八年级数学上册·第十五章《整式的乘除》第1课时：因式分解的概念与提公因式法 导学案

八年级数学上册·第十五章《整式的乘除》第1课时：因式分解的概念与提公因式法导学案

  一、学习目标

  （一）知识与技能目标

  1.准确理解因式分解的概念，能清晰辨识因式分解与整式乘法之间的互逆关系，能举例说明二者的区别与联系。

  2.掌握公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式，特别是当首项系数为负数时的处理方法。

  3.牢固掌握并熟练运用提公因式法分解因式，步骤规范，结果彻底，能处理公因式为单项式或多项式（包括带有负号）的情形。

  （二）过程与方法目标

  1.经历从整式乘法到因式分解的逆向思维过程，体会数学知识之间的内在联系和互逆转换思想。

  2.通过观察、类比、概括、归纳等数学活动，抽象出公因式的概念，提炼提公因式法的一般步骤，发展数学抽象和概括能力。

  3.在运用提公因式法解决问题的过程中，培养分析、综合以及逆向思维的能力，体验“化归”思想——将多项式化归为乘积形式。

  （三）情感态度与价值观目标

  1.在探索因式分解概念和方法的过程中，获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

  2.感受数学的简洁美（如将复杂的多项式表示为简洁的乘积形式）和逻辑美（互逆关系的对称性）。

  3.养成独立思考、严谨细致、有条不紊的运算习惯和数学表达习惯。

  二、学情分析

  本节课的学习主体是八年级上学期的学生。从知识储备上看，他们已经系统学习了有理数的运算、整式的概念、合并同类项以及整式的乘法（包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式），这为理解因式分解是整式乘法的逆运算奠定了坚实的基础。从认知心理和思维发展水平来看，八年级学生的抽象逻辑思维开始由经验型向理论型转化，具备了一定的观察、分析、归纳和概括能力，但逆向思维和符号运算的抽象性对他们而言仍是一个挑战。学生容易混淆因式分解与整式乘法的过程和结果，在确定公因式时可能遗漏系数、字母或因式，提取公因式后容易忘记剩余的“1”，当多项式首项系数为负时，提取负公因式的处理容易出错。此外，部分学生可能对步骤的规范书写重视不足。因此，教学设计需通过鲜明的对比、直观的类比、循序渐进的例题和层次分明的练习，帮助学生突破认知难点，构建清晰的知识结构，并特别关注学生思维过程的暴露与纠偏。

  三、教学重难点

  （一）教学重点

  1.因式分解概念的准确理解，特别是其与整式乘法的互逆关系辨析。

  2.提公因式法的原理、步骤及其熟练运用。

  （二）教学难点

  1.准确、完整地确定多项式各项的公因式（尤其是系数为最大公约数、字母取最低次幂）。

  2.当多项式首项系数为负数时，如何恰当处理并提取负公因式。

  3.提取公因式后，括号内各项的符号变化及确保分解彻底（即括号内不能再有公因式）。

  四、教学资源与工具

  多媒体课件（用于展示知识结构图、对比表格、动态演示互逆过程）、交互式白板（用于师生互动书写、圈画公因式）、实物投影仪（展示学生解题过程）、导学案（内含学习目标、探究活动、分层例题与练习）、标准数学作业纸。

  五、教学实施过程

  （一）创设情境，温故孕新（预计用时：8分钟）

  师生活动：

  教师首先引导学生回顾一个核心的整式乘法运算：“同学们，我们之前学习了整式的乘法。请看表达式：m(a+b+c)，它的运算结果是什么？”

  学生集体回答：“ma+mb+mc。”

  教师在黑板上板书等式：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

  接着，教师提出一个实际问题：“现在，我们遇到一个反向的问题。假设我们知道一个矩形的面积可以表示为ma+mb+mc，并且我们通过测量或分析发现，这个矩形可以看作是由三个更小的矩形拼接而成，它们的宽度相同，都是m，长度分别是a,b,c。那么，这个矩形的面积表达式能否写成一种更反映其结构的形式呢？”

  引导学生思考后，教师将刚才的等式逆向书写：ma+mb+mc=m(a+b+c)。

  教师点明：“从左到右看，ma+mb+mc是一个多项式，是‘和’的形式；从右到左看，m(a+b+c)是单项式与多项式的乘积形式。今天，我们就来专门研究这种把一个多项式化成几个整式乘积形式的变形。”

  设计意图：从学生熟悉的整式乘法公式出发，通过一个简单的几何模型（面积问题）引出其逆过程，自然顺畅，符合认知规律。这既复习了旧知，又为新知的引入搭建了坚实的“脚手架”，使学生初步感知“互逆”关系，明确本节课的探究方向。

  （二）对比辨析，建构概念（预计用时：12分钟）

  师生活动：

  1.实例探究与类比：

  教师出示一组等式，请学生观察左右两边的形式特点，并进行分类。

  （1）(x+1)(x-1)=x²-1

  （2）x²-1=(x+1)(x-1)

  （3）(a+b)²=a²+2ab+b²

  （4）a²+2ab+b²=(a+b)²

  （5）y(y+1)=y²+y

  （6）y²+y=y(y+1)

  学生观察后容易发现：（1）（3）（5）左边是乘积形式，右边是多项式（和的形式）；（2）（4）（6）左边是多项式，右边是乘积形式。

  教师引导学生回顾：（1）（3）（5）进行的运算是我们学过的“整式乘法”。那么，（2）（4）（6）这种变形叫什么？

  2.归纳定义：

  教师要求学生尝试用自己的语言描述（2）（4）（6）这种变形的共同特征。学生可能会说出“把一个多项式变成乘法形式”、“拆成几个式子相乘”等。教师在此基础上，给出精确定义：“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。有时也叫做把这个多项式分解因式。”

  教师强调定义中的关键词：“一个多项式”、“几个整式”、“积的形式”。并举例说明“整式”包括单项式和多项式。

  3.辨析关系，深化理解：

  教师提问：“因式分解与整式乘法有什么关系？”结合前面的例子，引导学生得出核心结论：因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形，是互逆过程。

  教师用图示在黑板上清晰展示：

  整式乘法：整式的积→（展开）→多项式

  因式分解：多项式→（分解）→整式的积

  为巩固概念，进行即时辨析练习（判断下列变形是否为因式分解，并说明理由）：

  （1）x²-4y²=(x+2y)(x-2y)（是）

  （2）(x+2y)(x-2y)=x²-4y²（不是，是整式乘法）

  （3）x²+4x+4=(x+2)²（是）

  （4）a²-2a+1=a(a-2)+1（不是，右边不是纯粹的积的形式，还有‘和’）

  （5）m²+n²=(m+n)²-2mn（不是，是恒等变形，但不是化为‘几个整式的积’）

  在学生判断（4）（5）时，教师需特别强调因式分解的结果必须是“几个整式的积”，且变形必须是恒等变形。

  设计意图：通过一组对比鲜明的等式，引导学生自主观察、分类、归纳，主动建构因式分解的概念。强调与整式乘法的互逆关系，是理解因式分解本质的关键。即时辨析练习旨在暴露学生可能存在的认知误区（如忽略“积的形式”或混淆方向），通过争论和教师点拨，深化对概念本质的理解，为后续学习扫清障碍。

  （三）探究方法，揭示原理（预计用时：20分钟）

  师生活动：

  1.从实例中引出“公因式”概念：

  回到引入的例子：ma+mb+mc=m(a+b+c)。教师提问：“观察等式左边多项式ma+mb+mc的三项，它们有什么共同点？”引导学生发现每一项都含有相同的因式m。

  教师定义：“多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。在这个例子中，m就是多项式ma+mb+mc各项的公因式。”

  2.探究确定公因式的方法：

  出示例多项式：12x³y²z+8x²y³-6x⁴y。

  教师引导学生分步骤确定公因式：

  第一步：系数。找出各项系数的最大公约数。12，8，-6的最大公约数是2。

  第二步：字母。找出各项都含有的相同字母。三项都含有字母x和y。（z并非各项都有）

  第三步：指数。对于各项都含有的字母，取它在各项中次数最低的幂。x的最低次数是2（在第二项中），y的最低次数是1（在第三项中）。

  因此，这个多项式的公因式是：2x²y。

  教师引导学生总结确定公因式的“三步法”：一看系数（最大公约数），二看字母（共有字母），三看指数（最低次幂）。并板书强调。

  3.推导“提公因式法”：

  教师提问：“知道了公因式是2x²y，我们如何将原多项式写成公因式乘以另一个多项式的形式呢？这个过程可以如何理解？”

  将原多项式写成：12x³y²z+8x²y³-6x⁴y=(2x²y)·(?)

  引导学生逆向运用乘法分配律：把2x²y从每一项中“提取”出来，剩下的部分用括号括起来。

  详细展示过程：

  12x³y²z÷(2x²y)=6xyz

  8x²y³÷(2x²y)=4y²

  -6x⁴y÷(2x²y)=-3x²

  因此，原式=2x²y·(6xyz+4y²-3x²)

  教师总结：“这种将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式，实际上相当于逆用了乘法分配律。这种因式分解的方法叫做提公因式法。”

  给出提公因式法的文字表述：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式。

  4.规范步骤书写：

  教师板书规范的解题步骤：

  解：12x³y²z+8x²y³-6x⁴y

  =2x²y·6xyz+2x²y·4y²+2x²y·(-3x²)（第一步：将各项写成公因式与另一因式乘积的和。此步可省略，熟练后直接进行下一步）

  =2x²y(6xyz+4y²-3x²)（第二步：提取公因式）

  强调：提取后，括号内的项数与原多项式的项数相同；检查括号内的各项是否还有公因式（本例中无，则分解彻底）。

  设计意图：公因式的确定是提公因式法的关键和难点。通过具体例子，引导学生探索并总结出系统化的“三步法”，将隐性思维显性化、步骤化，便于学生掌握和操作。通过展示“提取”过程的算术本质（即除法逆运算），帮助学生理解方法的原理是逆用分配律。规范步骤的强调，旨在培养学生严谨的数学表达习惯。

  （四）典例精析，突破难点（预计用时：25分钟）

  师生活动：

  本环节通过由易到难、层层递进的例题，引导学生掌握不同情形下的提公因式法，重点突破教学难点。

  【例1】基础巩固（公因式为单项式）

  分解因式：（1）8a³b²-12ab³c；（2）6x²-12xy+18x。

  教师引导学生独立完成，指名板演。重点关注学生是否能正确找到公因式（（1）公因式：4ab²；（2）公因式：6x），以及提取后括号内的项是否正确，特别是符号。讲评时强调“分解要彻底”，如（2）提取6x后，括号内为(x-2y+3)，不能再提公因式。

  【例2】首项系数为负（难点突破一）

  分解因式：-4m³+16m²-8m。

  教师提问：“观察这个多项式，首项系数是负数。我们提取公因式时，如何处理更好？”引导学生讨论两种方案：一是直接提取负公因式，二是先提取负号，再提正公因式。比较两种方法的优劣。

  解法一：直接提取负公因式。公因式为-4m。

  -4m³+16m²-8m=(-4m)·m²+(-4m)·(-4m)+(-4m)·2=-4m(m²-4m+2)

  解法二：先提取“-1”，使括号内首项为正。

  原式=-(4m³-16m²+8m)=-4m(m²-4m+2)（结果相同）

  教师强调：当多项式首项系数为负时，通常将负号一并提出，使得括号内多项式的首项系数为正。这是一种惯例，使结果看起来更规整。并指出公因式的系数可以是负数。

  【例3】公因式为多项式（难点突破二）

  分解因式：（1）a(x-y)+b(y-x)；（2）6(x-2)+x(2-x)。

  教师提问：“这两题的公因式看起来不明显，因为括号内的式子不完全相同。有什么办法能找到公因式吗？”引导学生观察(x-y)和(y-x)的关系。学生能发现y-x=-(x-y)。于是，（1）式可变形为：a(x-y)-b(x-y)。此时，公因式(x-y)就显现出来了。

  解：（1）a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

  同样处理（2）：2-x=-(x-2)。原式=6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x)。

  教师总结：当多项式中出现互为相反数的代数式（如x-y与y-x，a-b与b-a）时，可通过提取负号将其转化为相同因式，从而找到公因式。这是一种重要的代数变形技巧。

  【例4】公因式是隐含的多项式（难点突破三，并渗透整体思想）

  分解因式：（1）(2a+b)(3a-2b)+(2a+b)(a+5b)；（2）m(m-n)²-n(n-m)²。

  对于（1），引导学生将(2a+b)看作一个整体，即整个式子可以看作是“整体M”乘以(3a-2b)加上“整体M”乘以(a+5b)，公因式就是这个整体M=(2a+b)。

  解：（1）原式=(2a+b)[(3a-2b)+(a+5b)]=(2a+b)(4a+3b)

  对于（2），同样需要处理(m-n)与(n-m)的关系。注意到(n-m)²=[-(m-n)]²=(m-n)²。因此公因式就是(m-n)²。

  解：（2）原式=m(m-n)²-n(m-n)²=(m-n)²(m-n)=(m-n)³。

  教师强调：在寻找公因式时，要有“整体”意识，把某些多项式组合看作一个单独的“字母”或“因子”。同时，注意偶次幂的相反数因式相等这一性质。

  设计意图：例题设计遵循认知梯度。例1巩固基本技能；例2专门解决首项为负的难点，培养学生处理符号的灵活性；例3和例4逐步引入公因式为多项式的复杂情形，其中渗透了“转化”（化相反为相同）和“整体”的数学思想。通过师生共同分析、讨论、板演和纠错，使学生深刻理解提公因式法的各种应用场景，突破难点，提升思维层次。

  （五）分层练习，巩固内化（预计用时：15分钟）

  师生活动：

  练习分为三个层次，学生在导学案上独立完成，教师巡视指导，针对共性问题进行集中讲评。

  A组：基础达标（面向全体学生，巩固概念和基本操作）

  1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

  （1）x²-9=(x+3)(x-3)（2）(x+3)(x-3)=x²-9

  （3）x²-4+3x=(x+2)(x-2)+3x（4）2x²+4x=2x(x+2)

  2.写出下列各多项式的公因式：

  （1）4x²y-8xy²（2）15a²b³c+25ab²c²-10a³b²c

  3.用提公因式法分解因式：

  （1）5x²-10xy（2）-12a²b+18ab²-24ab

  （3）x(a-b)+y(b-a)

  B组：能力提升（面向大多数学生，熟练技能并初步应用）

  4.用提公因式法分解因式：

  （1）8m²n+2mn（2）-2a²b+4ab²-6ab

  （3）3x(y-z)-(z-y)（4）(x+2)²-3(x+2)

  5.先分解因式，再求值：4a²(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3。

  C组：拓展挑战（面向学有余力的学生，发展思维深度和灵活性）

  6.不解方程，利用因式分解判断关于x的方程x(x-2)-3(2-x)=0的解。

  7.证明：对于任意正整数n，3^(n+2)-3^n能被24整除。（提示：先将代数式提公因式3^n）

  教师巡视时，重点关注A组学生的完成情况，确保基础人人过关；对B、C组学生进行个别点拨，鼓励他们探究不同解法。讲评时，不仅对答案，更要分析思路、总结易错点（如A组第3题（3）的符号处理，B组第4题（4）的整体意识，C组第7题的代数式变形与整数性质的联系）。

  设计意图：分层练习满足不同层次学生的学习需求，使每个学生都能在原有基础上获得发展。基础题保底，确保核心知识与技能落实；提升题促思，加深对方法的理解和灵活运用；挑战题拓广，将因式分解与方程、数论初步结合，激发优等生的探究兴趣，培养其综合运用能力和数学思维品质。

  （六）课堂小结，结构化反思（预计用时：5分钟）

  师生活动：

  教师不直接罗列知识点，而是以问题链驱动学生自主回顾、梳理和升华。

  教师提问：“经过这节课的学习，请大家思考并回答以下几个问题：”

  1.“什么是因式分解？它和整式乘法最根本的区别与联系是什么？”（引导学生回顾本质：互逆的恒等变形。）

  2.“我们本节课学习了哪种因式分解的方法？它的核心步骤是什么？”（提公因式法；核心是“找公因式”和“提取”。）

  3.“如何确定一个多项式的公因式？有没有一个清晰的步骤？”（引导学生复述“系数→字母→指数”三步法。）

  4.“在运用提公因式法时，你遇到了哪些容易出错的地方？有什么经验教训可以和大家分享？”（学生可能提到：符号处理、提取后漏项（尤其是“1”）、分解不彻底、整体意识不强等。通过学生自我剖析，深化对细节的关注。）

  5.“学习因式分解，除了掌握一种运算技能，对你思考数学问题有什么新的启发？”（引导学生从方法论角度反思，如：逆向思维的重要性、观察结构寻找共性的方法、整体思想的应用等。）

  最后，教师用简洁的思维导图（可板书或课件展示）进行总结，将本节课的知识点（概念、方法、步骤、注意事项）结构化、可视化。

  设计意图：改变教师单方面总结的模式，通过递进式的问题引导学生进行自我反思和总结。这不仅回顾了知识与技能，更促进了学生对学习过程、思维方法和易错点的元认知，有助于将新知识有效地整合到原有的认知结构中，形成系统化的知识网络。最后的思维导图呈现，为学生提供了清晰的知识框架。

  （七）布置作业，延伸学习

  1.必做题：课本对应章节的练习题，完成A组全部，B组前3题。着重巩固提公因式法的基本操作和规范书写。

  2.选做题（二选一）：

  （1）探究题：尝试分解因式a(x-2)²+b(2-x)³，并与同学交流你的方法和思路。

  （2）实践与应用题：查阅资料或结合物理、地理等其他学科知识，找一个可以用提公因式法简化计算或表达式的实例，并说明其意义。

  3.预习任务：阅读下一课时内容，思考：除了提公因式法，多项式是否还有其他结构特点可能引导我们找到不同的分解方法？尝试对多项式x²-4和x²+2x+1进行因式分解，看看你能发现什么。

  设计意图：作业设计体现基础性、层次性和拓展性。必做题确保全体学生达到课标基本要求；选做题满足不同兴趣和特长学生的发展需求，或深化思维，或联系实际；预习任务为下一课时的公式法学习埋下伏笔，激发学生的求知欲，实现学习的可持续性。

  六、教学评价设计

  （一）过程性评价

  1.课堂观察：通过学生在“概念辨析”、“例题探究”、“练习互动”等环节的参与度、回答问题的质量、提出的疑问、板演情况等，实时评估学生对概念的理解深度、方法的掌握程度以及思维活跃度。特别关注学生在处理符号、寻找隐藏公因式时的思维过程。

  2.导学案反馈：通过批阅导学案上的“探究活动