2.(2022江苏如东中学等三校阶段考,5)在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量:一

个高度为7亳米的零件E0次时,所得数据如下：

测量值6.8亳米6.9亳米7.0亳米7.1亳米7.2亳米

次数