湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BCBCCBADACCD题号11答案ACD1．B【详解】已知复数为纯虚数，则实部为0，即，解得或，虚部不为0，即，解得，．2．C【分析】先确定共有60个数小于等于50，再结合百分位数定义求结论.【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个，且，所以这100个零件的直径的第60百分位数为．3．B【详解】，因为复数为纯虚数，所以，解得.4．C【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离．【详解】如图，连接，正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形，，设点到平面的距离为ℎ，由，得，可得，则点到平面的距离为．故选：C．5．C【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；对于B，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线，三角形的直观图依然是三角形，B正确；对于C，如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点均在坐标轴上，中心在原点，设，则菱形的边长均为，作出该菱形的直观图,根据斜二测画法知,，,由余弦定理，，,显然，即不是菱形，故C错误；对于D，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，故一个梯形的直观图仍然是梯形，D正确.6．B【分析】连接AD，则为直线与平面ABC所成角，从而得到，所以当AD取最小值时取得最大值，求出AD的最小值，即可求出，连接AP，由勾股定理求出AP，即可得到点P在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长.【详解】连接AD，因为平面ABC，所以为直线与平面ABC所成角，所以，又直线与平面ABC所成角的最大值是，所以，当且仅当AD取最小值时取得最大值，因为，所以当时AD取最小值，此时，所以，又点P在底面ABC内，且，连接AP，因为平面ABC，平面ABC，所以，所以，所以点P在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，所以点P的轨迹长为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定P的轨迹.7．A【分析】根据等腰三角形性质结合诱导公式和二倍角的余弦公式得，再利用二次函数性质即可得到范围.【详解】因为AB=AC，则，令，因为，所以，则，则，则.则的取值范围为.故选：A.8．D【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可.【详解】，,，，，，，即，，当且仅当时等号成立，，即的最大值是23.故选：D9．AC【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解.【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，若，则存在实数，使得，因为，所以不共线，所以，故C正确；对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误.故选：AC.10．CD【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得.【详解】取BC的中点为P，连接，PN，如图：

在△ABC中，，且，在中，，且，因为异面直线AC与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或，当时，由余弦定理得，，得.当时，由余弦定理得，，得.综上所述，或.故选：CD11．ACD【分析】由线面垂直的性质、判定定理判断A；由平面即为平面，结合平面判断B；由线面角的定义及已知求其正切值判断C；根据已知求外接球的半径，即可求表面积判断D.【详解】由题设，，则，由平面，平面，则，都在平面内，则平面，平面，则，A对；由平面，即为平面，又平面，，所以平面，即与平面相交，B错；由平面，则直线与平面所成角为，又所以，C对；由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径，由平面，，则三棱锥外接球半径，所以外接球的表面积，D对.故选：ACD.12．1【分析】根据函数解析式，直接求出函数值即可.【详解】当时，解得x=1，则.故答案为：1.13．【分析】根据给定条件，求出正三棱台上下底面半径，再确定其外接球球心位置并求出球半径，进而求出球的表面积.【详解】

如图，令分别为正三棱台上下底面的中心，则其外接球球心在直线上，连接并延长交于D1，连接并延长交AB于D，由正的边长为，得，由△ABC的边长为23，得，正三棱台外接球半径，因此球心在线段的延长线上，，解得，所以该正三棱台的外接球的表面积为.故答案为：14．【分析】由结合题干中，得到，再由正弦定理得到，整理得，从而，由△ABC是锐角三角形得，由正弦定理，从而由的范围得到的取值范围.【详解】因为，所以，所以，所以，整理可得：，即，在锐角三角形△ABC中，，即，即，又因为，得，所以，所以，因为，所以.故答案为：.【点睛】思路点睛：正弦定理边化角正弦定理（R为△ABC的外接圆半径），则，，，，.15．（1）或；（2）.【解析】（1）由，化简集合，根据补集和并集的概念，即可求出结果；（2）根据两集合的包含关系，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】（1）当时，，又，所以或，因此或；（2）因为，，由可得，解得，即实数a的取值范围为.16．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)45°【分析】（1）利用三角形的中位线定理､平行四边形的判定和性质定理､线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面､面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′，只要证明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到.【详解】（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG､FG.∵EF=FB，AG=GB，∴.又，∴.∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG.∵DF平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC.（2）证明：∵EA⊥平面ABC，∴AE⊥CG.又△ABC是正三角形，G是AB的中点，∴CG⊥AB.∴CG⊥平面AEB.又∵DF∥CG，∴DF⊥平面AEB.∴平面AEB⊥平面BDE.∵AE=AB，EF=FB，∴AF⊥BE.∴AF⊥平面BED，∴AF⊥BD.（3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′.由，CD∥AE知，D为EG′的中点，∴FD∥BG′.又CG⊥平面ABE，FD∥CG.∴BG′⊥平面ABE.∴∠EBA为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°.∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°.

17．(1)(2)475台；(3)年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【分析】（1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果；（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值；（3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果．【详解】（1）设利润为y万元，得，即.（2）显然当时，企业会获得最大利润，此时，，，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则．即或，得或，即．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】(1)根据函数解析式直接写出的解析式并计算出和的解析式即可；(2)先利用，把看成未知量解一元二次不定时求出的取值范围，再求出的取值范围最后得到的取值范围；(3)先分离参数a，再分离常数把看成一个整体，利用基本不等式求最值.【详解】（1）证明：∵，，∴，，，∴．（2）∵，∴，∴，∴或，又∵，∴，即，∴，即：，∴，∴或，∴或，所以，原不等式的解集为．（3）∵，∴，，且恒成