2025年浙江省重点高中提前招生数学模拟试卷（含答案详解）

浙江省2025学年重点高中提前招生数学模拟试卷（附答案）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.使都有意义的实数组（）A．存在且有无限多组B．存在有限组C．一定不存在D．无法确定是否存在2.如图所示，直线，，表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处3.下列函数的图象与函数的图象关于轴对称的是（）A.B.C.D.4.若，则的大小关系是（）A.B.C.D.5.圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆，则它的侧视图是（）6.若的三条高之比为，则（）A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．以上均有可能7.若对于满足的所有实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8.定义函数，其中表示不超过实数的最大整数，如：。当（其中为正整数）时，的所有可能取值的个数记为，则的值为（）A．45B．46C．55D．669．已知满足方程组，则该方程组的所有实数解的组数为（）A.1B.2C.3D.410．如图，中的平分线分别与边、的外接圆交于点、，过任作一条与直线不重合的直线，直线分别与射线、交于点、，下列判断错误的是（）A．无论直线的位置如何，总有直线与的外接圆相切B．无论直线的位置如何，总有C．直线选取适当的位置，可使、、、四点共圆D．直线选取适当的位置，可使二、填空题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分)11.不等式的解为.12.如果个同学在小时共搬运块砖，那么个同学以同样的速度搬运块砖需小时.13.已知正方形的边长为，对角线交于点，为的中点，与交于点，与交于点，则四边形的内切圆的半径等于.14.若抛物线与轴、轴交于三个不同的点，当实数变化时，的外接圆必经过某一定点，则此定点的坐标为.15.十进制中，四位数是完全平方数（其中均不为零），且，均为完全平方数，则.16.我们把2×2的方格表称为一个“宫”，将4个“宫”拼成如图所示的一个4×4的方格表（称为“四宫格”）。把1,2,3,4四个数字填入“四宫格”中，使得这4个数字在每行、每列、每“宫”的四个格子中均出现一次。现已知“四宫格”左上角的方格内已经填有数字1，则满足条件的填法共有种.三、解答题：(本大题共5小题，共64分)17.（本题12分）已知，.求证：.（本题12分）如图，已知双曲线，抛物线和直线.设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为.（Ⅰ）若线段与线段的中点重合，求证：；（Ⅱ）是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由.（本题14分）如图，为半圆的直径，为半圆内的一点，直线交半圆于点，直线交半圆于点，直线与直线交于点，为直径上的一点，且满足.求证：.20.（本题12分）在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定一次操作如下：将某枚棋子跳过邻格（有公共边）中的棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的棋子从棋盘上拿走（图1）.（I）当棋盘上最初只有摆放成“7”字型（如图2）的4枚棋子时，经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？（II）当棋盘上最初仅200×200方格中放置有棋子时（如图3），经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？图2图1图2图1共20共200行，200列有棋子图3（本题14分）若矩形的长、宽和对角线的长度都是整数.求证：这个矩形的面积是12的倍数.参考答案选择题ADBDDB提示：设三条高20,15,12对应的三边为，则（设为）.则,，.则.∴∠C=.∴△ABC是直角三角形.故选B.C提示：由题意可得.即..故选C.B提示：当时，y最小值为，y最大值==.y值有n-1个.列表：…y取值014,59,10,11…81,82，…，90y个数1个1个2个3个…9个由表格可得.B提示：易知是原方程组的一组解.当均不为0时，不妨设，则，得得..又.则，可得..代入方程组解得.C提示：对于选项C：假设A、P、M、Q四点共圆，则PD•DQ=AD•DM.又A、B、M、C四点共圆，∴AD•DM=BD•CD.∴PD•DQ=BD•CD.∵∠PDB=∠CDQ，∴△PDB∽△CDQ.∴∠BCM=∠DPB.又∠DPB=∠MAQ，∴∠BCM=∠MAQ.∴∠BAM=∠MAQ.而AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠CAM>∠MAQ.矛盾.∴选项C错误.故选C.填空题或.提示：设四边形OMEN的内切圆为⊙，⊙分别与ON、EN相切于点T、F.易得CE=DE=，AC=BD=，BN=DN=BD=，ON=B0-BN=，EN=CN=CE=.设⊙半径为，则由∽得..解得..提示：取特殊值.设△ABC的外接圆⊙O半径为.先取，则，此时⊙O方程为①.再取，得，此时⊙O方程为②.由①、②解得.∴定点为（0,1）.1681.提示：可取的值为16,25,36,49,64,81.96.易知左上角田字格里有6种填法.对左上角田字格里的每一种填法，右上角田字格里都有4种填法.对于四宫格上半部分的的每一种填法，四宫格下半部分都有4种填法，则共有6×4×4=96种填法.解答题解：.，..(Ⅰ)证明：设，显然，联立，得..联立，得..若线段AB与CD的两个中点重合，则.(Ⅱ)解：若A、B为线段CD的三等分点，则线段AB与CD的两个中点重合，且CD=3AB.且.联立，解得或.对应的或.经检验均符合题意.∴直线的解析式为证明：连接OD,OC，ND,NC,DA.由，又∠DON=∠POD，可得△ODN∽△OPD.则∠DNO=∠ODC=∠OCD.∴O,D,C,N四点共圆.∴∠CDN=∠CON=2∠CAB=2∠CDB.∴BD平分∠CDN.又∵∠DCN=∠DOA=2∠DBA=2DCA,∴AC平分∠DCN.∴M为△DCN的内心.∴∠MND=∠DNC=∠DOC=∠DAC.∴M,N,A,D四点共圆.∴∠MNA=∠ADM=.∴MN⊥AB.(Ⅰ）如图4，当棋盘上只有“7”字型的A,B,C,D四枚棋子时，经过3次操作，最终最少能剩下1枚棋子.即经过若干次操作可将排成一排的3个棋子拿走，并使A棋子回到原位.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对棋盘中的枚棋子，经过操作，可将其变成枚棋子（如图5）.图5对图6所示的2×4枚棋子进行如下操作：a1→a3，b1→b3，a3→c3，d1→b1，c3→c1，b1→d1.使得图6经过操作后剩下位于d1，d2两枚棋子.故可将200×2枚棋子进行上述操作，使其变为2×2枚棋子.然后对2×2枚棋子继续操作，最终最少能剩下一枚棋子.证明：设矩形的长、宽和对角线的长度分别为，矩形的面积为，则，.先证中必有一个是3的倍数.若都不是3的倍数，则和必被3除余1，∴必被3除余2.但完全平方数被3除只能余0或余1，故矛盾.∴中必有一个是3的倍数.再证中必有一个是4的倍数.将中的公因数约去，得，其中两两互质.只需证明“中必有一个能被4整除”即可.首先不能全是奇数.若全是奇数，则和必都被4除余1.于是必被4除余2,但完全平