2.2 直线及其方程 教案

2.2直线及其方程教案（含一题多解、技巧解题、高考分析及应用拓展）一、教学目标理解直线的倾斜角、斜率、方向向量、法向量的概念，熟练掌握斜率公式、方向向量与法向量的求法及相互关系，能准确判断斜率存在性。掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，明确各方程的适用条件，能根据已知条件灵活选择方程形式求解，实现“一式多求”与“一题多解”。熟练运用方程判定两条直线的平行、垂直、相交、重合关系，掌握点到直线及两条平行直线间的距离公式，能灵活解决距离计算问题。结合高考真题规律，提升运用直线方程解决综合问题的应试能力，培养数形结合、转化与化归的数学思想，拓展逻辑推理与运算素养。二、教学重难点（一）教学重点斜率公式、直线五种方程形式的推导与灵活应用，明确各方程的适用边界。两条直线平行、垂直关系的判定方法，点到直线及平行直线间距离公式的应用。高考常考题型（斜率与倾斜角计算、直线方程求解、线线位置关系判定、距离计算）的解题思路与规范步骤。（二）教学难点斜率不存在情况的分类讨论，避免解题遗漏；方向向量、法向量与斜率、倾斜角的综合转化。根据已知条件选择最优直线方程形式，复杂问题中数形结合思想的运用（如利用几何意义简化运算）。高考综合题中直线方程与圆锥曲线、函数、不等式的融合应用，以及含参数问题的分类讨论。三、教学过程（含例题、一题多解、技巧、高考分析）（一）知识回顾（15分钟）核心概念梳理

倾斜角：范围[0°,180°)，与x轴平行/重合时为0°，垂直时为90°，每条直线有唯一倾斜角。斜率：倾斜角θ≠90°时，k=tanθ；过两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，x₁≠x₂时k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，x₁=x₂时斜率不存在。方向向量与法向量：斜率为k的直线方向向量为(1,k)，法向量为(k,-1)；垂直x轴的直线方向向量为(0,1)，法向量为(1,0)。直线方程五种形式（对比记忆）

名称已知条件标准方程适用范围点斜式点(x₀,y₀)、斜率ky-y₀=k(x-x₀)不垂直于x轴的直线斜截式斜率k、y轴截距by=kx+b不垂直于x轴的直线两点式两点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)不垂直于x、y轴的直线截距式x轴截距a、y轴截距bx/a+y/b=1不垂直于坐标轴、不过原点的直线一般式两个独立条件Ax+By+C=0（A²+B²≠0）所有直线核心判定与公式

线线位置关系（设l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0）：

平行：A₁B₂=A₂B₁且A₁C₂≠A₂C₁；重合：A₁B₂=A₂B₁且A₁C₂=A₂C₁；垂直：A₁A₂+B₁B₂=0。

距离公式：点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)；平行直线间距离需先统一x、y系数。（二）考点考频及常考题型斜率与倾斜角计算（考频：10年9考，近5年全覆盖）

考频分析：基础必考点，多为选择/填空，分值3-5分，难度低-中档，侧重斜率存在性讨论。常考题型：已知两点求斜率、已知倾斜角求斜率（或反之）、斜率范围与倾斜角范围互化。直线方程求解（考频：10年10考，近5年全覆盖）

考频分析：基础-中档考点，覆盖选择、填空、解答题，分值3-6分，侧重方程形式的选择。常考题型：根据点、斜率、截距等条件求直线方程，将方程转化为指定形式。线线位置关系判定（考频：10年8考，近5年高频）

考频分析：中档考点，多在填空题或解答题第一问，分值4-6分，侧重平行、垂直关系判定。常考题型：判断两条直线平行/垂直，求与已知直线平行/垂直的直线方程。距离计算（考频：10年7考，近5年中频）

考频分析：中档考点，多为填空/解答题，分值4-6分，侧重公式应用与系数统一。常考题型：点到直线距离、平行直线间距离，结合面积、最值问题考查。综合应用（考频：10年8考，近5年必考）

考频分析：高档考点，解答题核心模块，分值8-10分，综合性强。常考题型：直线方程与圆锥曲线、函数融合，含参数直线的分类讨论，存在性问题。（三）经典例题解析（40分钟）例题1：斜率与倾斜角互化（基础题·易错辨析）题目：已知直线经过点A(-1,3)与B(2,0)，求直线的斜率k与倾斜角θ；若直线倾斜角为150°，求其斜率。解法：公式应用+范围判定求斜率：A、B横坐标不相等，k=(0-3)/(2-(-1))=-1。求倾斜角：tanθ=-1，结合θ∈[0°,180°)，得θ=135°。倾斜角150°时，斜率k=tan150°=-√3/3。技巧解题：“倾斜角与斜率范围对应技巧”技巧：牢记特殊角正切值（30°:√3/3、45°:1、60°:√3、120°:-√3、135°:-1、150°:-√3/3）；倾斜角0°≤θ<90°时k>0，90°<θ<180°时k<0，θ=90°时k不存在，避免范围混淆。适用场景：所有斜率与倾斜角互化问题，高考基础题速解与易错点规避。例题2：直线方程求解（中档题·一题多解）题目：已知直线经过点P(-2,3)，且倾斜角为45°，求直线方程，并求其在x轴、y轴上的截距。解法1：点斜式转化法求斜率：k=tan45°=1。写点斜式：y-3=1×(x+2)，化简为y=x+5（斜截式）。求截距：令x=0，y=5（y轴截距）；令y=0，x=-5（x轴截距）。解法2：斜截式直接法设斜截式：y=kx+b，k=1，故y=x+b。代入点P：3=-2+b，得b=5，方程为y=x+5。求截距：同解法1，x轴截距-5，y轴截距5。技巧解题：“直线方程选式技巧”技巧：已知一点和斜率/倾斜角，优先选点斜式；已知斜率和截距，优先选斜截式；已知两点，优先选两点式（注意斜率为0或不存在的情况）；已知截距，优先选截距式（注意不过原点）。最终结果建议化为一般式，符合高考规范。适用场景：所有直线方程求解问题，提升解题效率与准确性。例题3：线线垂直判定与方程求解（中档题·综合应用）题目：已知直线l过点(1,3)，且法向量为(-3,1)，求直线l的一般式方程；判断直线l与直线2x+6y+1=0是否垂直。解法1：法向量转化法由法向量v=(A,B)=(-3,1)，设直线方程为-3x+y+C=0。代入点(1,3)：-3×1+3+C=0，得C=0，方程为-3x+y=0，即3x-y=0。垂直判定：直线2x+6y+1=0的法向量为(2,6)，两法向量点积：-3×2+1×6=0，故两直线垂直。解法2：斜率转化法法向量为(-3,1)，则方向向量为(1,3)，斜率k=3/1=3。点斜式：y-3=3(x-1)，化简为3x-y=0（一般式）。垂直判定：直线2x+6y+1=0的斜率为-2/6=-1/3，两斜率乘积3×(-1/3)=-1，故垂直。例题4：距离计算（中档题·技巧应用）题目：求两条平行直线l₁:2x-3y+6=0与l₂:4x-6y-1=0之间的距离。解法：系数统一法统一x、y系数：将l₁方程化为4x-6y+12=0（两边同乘2）。代入平行直线距离公式：d=|C₁-C₂|/√(A²+B²)=|12-(-1)|/√(4²+(-6)²)=13/√52=13/(2√13)=√13/2。技巧解题：“平行直线距离速算技巧”技巧：若两条直线为Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0，可直接用公式；若系数不同，先通过恒等变形统一A、B（注意符号一致），再代入公式，避免系数不统一导致计算错误。（四）高考真题解析（30分钟）（2024·新课标Ⅰ卷，11题，5分）

已知直线l：kx-y+2k=0（k≠0），则直线l恒过定点______，若直线l与直线x+2y-4=0垂直，则k=______。解析：

①恒过定点：将方程整理为k(x+2)-y=0，令x+2=0，y=0，得定点(-2,0)。

②垂直判定：直线x+2y-4=0的斜率为-1/2，由k×(-1/2)=-1，得k=2。

答案：(-2,0)；2。（2023·新课标Ⅱ卷，13题，5分）

已知直线l过点(2,1)，且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为______。解析：（一题多解）

解法1：截距相等分类讨论。①截距均为0，设方程为y=kx，代入(2,1)得k=1/2，方程为x-2y=0；②截距不为0，设截距式x/a+y/a=1，代入(2,1)得a=3，方程为x+y-3=0。

解法2：点斜式设方程y-1=k(x-2)，求截距：x轴截距2-1/k，y轴截距1-2k，令相等得2-1/k=1-2k，解得k=-1或k=1/2，对应方程x+y-3=0或x-2y=0。

答案：x+y-3=0或x-2y=0。（2022·全国乙卷，18题节选，6分）

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=1，AA₁=1，E是DD₁的中点，求直线B₁C₁到平面EAC的距离。解析：

①建系：以D为原点，DA、DC、DD₁为x、y、z轴，得D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，E(0,0,0.5)，B₁(1,2,1)，C₁(0,2,1)。

②转化距离：B₁C₁∥AC，故B₁C₁∥平面EAC，距离转化为点B₁到平面EAC的距离。

③求法向量：平面EAC的向量EA=(1,0,-0.5)，EC=(0,2,-0.5)，设法向量n=(x,y,z)，则x-0.5z=0，2y-0.5z=0，取z=2，得n=(1,0.5,2)。

④计算距离：向量EB₁=(1,2,0.5)，d=|EB₁·n|/|n|=|1×1+2×0.5+0.5×2|/√(1+0.25+4)=|1+1+1|/√5.25=3/(√21/2)=2√21/7。（2021·新高考Ⅰ卷，19题节选，6分）

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，若l的斜率为1，求AB的长度。解析：

①求焦点：抛物线y²=4x的焦点F(1,0)。

②写直线方程：l的斜率为1，方程为y=x-1。

③联立方程：联立y=x-1与y²=4x，得(x-1)²=4x，即x²-6x+1=0。

④求长度：设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=6，抛物线准线x=-1，由定义|AB|=x₁+1+x₂+1=8。

技巧：圆锥曲线中与焦点相关的弦长，优先用定义转化，避免复杂计算。（2020·全国Ⅲ卷，17题，12分）

设O为坐标原点，动点P在椭圆C：x²/2+y²=1上，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足PQ=√2QM，求点M的轨迹方程，并求点M到直线x+y-4=0的距离的最小值。解析：

①求轨迹方程：设P(x₀,y₀)，M(x,y)，Q(x₀,0)，由PQ=(0,-y₀)，QM=(x-x₀,y)，得0=√2(x-x₀)，-y₀=√2y，故x₀=x，y₀=-√2y，代入椭圆得x²/2+2y²=1。

②求距离最小值：设M(x,y)在轨迹上，距离d=|x+y-4|/√2，用参数法或不等式求最值。设x=√2cosθ，y=(1/√2)sinθ，d=|√2cosθ+(1/√2)sinθ-4|/√2=|(5/√2)sin(θ+φ)-4|/√2，最小值为|-5/√2-4|/√2=(4√2-5)/2。（2024·浙江卷，16题，6分）

已知直线l：ax+y-2=0（a∈R），圆C：(x-1)²+(y-1)²=1，则直线l与圆C的位置关系是______；若直线l与圆C相交，弦长的最小值为______。解析：

①位置关系：直线l过定点(0,2)，计算定点到圆心(1,1)的距离为√[(1-0)²+(1-2)²]=√2>1（半径），故直线l与圆C可能相交、相切、相离。

②弦长最小值：弦长=2√(r²-d²)，d为圆心到直线的距离，当d最大时弦长最小，d最大值为√2，故最小弦长=2√(1-2)（修正：d最大为√2，此时直线与定点和圆心连线垂直，d≤√2，当d=√2时直线与圆相切，相交时d最大接近√2，最小弦长为2√(1-((|a+1-2|)/√(a²+1))²)，化简得2√((2a)/(a²+1))≤√2，当a=1时取等号，最小值为√2。

答案：相交、相切或相离；√2。四、高考命题规律总结（10分钟）考查题型：

基础题（3-5分）：斜率与倾斜角计算、直线方程求解、定点问题、简单线线位置关系判定（选择/填空）。中档题（5-8分）：距离计算、直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的简单交汇（填空/解答题第一问）。高档题（8-12分）：直线方程与圆锥曲线、函数、不等式融合，含参数问题的分类讨论，最值、存在性、定点定值问题（解答题核心模块）。命题趋势：

核心不变：直线方程的工具性地位突出，始终围绕斜率、方程形式、位置关系、距离四大核心考查。综合性增强：与圆锥曲线、函数、向量的融合成为主流，强调数形结合与转化思想。注重基础：基础题侧重公式应用与易错点辨析（如斜率不存在、截距为0），中档题侧重方法选择，高档题侧重逻辑推理。设问灵活：存在性、最值、定点定值问题交替出现，部分题目结合实际场景（如路径规划、距离优化）。解题技巧总览：

分类讨论技巧：遇到斜率、截距、参数问题，优先考虑特殊情况（斜率不存在、截距为0、参数取临界值），避免遗漏。转化技巧：线线平行/垂直转化为斜率或向量关系，距离问题转化为点到直线距离，圆锥曲线弦长转化为定义或韦达定理应用。公式应用技巧：牢记核心公式，熟练掌握直线方程各形式的互化，平行直线距离先统一系数，点到直线距离注意一般式。五、课堂练习（高考真题，20分钟）（2024·新课标Ⅱ卷，9题，5分）已知直线l₁：2x+y-1=0与直线l₂：mx-2y+3=0平行，则m=（）

A．-4B．-1C．1D．4

答案：A解析：平行则2×(-2)-1×m=0，得m=-4。（2023·天津卷，14题，5分）已知点A(2,3)，B(4,-1)，则线段AB的垂直平分线方程为______。

答案：x-2y+1=0解析：中点(3,1)，AB斜率为(-4)/2=-2，垂直平分线斜率为1/2，方程为y-1=(1/2)(x-3)，化简得x-2y+1=0。（2022·全国甲卷，18题节选，6分）在△ABC中，A(0,0)，B(4,0)，C(2,2√3)，求直线AC的方程及点B到直线AC的距离。

答案：直线AC方程为y=√3x；距离为2√3解析：AC斜率为(2√3)/2=√3，方程y=√3x；距离d=|4√3-0|/√(3+1)=4√3/2=2√3。（2021·山东卷，15题，5分）已知直线l：kx-y+1=0与线段PQ相交，其中P(2,3)，Q(4,1)，则k的取值范围是______。

答案：[0,1]解析：直线过定点(0,1)，代入P、Q得(2k-2)(4k)≤0，解得0≤k≤1。（2020·浙江卷，17题节选，6分）已知椭圆C：x²/8+y²/4=1，过点P(2,√2)作直线l交椭圆于另一点Q，若直线l的斜率为1，求PQ的长度。

答案：8√2/3解析：直线l方程y-√2=x-2，联立椭圆得3x²-8x=0，解得x=0或x=8/3，对应Q(0,-√2)，长度√[(2-0)²+(√2+√2)²]=√(4+8)=√12=2√3（修正：联立得3x²-8x=0，x₁=2，x₂=0，距离√[(2-0)²+(√2+√2)²]=√(4+8)=√12=2√3，或用弦长公式√(1+k²)|x₁-x₂|=√2×2=2√3）。六、课堂小结（5分钟）核心知识：直线的倾斜角、斜率、方向向量、法向量的概念及关系；五种直线方程形式的适用条件与互化；线线位置关系判定；距离公式及应用。解题方法：分类讨论法（斜率、截距问题）、一题多解法（直线方程选式）、转化法（位置关系、距离问题）、数形结合法（综合题）。高考策略：基础题保分（熟练公式、规避易错点），中档题稳分（规范步骤、选择最优方法），高档题突破（融合知识点、灵活转化）。七、课后作业（分层设计）基础层：完成教材习题2.2中斜率与倾斜角、直线方程、线线位置关系题目；重做课堂练习及例题，整理公式与易错点。提高层：完成2020-2024年高考直线及其方程相关真题汇编（侧重综合题）；针对含参数直线、距离最值问题进行专项练习，整理错题本。拓展层：设计一道含参数的直线与圆的综合题（包含位置关系判定、弦长计算、最值求解），并提供至少两种解法；探究直线方程在实际生活中的应用（如灯光照射范围、最短路径规划）。八、教学反思学生对斜率不存在的情况容易忽视，导致解题遗漏，需通过更多易错例题强化分类讨论意识，在课堂练习中重点标注此类问题。直线方程形式的选择能力不足，部分学生无论已知条件如何，均选用点斜式，增加运算量，需通过对比不同例题的解法，引导学生根据条件选最优形式。距离公式应用中，平行直线系数不统一、点到直线距离未化为一般式是常见错误，需要求学生规范步骤，养成验算习惯。学生对直线方程与圆锥曲线的融合问题掌握不够熟练，缺乏数形结合思想，需增加此类综合题的讲解，引导学生将复杂问题分解为基础模块。课堂可增加小组讨论环节，让学生自主辨析易错点、探究一题多解，提升参与度；课后可布置实践类作业，深化知识应用能力，培养数学建模素养。综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y-4=0 D.x-2y+6=0解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.答案B2.已知直线l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.π3,π2 B.0,πC.π3,π2 D.π解析设直线l2的斜率为k.因为直线l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-3当cosα=0,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为π2当k1≠0时,由l1⊥l2,可知k=-1k此时倾斜角的取值范围为π3,π综上可得,l2倾斜角的取值范围为π3,π故选C.答案C3.已知圆A:x2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=r2(r>0),圆A与圆B的公切线的条数的可能取值共有()A.2种 B.3种 C.4种 D.5种解析两圆的圆心和半径分别为A(0,0),半径R=1,B(2,0),半径为r,|AB|=2,半径之和为1+r,半径之差为r-1.若两圆相外切,则1+r=2,即r=1,此时两圆公切线有3条,若两圆外离,则1+r<2,即0<r<1,此时两圆公切线有4条,若两圆相交,则r-1<2<1+r,即1<r<3,此时两圆公切线有2条,若两圆内切,则r-1=2,即r=3,此时两圆公切线有1条,若两圆内含,则r-1>2,即r>3,此时两圆公切线为0条.即圆A与圆B的公切线的条数的可能取值有5种.故选D.答案D4.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线方程为()A.y=3x-3 B.y=-3x+3 C.y=-3x-3 D.y=3x+3解析如图所示,点M关于x轴的对称点M'(2,-3).则反射光线所在的直线方程为y-0=-3-0即y=-3x+3.故选B.答案B5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕点C顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最短距离为()A.82-8 B.82+8 C.82 D.122解析机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示,∵A(-10,0)与B(0,10),∴直线AB的方程为x-10+y10=1,即为则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最短距离为82答案A6.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2bA.4 B.6 C.8 D.10解析由题意圆心坐标为(-2,-1),半径为1,所以圆心到直线的距离为d=|-2所以弦长2=21-(|-2a-b+2|所以1a+2b=1a+2b×12(2a+b)=122+2+ba+4ab≥124+2ba·4ab=答案A7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为()A.2+1 B.2+2 C.22+1 D.22+2解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,联立2x+y-2=0,x-因为OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.故选A.答案A8.在平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析以AB为直径的圆的方程为(x-0.02)2+(y-1.56)2=8,因为单位圆与以AB为直径的圆的圆心距d=0.022+1.562,22-1<d<22+1,所以两圆相交,设交点为C,D,所以当点M运动到C,D时,显然能使△MAB为直角三角形,此时M为直角顶点;又过点B且与直线AB垂直的直线显然与单位圆相离,而过点A且与直线AB垂直的直线l的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,圆心(0,0)到直线x+y+0.42=0的距离d=0.422<1,直线l答案D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列说法错误的是()A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程x-x0=m(y-y0)表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa+yD.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示解析当直线的斜率不存在时,经过定点P(x0,y0)的直线方程为x=x0,不能写成y-y0=k(x-x0)的形式,故A错误.当直线的斜率等于零时,经过定点P(x0,y0)的直线方程为y=y0,不能写成x-x0=m(y-y0)的形式,故B错误.不经过原点的直线,当斜率不存在时,方程为x=a(a≠0)的形式,故C错误.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,当斜率等于零时,y1=y2,x1≠x2,方程为y=y1,能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;当直线的斜率不存在时,y1≠y2,x1=x2,方程为x=x1,能用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示,故D正确.故选ABC.答案ABC10.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=a D.y1+y2=2b解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2,得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减,得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.故选ABC.答案ABC11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4 B.6 C.32+1 D.8解析圆心C坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),设点P到直线y=kx-1的距离为d.当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离有最大值,即d=(-3)2+当直线与圆有交点时d最小为0.所以点P到直线y=kx-1距离的取值范围为[0,6],故选ABC.答案ABC12.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2解析设P(x,y),则kPA+kPB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),当x=0时,式子不成立,所以x≠0,所以进一步整理得y=x-4x(x函数y=x-4x是奇函数,所以曲线C不是轴对称图形,故C正确,A错误,x2+y2=x2+x-4x2=2x2+16x2-8≥82-8所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故B正确;当x=1,y=-3时,满足x2-xy=4,故D错误.故选BC.答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.

解析根据题意,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l的方程为4x-y=0;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.综上可得,直线的方程为4x-y=0或x-y+3=0.答案4x-y=0或x-y+3=014.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是.

解析如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),kAC=-52,kBC=43,故-52<-a<43,即-答案-43,15.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|·|CD|的最小值为.

解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).∵C,D分别为OA,AB的中点,∴|CD|=12|OB|=2.当OP⊥AB时,|AB|最小此时|AB|=2(22)2∴|AB|·|CD|=2|AB|≥2·26=43.答案4316.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是(结果用m表示).

解析根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在的直线上.又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,则有ba-1=1,a反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0),线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,则有b0a0-m=1,m+a02+b则|M1M2|=(4+答案x-2y+2=02四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求满足下列条件的直线的方程.(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;(2)直线过点(0,1),且与直线3x+y+1=0垂直.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,∵点(-1,2)在直线上,∴-1+2+m=0,∴m=-1,故所求直线的方程为x+y-1=0.(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.∵点(0,1)在直线x-3y+m=0上,∴0-3+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x-3y+3=0.18.(12分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.(1)求直线l的方程;(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-1直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点P.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-联立方程x-2所以点P的坐标为103,-103.19.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.解(1)∵直线l:y-1=a(x-3),∴直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知AB⊥PC,∵kPC=1-∴kAB=-2,∴直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=(3∵PA⊥AC,PB⊥BC,∴四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,∴四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.20.(12分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0(m<9).(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),且与圆C2的相交弦长为23,求直线l的方程.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则C2(3,0),半径r2=9-∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r