初高中数学暑假衔接材料：专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）（原卷版）

2/14专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题题型一：根据元素互异性求参数取值范围【例1】（1）集合a,1−a中，实数a的取值范围为______.（2）若集合中的三个元素分别为2,x,x2−x,则元素x【方法总结】根据元素的互异性求参数的取值范围方法：(1)先分析集合元素的情况，需要化简，先化简集合再分析元素.(2)然后根据集合元素的互异性，集合中任意两个元素互不相等，建立不等式（组），然后解不等式（组）即可得解.（有时元素含有分母、偶次方根式、对数等，还需要保证元素有意义，）【变式1-1】若集合A={a,|a|}，则实数a的取值范围为（

）A．aa>0 B．aa<0 C．aa≤0【变式1-2】已知集合A={1,x−2, x}，且集合A中的元素互不相同，求实数x题型二：根据元素与集合的关系求参数角度1：求参数值【例2】（1）已知3∈4,a−4a,a（2）设a∈Z，集合A=xx2+ax−2≥0，若−4∈A，2∈AA．0,1,2,3 B．−1,0,1 C．−1,1,2,3 D．−1,0,1,2,3（3）已知全集U=2,3,4,5，集合A=a2−1,a2【方法总结】类型I：元素属于数集：①将元素代入集合对应的解析式，列方程，解方程求参数值；②检验：根式/分式有意义、集合元素互异性；③确定最终参数的值；类型II：元素不属于数集：①先假设(a∈A)求出参数范围；②取其补集，得到(a∉A)的范围；③附加根式、分式等定义域限制；类型III：已知点属于集合：①将点坐标代入集合中的方程/不等式；②联立方程求解参数；③无互异性要求，只需检验式子本身有意义.【变式2-1】已知(1,2)∈(x,y)2x+ay−3=0，则a的值为【变式2-2】已知集合A=a−4a,a2+2a+5,角度2：求参数取值范围【例3】（1）已知集合A=xx2−3x+a>0,x∈R，且1∉A，则实数A．(−∞,2] B．[2,+∞) C．（2）已知集合A中元素x满足2x−a>0，且1∉A,2∈A，则（

）A．a>4 B．a≤2 C．2<a≤4 D．2≤a<4【方法总结】类型I：元素属于不等式型集合：将元素代入不等式，直接解不等式（组）即可（有时还要注意不等式中是否含有分母、偶次根式、对数等，自带限制条件别忘记）；类型II：元素不属于集合：先求(a∈A)时参数范围，再取补集，同时兼顾定义域.类型III：已知点属于/不属于集合：将点坐标代入对应等式/不等式求解，点集无需验证元素互异性.【变式3-1】已知集合A=x2mx−3>0，m∈R，若1∉A且3∈AA．12,32 B．12,题型三：根据集合中元素的个数求参数角度1：求参数值【例4】（1）如果集合A=xax2−4x−1=0A．0或4 B．4 C．0或−4 D．0（2）已知6≤m≤9，集合A=x∈Zmx∈Z，则满足A．6 B．7 C．8 D．9【方法总结】类型I：方程解集型：集合为一元一次/二次方程的解集，限定元素个数（0个或1个）：①0个元素（空集）：方程无实数根；②1个元素（单元素集）：方程有两个相等实数根；③优先讨论二次项系数是否为0（区分一次、二次方程）.类型II：含参区间/不等式集合：集合由不等式构成，结合区间端点、参数范围限定元素个数，多求取值范围，根据不等式解集的构成，分析边界参数，确定范围.【变式4-1】已知a∈A且4−a∈A，a∈N且4−a∈N，则：若A有且只有2个元素，则集合A的个数是角度2：求参数取值范围【例5】（1）已知集合A=x1−a≤x≤1+a,a∈R（2）已知集合A={x∣−3≤x<m},B=−2,1，且A∩B中只有一个元素，则实数m的取值范围是（

A．−2,1 B．−2,1 C．−2,1 D．−2,1（3）已知集合A=x∣m(1)若A中有两个元素，求实数m的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数m取值范围.【方法总结】类型I：方程解集型：集合为二次方程的解集，限定元素个数（0个或2个）：①0个元素（空集）：方程无实数根∆<0②2个元素：方程有两个不相等实数根∆>0类型II：不等式解集型集合：限定整数元素个数、离散元素个数，①先求解不等式，写出解集区间；②根据指定元素个数，分析区间端点临界值；③确定参数范围.【变式5-1】若集合x∣a3<x<3a2恰有8个整数元素，则实数题型四：根据集合的相等关系求参数值【例6】（1）已知a，b∈R，若a,ba,1=（2）若集合x|a−2x+a2>4【方法总结】根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性.【变式6-1】（多选）已知集合0,−2,2a=a−2,−a,a+2，则A．2 B．0 C．−2 D．4【变式6-2】已知互异复数z1z2≠0，集合z题型五：根据集合间的包含关系求参数角度1：求参数值【例7】（1）已知集合A=x∣x2−14x+40=0，B=4,a+1,a2A．9 B．−3,3 C．−3,9 D．−3,3,9（2）（多选）已知集合A=xx≤−3或x>5，B=x2a<x<a+3且B是A的真子集，则A．2 B．−6 C．2.5 D．4角度2：求参数范围【例8】（1）已知集合A=x12<x<2，B=xx−a<2A．0,52 B．0,52 C．（2）已知集合A={x∣1<x≤3},B={x∣2m<x<1−m}.若∀x1∈A,∃x2∈B，使得【方法总结】已知两个集合之间的关系求参数：(1)因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论.(2)用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值.(3)若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程(组)求解.【变式8-1】已知A={xx<−3或x>1}（1）若B={xx<3m+1或x>m+2}，AB，求m（2）若B=xm+2<x<3m+1，BA题型六：根据集合的基本运算求参数角度1：根据并集运算求参数【例9】（1）A=x|−2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m−1，若A∪B=A，则实数m的取值范围是（A．−∞,3 B．−∞,2 C．（2）（多选）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=x2a−3≤x≤a+1，若A．12 B．0 C．13 （3）已知集合A=x−3≤x≤4，B=x−2m−1≤x≤m+1.若【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∪B=A（即B⊆A）：①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②分别列不等式组，借助数轴限定范围；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围类型3：已知A∪B=某确定区间（比如：R，1<x<6等）①画出已知并集的数轴范围；②画出集合A、B的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围；③列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点；④排除矛盾情况，得出范围.角度2：根据交集运算求参数【例10】（1）记全集U=R，集合A=xa−2≤x≤2a+1,a∈R，B=xx≤3或（2）已知集合A=x∣−3≤x≤1，B=x∣m−2≤x≤2m+1.若A∩B=∅，求实数【方法总结】类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数.①根据并集定义：参数必须是并集中的元素；②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解；③逐一验证，确定参数值.类型2：已知A∩B=A（即①分类讨论：(B=∅)、(B≠∅)两种情况（空集优先讨论，极易漏解）；②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组；③单独检验区间端点取值；④合并所有符合条件的参数范围.类型3：已知A①讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）；②集合非空时，数轴分析：A整体在B左侧或A整体在B右侧；③列不等式，重点核对端点等号.角度3：根据补集运算求参数【例11】（1）已知全集U=1,3,5,7,9，集合A=3,7,a−1，若∁UA=1,5A．4 B．6 C．8 D．10（2）已知A=x|x2+px−6=0，B=x|x2（3）已知集合A=x1≤x≤5，①B∪∁RA=R；②A∩∁问题：若选__________，求实数a的取值范围.【方法总结】类型1：已知补集，反求原集合中的参数.①由补集定义A=∁②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程；③验证端点/集合互异性.类型2：补集运算转化为子集关系求参：①分类转化为子集关系：A∩∁UB=∅⟺A⊆B②根据子集关系求出参数的取值范围.角度4：根据并交补混合运算求参数【例12】（1）（多选）全集U=x|x≥1，A=x|2<x<4，B=x|x≥3，C=x|a−1<x<2a+1，A．a=−2 B．a=0 C．a=3 D．a=4（2）集合A=x−1<x<4，B=x−1≤x≤3，集合C=xA．m=−1 B．m=0 C．m=1 D．m=2【方法总结】方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】一是确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；二是千万不要忘记考虑空集．一、单选题1．设集合A是方程x2+ax−6=0的解集，且2∈A，则实数a的值为（A．−1 B．−4 C．1 D．42．已知集合A=xx2−3x+a>0,x∈R，且1∉A，则实数A．(−∞,2] B．[2,+∞) C．3．已知集合A=1,m,n，B=m2,m,mn．若A=B，则A．−1 B．0 C．1 D．24．已知集合A=x−2≤x≤5，已知B=xm+1≤x≤2m−1，若B⊆A，则实数A．m≥3 B．2≤m≤3 C．m≤3 D．m<35．设集合M=x|(x−a)(x−3)=0,N=x|(x−4)(x−1)=0A．若M∪N=1,3,4，则B．若M∪N=1,3,4，则C．若M∩N=∅，则M∪N有4个元素D．若M∩N≠∅，则M∪N=6．已知集合A=xx<−3或x>1，B=xx≤−4或x>a，若A∩∁A．3<a<4 B．3≤a<4 C．3<a≤4 D．3≤a≤4二、多选题7．已知全集U=R，集合A=x|−2≤x≤7，B=x|m+1≤x≤2m−1A．m|6≤m≤10 B．m|−2<m<2C．m|−2<m<−12 8．下列结论正确的是（）A．若xx+3>0∩xx−a<0B．若xx+3>0∩xx−a<0C．若xx+3>0∪xx−a<0D．若xx+3>0∪xx−a<09．对于集合A，B，我们把集合xx∈A,且x∉B记作A−B；把集合A−B∪B−A记作A⊕B.若集合A=−1,1，A．A−B=−1,0 B．C．A⊕B=B⊕A D．A⊕B=三、填空题10．已知数集a,b,c,d=1,2,3,4．有下列3个条件：①a=1，②c>2，③d≠4