2026年上海市宝山区高一下学期期末教学质量检测数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高一数学考生注意：1．本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．已知集合，，则等于________．2．已知为虚数单位，则复数的虚部是____________．3．函数的定义域为______．4．在菱形ABCD中___________.5．幂函数的图象过点，则实数a=____________．6．若函数在R上是严格减函数，则实数的取值范围是____________．7．若对任意，不等式都成立，则实数k的取值范围是______．8．已知复数、满足，，则的最大值为____________．9．方程的实数解为____________．10．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为、、c，且满足，则△ABC中角C的大小为____________．11．对于定义在上的函数，x1和x2是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数t的取值范围是____________．12．在平面直角坐标系中，已知点、，动点满足，点C满足，则面积的最大值为______．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（

）A． B．C． D．15．已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（

）A．对应的复数是B．对应的复数是C．的充要条件是存在唯一实数λ，使得D．的充要条件是16．已知函数，有下列两个命题：：有且仅有两个大于8的整数m使得在上恰有3个零点；Q：有且仅有5个满足条件的整数m使得在上恰有3个零点．则这两个命题中（

）A．真Q真 B．真Q假 C．假Q真 D．假Q假三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知关于的方程．(1)若该方程有一个实根为，求方程的另一个根；(2)若该方程有一个模为1的虚根，求k的值．18．已知，函数．(1)当时，解不等式；(2)当时，求函数的值域．19．如图，⊙O的半径为1，C是⊙O的直径AB上一点（异于A，B），过C作与直径AB垂直的弦与⊙O相交于D、两点，连接AD和BD，设．(1)求线段CD的长（用θ表示）；(2)若为直线AB上一点，且的最小值为，求θ的值．20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（即的三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H为池底边AB的中点，E、F分别落在BC、AD上（管道的直径大小忽略不计）．已知米，米，记．现有两种设计方案：方案1：是以H为顶点的等腰三角形；

方案2：是以H为直角顶点的直角三角形；

(1)若方案1中污水净化管道的总长度L恰好是米，求θ的大小；(2)试对两种设计方案进行比较，要使净化效果最好，应该选择哪种设计方案？21．已知A、B（）是常数，函数的定义域为R，设满足以下三个条件的所有函数组成集合Ω：①；②；③对一切实数x、y均满足．(1)设函数，若，求A、B的值；(2)若，求和的值（用A表示），并证明是周期函数；(3)若函数，证明的充要条件是：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【详解】试题分析：考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．2【详解】因为，所以z的虚部为2.3．【详解】要使函数有意义，则，即，即，解得，所以函数的定义域为.4．0【分析】化简为即可计算结果.【详解】因为在菱形ABCD中，所以AB=AD,从而.故答案为：0.5．【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得：，根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为：，由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得.6．【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围.【详解】对于指数函数（b>0且），函数在R上是严格减函数，则且，得且.所以，实数的取值范围是.7．【详解】对任意，不等式都成立，所以，即，解得，即k的取值范围是.8．3【分析】利用复数模的三角不等式或复数模的几何意义，即可求得的最大值.【详解】根据复数模的三角不等式，对任意复数，均满足，当且仅当存在正实数λ使得时等号成立.代入已知条件，，可得：，当且仅当时等号成立，故的最大值为3.9．【分析】利用换元法将指数方程转化为一元二次方程，求解后结合指数函数的值域舍去负根，再转化为对数形式得到解【详解】令，由指数函数的性质可知，原方程可变形为：，对一元二次方程因式分解得，解得或.由于，故舍去，即.根据对数的定义，可得.10．【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，结合两角和的正弦公式与三角形内角的性质化简求解角C.【详解】在中，设其外接圆半径为，由正弦定理得，即，，，则由，可得，由两角和的正弦公式，左边可化简为，又，因此等式化为由于，故，两边同除以得，又，因此.11．【分析】根据分段函数在不同区间上的单调性，再结合区间I并应用分类讨论研究不同区间值域是否有交集，即可得实数t的取值范围.【详解】令，则①当时，则，且上单调递增，所以时，满足恒有；②当时，，显然时在上单调递增，所以时，满足恒有；③当时，在上单调递减，此时，且，在上单调递增，此时，且，显然与有交集，所以时，不满足时，恒有；④当时，则上单调递减，且，上单调递增，且，若，即，不符合的前提，若，即时，与无交集，若时，恒有且，显然与有交集，所以，时，不满足时，恒有，时，满足时，恒有；⑤当时，在上单调递减，此时，且，在上单调递增，此时，且，显然与有交集，所以时，不满足时，恒有；⑥当时，则，且在上单调递减，所以时，满足时，恒有；综上，t的取值范围是12．##【分析】设，由可得，可设，，，则，由可得，再证明已知三点，则面积为，可得，进而结合正弦函数的性质求解即可.【详解】设，则，即，则，不妨设，，，则，所以，即，下面证明：已知三点，则面积为.由，则，即，，，所以面积为.则，由于，则，即，则面积的最大值为3+1.13．A【分析】先求解不等式得到对应解集，再通过两个取值范围的包含关系判断充分性和必要性是否成立.【详解】首先求解不等式：将不等式变形为，因式分解得，解得.充分性验证：若则成立，即成立.必要性验证：若则，但不一定成立.所以“”是“”的充分非必要条件.14．B【详解】对于A，因为，该函数为常数函数，是偶函数，但所有非零实数均为其周期，不存在最小正周期，故A错误；对于B，因为，又，所以是偶函数，且最小正周期为，故B正确；对于C，由，令，因为，所以是奇函数，不合题意，故C错误；对于D，因为是奇函数，不合题意，故D错误.15．D【分析】根据复数的几何意义、复数运算与平面向量运算的对应关系，通过逐一验证各选项的等价性即可判断错误结论.【详解】选项A：复数的加法与向量的加法是对应的，对应的复数就是，A正确；选项B：复数的减法与向量的减法是对应的，对应的复数就是，B正确；选项C：的充要条件是存在唯一实数λ，使得，这符合复数与向量平行的关系，C正确；选项D：的充要条件不是，例：设，它们对应的向量分别是和，互相垂直，但，D错误.16．A【分析】令，易知f(x)的零点由与的零点共同产生，先分析时，两个函数在给定区间内的零点个数，求出符合题意的m，判断命题的正误；再在命题的结论基础上，分析时两个函数的解的情况，将两个函数的解进行汇总，求出符合题意的m的个数，即可判断命题Q的正误.【详解】令，函数在上的零点由或的解构成.分析命题：对于二次函数，其判别式，当时，，此时无实数解，因此，函数的零点完全由决定，即在上有3个解.又由，可知，故，解得，，又因为，故或，因此命题为真；分析命题Q：只需在命题的基础上，检查的情况即可，此时，由求根公式可得的解为，又且，故均落在区间内，且易知的根均含有，因此与不会产生重合的零点，因此我们将各情况的零点数汇总：当时，，有1个解，且该解为；此时，当时，，易知，即在上有3个解，此时总计有个零点，不符合题意；当时，Δ>0，有2个相异实根且均落在区间内，此时若要满足题意，只能有一解，由，可知，因此，即，故m可取.综上所述，满足恰有3个零点的整数m分别为：，共5个，故命题Q为真.17．(1)(2)【分析】（1）将x=−1代入方程，求出，解一元二次方程即可求解方程的另外一个根；（2）设方程的虚根为，可知共轭复数也是方程的根，利用韦达定理以及复数模的公式求解即可.【详解】（1）若该方程有一个实根为，则，解得：，此时方程为，解得：，，所以方程的另一个根为（2）方程有虚根，所以，即，设虚根为，则其共轭复数也是方程的根，因为该方程有一个模为1的虚根，则由韦达定理可得，所以，解得：，满足，符合条件.18．(1)(2)【分析】（1）把代入，再利用函数在上单调递增求解；（2）把代入，求出的表达式为，再利用基本不等式与函数的性质求解值域.【详解】（1）当时，，由于函数在上单调递增，故解得，所以，原不等式解集为.（2）当时，，即，由，得，故函数定义域为，由于，所以(当且仅当即时取等号），又函数在上单调递增，所以，，故值域为.19．(1)(2)或【分析】（1）由题设，易得，可得，再结合即可求解；（2）建立平面直角坐标系，设，表示出，可以看作关于t的二次函数，进而得到，可得，进而求解即可.【详解】（1）由题意，AB为直径，则，而，AB=2，则，又，则.（2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由（1）知，，而，则，而，则，，设，则，，所以，可以看作关于t的二次函数，则当时，取得最小值，则，即，则，而，则，即或，则或.20．(1)(2)方案1【分析】（1）由题意可得，，则由即可求解；（2）对于方案1，由（1）可得污水净化管道的最大长度，对于方案2，解直角三角形求得，，的解析式，从而得污水净化管道的总长度，，设，则，，根据函数在上单调递减，求得L2的最大值，比较两种方案污水净化管道的总长度的最大值即可求解.【详解】（1）由题意可得，，由于，所以，所以，所以，，由，解得，所以.（2）对于方案1：由（1）知污水净化管道的总长度，，当时，总长度L1取得最大值为米；对于方案2：由题意可得，，，由于，，所以，所以，所以污水净化管道的总长度，，即，，设，则，，因为，所以，所以，所以，，因为在上单调递减，所以当时，即或时，L2取得最大值为米.因为，所以要使净化效果最好，应