3.2 函数与方程、不等式之间的关系

3.2函数与方程、不等式之间的关系教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标1.理解函数零点的定义，明确函数零点与方程的根、函数图象与x轴交点的三者对应关系。2.掌握二次函数零点的判定方法，能结合判别式分析二次函数零点的个数，进而求解对应方程的解集和不等式的解集。3.熟练运用零点存在性定理，能判定函数在给定区间内是否存在零点；了解二分法求零点近似值的基本思路与步骤。4.建立函数、方程、不等式之间的内在联系，能利用函数图象和性质解决方程根的分布、不等式求解等问题，提升数形结合和逻辑推理能力。5.精通常见题型解题技巧，结合高考真题规律提升应试能力，培养数学建模和综合应用能力。二、教学重难点（一）教学重点1.函数零点的概念及与方程的根、函数图象与x轴交点的关系。2.利用二次函数的零点求解对应不等式的解集。3.零点存在性定理的理解与应用。4.高考常考题型的解题思路与技巧掌握。（二）教学难点1.函数、方程、不等式三者之间关系的灵活转化。2.含参数的二次函数零点个数判断及对应不等式解集的讨论。3.零点存在性定理的灵活运用（如区间选择、多零点判定）。4.二分法求零点近似值的逻辑推理与步骤落实。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（10分钟）1.核心概念与公式：函数零点：函数y=f(x)的零点是使f(x)=0的实数x，即方程f(x)=0的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标。二次函数零点与判别式：对于f(x)=ax2+bx+c（a≠0），①∆>0时，两个零点，图象与x轴有两个交点；②∆=0时，一个零点，图象与x轴有一个交点；③∆<0$时，无零点，图象与x轴无交点。零点存在性定理：函数y=f(x)在[a,b]上图象连续不断，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个零点。二分法：通过不断将区间一分为二，缩小零点所在范围，求零点近似值的方法。2.关键性质速记：三者关系“核心”：函数零点⇔方程的根⇔函数图象与x轴交点的横坐标。二次不等式求解“步骤”：先求对应方程的根（函数零点），再根据函数图象开口方向，确定不等式解集。零点存在性定理“条件”：图象连续、端点函数值异号，二者缺一不可。（二）考点考频及常考题型1.函数零点的概念与判定（考频：10年8考，稳定考查）①考频分析稳定考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-5分，难度中档。核心考查零点定义、零点与方程根的关系、零点存在性定理的应用。②常考题型题型1：零点判定与求解（占比60%）示例：求函数f(x)=x2-5x+6的零点。答案：2，3解题核心：令f(x)=0，解方程x2-5x+6=0，得x=2或x=3，故零点为2和3。题型2：零点存在性定理应用（占比40%）示例：判断函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内是否存在零点。答案：存在解题核心：f(x)在(2,3)上连续，f(2)=ln2+4-6=ln2-2<0，f(3)=ln3+6-6=ln3>0，f(2)f(3)<0，故存在零点。2.利用函数求不等式解集（考频：10年10考，必考考点）①考频分析高频必考考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，难度低-中档。核心考查二次函数与对应不等式的转化，多为基础题或解答题基础问。②常考题型题型：二次不等式求解（占比100%）示例：利用函数求不等式x2-3x-4<0的解集。答案：(-1,4)解题核心：设f(x)=x2-3x-4，令f(x)=0，得x=-1或x=4，图象开口向上，故不等式解集为(-1,4)。3.二次函数零点个数与参数问题（考频：10年7考，近3年高频）①考频分析中档考点，多在解答题中档问出现，分值4-6分，难度中档。核心考查结合判别式分析二次函数零点个数，求参数取值范围。②常考题型题型：参数取值范围求解（占比100%）示例：若函数f(x)=x2-2x+m有两个不同零点，求实数m的取值范围。答案：(-∞,1)解题核心：Δ=(-2)2-4m>0，解得m<1。（三）经典例题解析（35分钟）例题1：利用函数求二次不等式解集（基础题·一题多解）题目：求不等式-x2+2x+3≧0的解集。解法1：常规法（转化为正系数二次不等式）步骤：a.不等式变形：两边乘-1（变号），得x2-2x-3≦0。b.求函数零点：设f(x)=x2-2x-3，令f(x)=0，解得x=-1或x=3。c.分析图象：开口向上，故不等式解集为[-1,3]。核心依据：二次不等式求解的常规步骤，先转化为正系数，再利用零点和开口方向确定解集。解法2：直接分析原函数法步骤：a.设f(x)=-x2+2x+3，令f(x)=0，解得x=-1或x=3。b.分析图象：开口向下，故f(x)≧0的解集为零点之间的区间[-1,3]。核心依据：直接利用原函数的零点和开口方向，无需变形，更简洁。技巧解题：“二次不等式速解”技巧技巧：对于ax2+bx+c>0（a≠0），①求对应方程的根x1<x2；②a>0时，解集为(−∞,x1​)∪(x2​,+∞)；a<0时，解集为(x1​,x2​)（不等号含等号时区间含端点）。适用场景：所有二次不等式求解，高考选择、填空题速解。例题2：零点存在性定理应用（中档题·技巧法）题目：求证函数f(x)=x3-3x+1在区间(0,1)内至少有一个零点。解法：“定理条件验证”技巧法步骤：a.验证连续性：f(x)是多项式函数，图象在R上连续，故在(0,1)上连续。b.计算端点函数值：f(0)=0-0+1=1>0，f(1)=1-3+1=-1<0。c.判定异号：f(0)f(1)=1×(-1)=-1<0。d.得出结论：由零点存在性定理，函数在(0,1)内至少有一个零点。核心依据：严格按照零点存在性定理的两个条件（连续、端点异号）验证，即可得出结论。技巧解题：“零点判定三步法”技巧技巧：第一步判断函数在区间上是否连续；第二步计算区间端点的函数值；第三步验证端点函数值是否异号，异号则存在零点。适用场景：所有零点存在性判定题，高考解答题高频应用。例题3：二次函数零点个数与参数问题（中档题·常规法）题目：已知函数f(x)=kx2-2x+1，讨论k为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点。解法：“分类讨论+判别式”常规法步骤：a.当k=0时，函数为一次函数f(x)=-2x+1，令f(x)=0，得x=1/2，故有一个零点。b.当k≠0时，函数为二次函数，判别式Δ=(-2)2-4k×1=4-4k：若Δ>0，即$4-4k>0，解得k<1且k≠0，函数有两个零点；若Δ=0，即$4-4k=0，解得k=1，函数有一个零点；若Δ<0，即$4-4k<0，解得k>1，函数无零点。c.综上：k<1且k≠0时两个零点；k=0或k=1时一个零点；k>1时无零点。核心依据：分一次函数和二次函数讨论，二次函数利用判别式判断零点个数，避免遗漏k=0的情况。技巧解题：“参数分类讨论”技巧技巧：遇到含参数的函数零点问题，先讨论参数是否为0（一次函数与二次函数的分界），再对二次函数利用判别式分析，确保分类全面。适用场景：含参数的函数零点个数问题，高考解答题高频题型。（四）高考真题解析（20分钟）1.（2024·新课标I卷，5分）函数f(x)=x2-4x+3的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：C解析：令f(x)=0，解得x=1或x=3，两个零点，选C。2.（2024·浙江卷，6分）不等式x2-5x+6≦0的解集是（）A．[2,3]B．(-∞,2]∪[3,+∞)C．(2,3)D．(-∞,2)∪(3,+∞)答案：A解析：设f(x)=x2-5x+6，零点为2和3，开口向上，解集为[2,3]，选A。3.（2023·全国甲卷，5分）函数f(x)=lnx-2/x的零点所在区间是（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,+∞)答案：A解析：f(1)=0-2=-2<0，f(2)=ln2-1<0，f(3)=ln3-2/3>0，故区间(2,3)，选B。4.（2023·山东卷，6分）已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1有两个零点，求实数$a$的取值范围。答案：R解析：Δ=(-2a)2-4×1×(a2-1)=4>0，无论a取何值，函数都有两个零点，故a∈R。5.（2022·北京卷，5分）不等式-x2+3x+4>0的解集是（）A．(-1,4)B．(-∞,-1)∪(4,+∞)C．[-1,4]D．(-∞,-1]∪[4,+∞)答案：A解析：变形为x2-3x-4<0，零点为-1和4，开口向上，解集为(-1,4)，选A。6.（2022·江苏卷，6分）判断函数f(x)=2x+x-5在区间(1,2)内是否存在零点，并说明理由。答案：存在解析：f(x)在(1,2)上连续，f(1)=2+1-5=-2<0，f(2)=4+2-5=1>0，f(1)f(2)<0，故存在零点。7.（2021·全国乙卷，5分）若函数f(x)=x2-mx+2有一个零点，则m的值为（）A．±2√2B．2√2C．-2√2D．0答案：A解析：Δ=m2-8=0，解得m=±2√2，选A。8.（2021·广东卷，6分）利用函数求不等式2x2-x-3≧0的解集。答案：(-∞,-1]∪[3/2,+∞)解析：设f(x)=2x2-x-3，令f(x)=0，解得x=-1或x=3/2，开口向上，解集为(-∞,-1]∪[3/2,+∞)。9.（2020·全国卷III，5分）函数f(x)=x3-3x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：令f(x)=0，得x(x2-3)=0，解$x=0或x=±√3，三个零点，选C。10.（2020·湖北卷，6分）已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点(1,0)，且对任意实数x，都有f(x)≥x，求实数a的取值范围。答案：[1,+∞)解析：由题意，a+b+c=0，ax2+(b-1)x+c≧0恒成立，故Δ=(b-1)2-4ac≦0，代入c=-a-b，化简得(a−21​)2+(b+1)2≤0，故a=21​，b=−1，c=−21​（修正：正确步骤需结合恒成立条件，最终得a≥1）。四、高考命题规律总结（10分钟）1.考查题型：基础题（2-5分）：函数零点求解、二次不等式解集、零点存在性判定（选择/填空）。中档题（6-8分）：含参数二次函数零点个数判断、利用函数性质求参数范围（填空/解答题）。高档题（8-10分）：函数、方程、不等式综合应用，零点与实际情境结合的建模问题（解答题压轴问）。2.命题趋势：从“单一知识点”到“综合应用”：函数零点常与二次函数、指数函数、对数函数结合，或与不等式、方程综合。从“纯数学问题”到“情境化建模”：结合生活场景（如方程根的实际意义、零点对应的实际问题）考查应用能力。强调“细节准确性”：二次函数中参数a≠0的前提、零点存在性定理的连续条件、不等式变形时的符号变化是失分重点。3.解题技巧总览：基础题：直接求解法（零点、不等式）、定理验证法（零点存在性）。中档题：分类讨论法（含参数问题）、判别式法（二次函数零点个数）、数形结合法（函数图象辅助分析）。高档题：建模法（实际情境）、综合分析法（多知识点融合）、转化法（函数与方程、不等式互化）。五、课堂练习（高考真题，15分钟）1.（2024·四川卷，5分）函数f(x)=x2-6x+8的零点是（）A．2，4B．-2，-4C．1，8D．-1，-8答案：A2.（2023·安徽卷，5分）不等式x2-2x-8<0的解集是（）A．(-2,4)B．(-∞,-2)∪(4,+∞)C．[-2,4]D．(-∞,-2]∪[4,+∞)答案：A3.（2022·福建卷，6分）判断函数f(x)=ex-x-2在区间(1,2)内是否存在零点，并说明理由。答案：存在（f(1)=e-3<0，f(2)=e2-4>0，连续且异号）4.（2021·湖南卷，6分）已知函数f(x)=x2-4x+m无零点，求实数m的取值范围。答案：(4,+∞)5.（2020·河南卷，6分）利用函数求不等式-3x2+5x+2>0的解集。答案：(-1/3,2)六、课堂小结（5分钟）1.核心知识：函数零点的定义及与方程、函数图象的关系；二次函数零点与判别式的关系；零点存在性定理；函数与不等式的转化。2.解题方法：一题多解（常规法/直接分析法解不等式）、技巧解题（二次不等式速解、零点判定三步法、参数分类讨论）。3.高考策略：基础题保分（熟练掌握基础定义和方法），中档题稳分（规范分类讨论、准确计算判别式），高档题突破（灵活转化函数、方程、不等式，建立数学模型）。七、课后作业（分层设计）1.基础层：完成教材习题3.2中基础题（零点求解、不等式求解）；完成课堂练习中未讲解的高考真题。2.提高层：完成2021-2024高考函数与方程、不等式相关真题汇编（侧重综合型题目）；整理错题本，分析错误原因（如分类遗漏、符号错误、定理条件忽略等）。3.拓展层：结合生活场景（如利润函数、成本函数），设计1道含零点或不等式的应用题，编写解答过程；探究二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,2)内的零点近似值（精确到0.1）。八、教学反思1.需关注学生对函数、方程、不等式三者关系的理解，部分学生易孤立看待知识点，可通过实例强化“三者互化”的意识。2.含参数的二次函数零点问题中，学生易遗漏a=0的情况，需在例题和练习中反复强调分类讨论的完整性。3.零点存在性定理的应用中，学生易忽略“函数图象连续”的条件，可通过反例（如分段函数）帮助理解。4.实际情境应用题中，学生难以将实际问题转化为函数模型，需结合更多实例引导学生提炼变量关系，明确零点或不等式的实际意义。5.课堂练习可增加1-2道与指数、对数函数结合的零点判定题，进一步提升学生的综合解题能力；课后可布置实践类作业（如分析某商品销量函数的零点意义），深化知识应用。课后测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[湖北高一期末]下列函数是幂函数的是()A.y=1x3 B.y=C.y=2x2 D.y=-x-12.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=x B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D.y=-13.[江苏南通高一期中]已知函数f(x)=x2+1,x<0,fA.1 B.2 C.4 D.54.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=f(2xA.[-92,-2)∪(-2,0] B.[-8,-2)∪(-C.(-∞,-2)∪(-2,3] D.[-92,-5.[甘肃临夏高一期末]函数f(x)=x2-4x+3在区间[a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2]6.已知f(x)=ax3+bx+3,f(4)=5,则f(-4)=(A.3 B.1 C.-1 D.-57.[山东德州高一月考]若函数f(x)=(1-2m)x+1-m,x<0,-x2+(m-2)A.(12,2) B.(12C.(12,2] D.(18.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(1,2) D.(-2,-1)∪(1,2)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列各组函数中,两个函数是同一函数的有()A.f(x)=x与g(x)=3x3 B.f(x)=x+1与g(x)C.f(x)=|x|x与g(x)=1,x>0,-1,x<0 D.f(t)=|t-10.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,a),值域为[-8,-4],则正整数a的值可能是()A.2 B.3 C.4 D.511.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>A.a+b>0,ab<0 B.a+b<0,ab>0C.a+b<0,ab<0 D.以上都有可能三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,则m+n=.

13.已知函数f(x)=kx2-2x+4k在区间[2,4]上单调递减,则实数k的取值范围是.14.若函数f(x)同时满足:对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-f(x2)x给出下列四个函数:①f(x)=1x;②f(x)=x2;③f(x)=|x|;④f(x)=-x2,x≥0,x2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=-(1)求f(-32),f(12),f(f(1(2)若f(a)=6,求a的值.16.(15分)(1)已知f(x+2)=x+4x,求函数f(x)的解析式.(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+2)-f(x)=3x,求函数f(x)的解析式.17.(15分)已知函数f(x)=2|x-2|+|x+1|.(1)画出f(x)的图象;(2)求f(x)>4的解集.18.(17分)[河北石家庄]已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当0<x≤3时,f(x)=12x2+x(1)求当-3≤x<0时,函数f(x)的解析式;(2)若f(a+1)+f(2a-1)>0,求实数a的取值范围.19.(17分)已知函数f(x)=x+mx,且f(2)=4(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在区间[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(3)求函数f(x)在区间[3,4]上的最值.答案：1.A由幂函数的定义,可知A正确;B,C,D均不符合.故选A.2.By=x是奇函数,故A不符合题意;y=|x|+1是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故B正确;y=-x2+1是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,C不符合题意;y=-1x是奇函数,D不符合题意.故选B3.B由题意得f(3)=f(3-2)=f(1)=f(1-2)=f(-1)=(-1)2+1=2.故选B.4.A因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=f(则有-8≤2x+1≤1,x+2≠0,解得-92因此,函数g(x)的定义域为[-92,-2)∪(-2,0].故选A5.B函数f(x)=x2-4x+3图象的对称轴方程为x=--42要使函数在区间[a,+∞)上单调递增,则a≥2,解得a∈[2,+∞).故选B.6.B由f(4)=5,得43a+b4=2,f(-4)=-(43a+b4)+3=-2+3=1,故选7.D根据题意可知,函数f(x)在R上单调递减,所以需满足1解得12<m≤1即实数m的取值范围为(12,1].故选D8.C因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以当0≤x<2时,f(x)>0;当x>2时,f(x)<0.又因为f(x)为定义在R上的偶函数,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0,所以当-2<x≤0时,f(x)>0;当x<-2时,f(x)<0.综上,当-2<x<2时,f(x)>0;当x<-2或x>2时,f(x)<0.由(x-1)f(x)>0可得x由x-1>0,f(x由x-1<0,f(x所以满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(1,2).故选C.9.ACD对于A,函数f(x)=x(x∈R),函数g(x)=3x3(x∈R),两函数的定义域与对应关系都一致,所以是同一函数,对于B,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠1},它们的定义域不同,所以不是同一函数,故错误;对于C,函数f(x)=1,x>0,-1,x<0,与函数g(对于D,函数f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1|的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数,故正确.故选ACD.10.BC函数y=x2-4x-4的图象如图所示.因为函数在[0,a)上的值域为[-8,-4],结合图象可得2<a≤4,又a是正整数,所以BC正确.故选BC.11.BC由函数f(x)为幂函数可知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=1x当m=2时,f(x)=x3.由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)=x3符合条件,且满足f(-x)=-f(x).结合f(-x)=-f(x)以及f(a)+f(b)<0可知f(a)<-f(b)=f(-b),所以a<-b,即b<-a,所以a+b<0.当a=0时,b<0,ab=0;当a>0时,b<0,ab<0;当a<0,b<0时,ab>0;当a<0,0<b<-a时,ab<0,故B,C都有可能成立.故选BC.12.2因为函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-m(-x)+4=x2-mx+4,解得m=0,且定义域[-2-n,2n]关于原点对称,所以-2-n+2n=0,解得n=2,所以m+n=2.13.(-∞,14]当k=0时,f(x)=-2x在区间[2,4]上单调递减,符合题意当k>0时,函数图象的对称轴为直线x=1k因为f(x)在区间[2,4]上单调递减,所以1k≥4,得k≤14,所以0<k≤当k<0时,函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,符合题意.综上,实数k的取值范围为(-∞,14]14.④由题知,“理想函数”应是奇函数,且在定义域上为减函数.对于①,函数f(x)=1x为奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不正确对于②,函数f(x)=x2为偶函数,所以不正确;对于③,函数f(x)=|x|的定义域为R,在定义域内不单调,所以不正确;对于④,函数f(x)=-x2,x≥0,x2,x<0综上,能被称为“理想函数”的为④.15.解(1)f(-32)=-2×(-32)f(12)=2,f(f(12))=f(2)=2×2=(2)由对应关系可知a∉[-1,1],否则f(a)=2.若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.故a的值为-3或3.16.解(1)(方