黑龙江省2026届高三数学上学期10月月考试题含解析

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域

书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

U2,1,0,1,2,3,A1,1,2ð

1.已知集合，则UA（）

A.2,0,1,3B.2,1,1,3

C.2,0,3D.2,1,0,1,3

【答案】C

ð

【详解】集合U2,1,0,1,2,3,A1,1,2，则UA2,0,3.

故选：C.

2.已知cos0,tan0，则为（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【详解】根据三角函数的定义，由tan0，可得为第二或第四象限角；

由cos0，可得为第一、第四象限及x轴非负半轴上的角，

取交集可得，是第四象限角．

故选：D.

3.已知函数fxx3xf1lnx，则f1（）

53

A.4B.C.2D.

22

【答案】C

31

【详解】函数fxxxf1lnx，有fx3x21f1，

x

令x1，得f131f1，解得f12.

故选：C.

π

4.函数fxtan2x1的图象的一个对称中心可以是点（）

3

ππππ

A.,0B.,0C.,1D.,1

36412

【答案】D

πkππkπ

【详解】令2xkZ，则xkZ，

3264

ππ

令k0，则x，所以fx图象的一个对称中心为,1

66

ππ

令k1，则x，所以fx图象的一个对称中心为,1.

1212

故选：D.

5.已知fxax3bx1a,bR，若f23，则f2（）

A.-3B.-1C.1D.2

【答案】B

【详解】法1：令gxax3bx，则fxgx1，

3

gx定义域为R，gxaxbxax3bxgx，gx为奇函数，

所以f2g213，所以g22，

所以f2g21g21211.

故选：B.

法2：由f23，得8a2b13，即8a2b2，

所以f28a2b1211.

故选：B.

6.已知fxx3ax2x是增函数，则实数a的取值范围是（）

,

A.3,3B.22

C.,22,D.,33,

【答案】A

【详解】fxx3ax2x，fx3x22ax1，

因为fx在R上单调递增，所以fx3x22ax10在R上恒成立，

所以Δ4a2120，解得3a3.

故选：A.

7.已知x,yR，则“xy0”成立的一个充分不必要条件是（）

A.xyB.x1y1C.2x2y1D.lnx3lny3

【答案】D

【详解】对A：取x3，y2，有xy，故由xy不能得到xy0，

故“xy”不是“xy0”成立的一个充分不必要条件，故A错误；

1

对B：取x2，y，有x1y1，

2

故由x1y1不能得到xy0，

故“x1y1”不是“xy0”成立的一个充分不必要条件，故B错误；

对C：若2x2y1，则xy0，

故“2x2y1”是“xy0”成立的一个充要条件，故C错误；

对D：若lnx3lny3，则x3y30，即xy3，

由“xy3”是“xy0”成立的一个充分不必要条件，

故“lnx3lny3”是“xy0”成立的一个充分不必要条件，故D正确.

故选：D.

4π

8.已知π,2π，且cos，则tan（）

52

111

A.1B.C.D.

2332

【答案】B

2

43π43

【详解】由cos，π,2π，则π,，故sin1，

5255

π3

sincos2sincos

ππ22222sin51

tantan.

222π2cos143

cossin2sin1

22225

故选：B.

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

7

9.已知0,π，且sincos，则（）

13

512

A.cosB.cos

1313

125

C.tanD.tan

512

【答案】AC

74960

【详解】由sincos，得sin2cos22sincos，所以sincos，

13169169

7

又0,π，所以sin0,cos0，结合sincos，

13

12512

解得sin,cos，所以tan.

13135

故选：AC.

10.已知ab0，则（）

A.a2b2B.a3b3

baa4b

C.的最小值为2D.的最小值为4

abba

【答案】ABD

22

【详解】由ab0，得ab0，所以ab，即a2b2，故A正确；

因为函数yx3是R上的增函数，所以当ab0时，a3b3，故B正确；

bababa

由ab0，有0,0，所以22，

ababab

当且仅当ab时等号成立，但ab0，故等号不成立，故C错误；

a4ba4b

2244，当且仅当a2b时等号成立，故D正确

baba

故选：ABD.

11

11.已知函数fxsinx0，若x1,x2Dx1x2，2，则下列命题

fx12fx22

为真命题的是（）

A.若DR，则fx1fx21

3

B.若D0,2π，则的取值范围为,

2

C.若DR，则2πx1x2的最小值为π

111415

D.若D[π,2π]，则的取值范围为,,

222

【答案】ACD

11

【详解】对A：由2，

fx12fx22

则，

fx22fx122fx12fx22

化简得，

2fx132fx231

由fxsinx1,1，则2fx131,5、2fx231,5，

则恒有2fx132fx231，即fx1fx21，故A正确；

对B：若D0,2π，需存在x1x2，使得fx1fx21，

3π

当x0,2π时，x0,2π，则有2π2π，

2

77

解得，即的取值范围为,，故B错误；

44

π

对C：由fxfx1，则x2kπkZ，

121211

π

x2kπkZ，且k1k2，

2222

则x1x2π2k1k2π，k1k2且k1,k2Z，

故2πx1x23π2k1k2π3π2ππ，

当且仅当k1k21时，等号成立，故C正确；

22

对D：若Dπ,2π，则xπ,2π，

π

2π2kπ

2

则，kZ，

π

2k1π22π

2

31

即有k22k，kZ，

42

315

有k2k，解得k，即k2，

424

11271114

若k2，则，又0，解得；

4222

152111522

若k3，则，又0，解得；

4222

311331

又k4时，有k2k1k0，即k2k1，

42442

15

故时，符合要求；

2

111415

综上所述：的取值范围为,,，故D正确.

222

故选：ACD.

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数fxx1lnxa，若曲线yfx在点1,f1处的切线方程为2xy10，则

实数a________．

【答案】1

x1

【详解】fxlnx，则f1ln122，又f12ln1aa，

x

则曲线yfx在点1,f1处的切线方程为ya2x1，

化简得2xya20，则a21，故a1.

故答案为：1.

π

13.如图，在正方形ABCD中，分别以A,B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，

DE2

则图中阴影部分的面积为________．

【答案】12π93

4

【详解】连接AE，BE，因为在正方形ABCD中，分别以A,B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于

点E，

ππ

设AEBEABr，则EAB，所以DAE，

36

π

π

因为的长为，所以r23，即正方形的边长为3，

DE2π

6

1π3π

所以的面积3293，扇形的面积为2，

ABES3EABS23

144232

由图形的对称性知，扇形EAB与扇形EBA的面积相等，

9312π93

所以图中阴影部分的面积S2SS3π.

2144

故答案为：12π93

4

π

14.已知函数fxcos2x(0π)，曲线yfx的一个对称中心为点,0，将曲线

12

π

yfx向左平移个单位长度，得到曲线ygx.若函数hxfxgx在区间0,a上单调递

3

减，则实数a的最大值为__________.

5π5

【答案】##π

1212

πππ

【详解】因为点,0为曲线yfx的一个对称中心，所以2kπkZ，

12122

πππ

所以kπkZ，又0π，所以，所以fxcos2x，

333

πππ

其图象向左平移个单位长度，得gxcos2xcos2x.

333

π13π

所以hxfxgxcos2xcos2xcos2xsin2xcos2x3cos2x，

3226

ππ5π5π

因为hx在0,a上单调递减，所以2aπ，所以0a，即a的最大值为.

661212

5π

故答案为：.

12

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15.已知锐角的顶点为直角坐标系的原点O，始边为x轴的非负半轴，终边过点2,1.

（1）求cos2；

π10

（2）若,π,sin，求cos.

210

3

【答案】（1）

5

72

（2）

10

【小问1详解】

1525

由题意，得sin,cos，

221255

2

所以253.

cos212sin12

55

【小问2详解】

πππ3π

由题意知0,,,π，所以,，

2222

103π

又sin0，所以π,，所以cos0，

102

310

从而cos1sin2.

10

525

由（1）知sin,cos，

55

所以coscoscoscossinsin

3102510572

10510510

π4π

16.如图，函数fxsinx(0,0π)的图象经过点E,1和F,1.将fx图

33

象上各点的横坐标变为原来的1（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最

2

π

后再把图象向右平移个单位长度，得到函数gx的图象.

6

（1）求函数gx的解析式及其单调递增区间；

7πππ

（2）求函数ygx3gx在,上的值域.

1263

πππ

【答案】（1）gx2sin2x，kπ,kπkZ

663

（2）2,1

【小问1详解】

4ππ2π

由题意，知fx的最小正周期T22π，所以1，

33T

ππππ

又f1，得2kπkZ，解得2kπkZ，

3326

ππ

结合0π，得，所以fxsinx.

66

πππ

由题意，得gx2sin2x2sin2x，

666

πππππ

令2kπ2x2kπkZ，得kπxkπkZ，

26263

ππ

所以gx的单调递增区间为kπ,kπkZ.

63

【小问2详解】

π7ππ

由（1）得y2sin2x23sin2x

6126

π

3sin2xcos2x23sin2x3sin2xcos2x2sin2x，

6

ππππ5ππ1

由x,，得2x,，所以sin2x,1，

6366662

π

所以y2sin2x的值域为2,1，

6

即所求函数的值域为2,1.

17.已知函数fxlogax(a0，且a1).

（1）若fx的图象过点9,2，解不等式fx22x3f3x11；

（2）若xR,fx1fx22fax，求a的取值范围.

【答案】（1）2,13,7

（2）1,

【小问1详解】

2

由题意知f92，即loga92，所以a9，

又a0，所以a3，所以fxlog3x，

所以fx的定义域为0,，且在0,上单调递增，

2

因为fx2x3f3x11，所以0x22x33x11，

解得2x1，或3x7，

所以原不等式的解集为2,13,7.

【小问2详解】

x10,

由题意知x20,，因为a0，所以x0，

ax0,

由fx1fx22fax，得logax1logax22logaax，

22

所以logax1x2logaax，

因为fx为单调函数，所以a2x2x1x2x23x2，

2

232131

所以a12，

xx2x48

2

2131

所以问题可转化为关于x的方程a2在0,上有解.

x48

2

131

令t，则t0，又y2t在0,上单调递增，

x48

2

31

所以y2t的值域为1,，

48

所以a21，所以a1，即a的取值范围为1,.

18.如图所示，在扇形AOB中，OA6,AOB90，C,D分别是OA,OB的中点，点E为弧AB上一

点，过E作与CD平行的直线交弧AB于另一点F,H为线段EF的中点．设EOH．

（1）当sin为何值时，四边形CDEF为矩形？

（2）记四边形CDEF的面积为S，求S关于的函数关系式，并求S的最大值．

【答案】（1）2

4

63

（2）

4

【小问1详解】

在扇形AOB中，OA6,AOB90，且C,D分别是OA,OB的中点，

可得CDOD2OC232，

由EOH且H为线段EF的中点，

在直角△OEH中，可得EHOEsin6sin，所以EF2EH12sin，

由于OH垂直于CD,EF且经过二者的中点，

故要使得四边形CDEF为矩形，则需满足EFCD，

2

即12sin32，可得sin，

4

2

即当sin时，四边形CDEF为矩形.

4

【小问2详解】

解：由（1）知CD32，且EF12sin，

13

如图所示，设CD与OH交于点G，则OGCD2，

22

32

因为OHOEcos6cos，所以HGOHOG6cos，

2

1132

所以四边形CDEF的面积为S(CDEF)HG(3212sin)(6cos)

222

9π

36sincos92(cossin)，其中(0,]

24

πππππ

令tcossin2cos()，因为(0,]，可得(,]，

44442

1t2

所以t[0,1)，且t2(cossin)212sincos，则sincos，

2

1t2927

所以S3692t18t292t，其中t[0,1)，

222

26363

当t时，Smax，即四边形CDEF面积的最大值为.

444

a

19.已知函数fxlnxaR．

x2

（1）讨论fx的单调性；

（2）若fx有两个零点x1,x2x1x2．

（i）求a的取值范围；

（ii）证明：x1x21．

【答案】（1）答案见解析

1

（2）（i）0a；（ii）证明见解析

2e

【小问1详解】

12ax22a

fxx0，

xx3x3

当a0时，x22a0，则fx0，故fx在0,上单调递增；

当a0时，令x22a0，解得x2a或x2a（负值，舍去），

故当x0,2a时，fx0，当x2a,时，fx0，

故fx在0,2a上单调递减，在2a,上单调递增；

【小问2详解】

（i）若a0，fx在0,上单调递增，不可能有两个不同零点；

若a0，则fx在0,2a上单调递减，在2a,上单调递增，

a11

则有f2aln2aln2a0，即ln2a，

2a22

11

解得a，即0a，

2e2e

又x0时，fx，f1ln1aa0，

故存在，使得，

x10,2ax22a,1fx1fx20

1

即a的取值范围为0a；

2e

11

111111

（ii）由，则，由2