系统的状态变量分析

系统的状态变量分析一、系统的状态变量分析法简介1、系统的状态空间描述：用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、输出之间的关系。状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组成的方程组。输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/方程。对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组成的方程组。第8-2页■第8章系统的状态变量分析第8章系统的状态变量分析2、系统状态方程的解连续系统状态方程、输出方程的解：（1）时域解（2）s

域解离散系统状态方程、输出方程的解：（1）时域解（2）z

域解二、状态空间分析法的应用及优点：1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析，也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分析设计问题。第8-3页■引言8.1

系统的状态空间描述第8-4页■一、连续系统的状态变量、状态方程、输出方程：1、状态变量：（1）初始状态：设初始时刻为t0t0时刻的状态通常指电容元件上电压uc(t0)和电感元件上电流iL(t0)。n阶系统有n个初始状态。初始状态的一般定义：系统在t0时刻的状态是最少数目的一组数。知道了这组数和区间[t0，t]上的输入，就可以完全确定系统在t时刻的输出。表示：n阶系统的初始状态表示为：x1

(t0

),

x2

(t0

)......,

xn

(t0

).8.1

系统的状态空间描述说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。例：设二阶系统的初始状态为x1

(t0

),x2

(t0

)并且第8-5页■

g1(t0

)

a1

x1

(t0

)

a2

x2

(t0

)1

1

0

2

2

0

g

(t

)

b

x

(t

)

b

x

(t

)

2

08.1

系统的状态空间描述则g1

(t0

),g2

(t0

)也可作为系统在t0时刻的状态。（2）状态变量：表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。设t0时刻的初始状态为：x1

(t0

),x2

(t0

)......,xn

(t0

).则系统的状态变量——任一时刻t的状态为：x1

(t),

x2

(t)......,

xn

(t)第8-6页■8.1

系统的状态空间描述8.1

系统的状态空间描述第8-7页■（3）状态矢量、状态空间：状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(t)称状态矢量。

x1

(t)

2

x

(t)

x

(t)

n

⁝

X

(t)

状态空间：状态矢量X(t)所在的空间称状态空间。8.1

系统的状态空间描述

y1

(t)

iC

(t)系统的输入：f1(t),f2

(t)系统的状态：uC

(t),iL

(t)L

2系统输出：

y

(t

)

u

(t

)例：2、状态方程和输出方程：（1）状态方程：C

f1

(t)

CiiLf2

(t)

R第8-8页■

uC

uL

L8.1

系统的状态空间描述令

uC

x1,

iL

x2duc

diLdt

x1

,

dt

x2由KCL和KVL得：1第8-9页■2

uC

)

iL

C

duCCdt

R

1

(

fdi

Ldt

u

f⎪

L

第8-10页■⎪

2121211

x

x

11

x

11fL

LfRCCx

1

x

RC上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：

0

1

1

f

f1

2

L

RC0

2

1

2

10

1

1

x

RC1LxCx

x

8.1

系统的状态空间描述8.1

系统的状态空间描述第8-11页■状态方程：描述系统状态与输入之间的关系的一阶微分方程组。状态方程的一般形式：设n阶系统的状态变量为：x1

,x2

,xn

.系统有p个输入：f1

,f2

,f

p

.则状态方程为：

x

1

a11x1

a12

x2

a1n

xn

b11

f1

b12

f2

b1p

f

p2n1

1n

2

2

a

x

a

x

ann

xn

bn1

f1

bn

2

f2

bnpf

pnx

x

a

x

a

x

a

x

b

f

b

f

b

f21

1

22

2 2

n

n

21

1

22

2 2

p

p

8.1

系统的状态空间描述第8-12页■矩阵形式：

1

21

21

2A

a

ij

n

n

,

B

bij

n

p则

X

AX

BfTTnn,

X

x

x

xf

Tp

x

令

X

x

x

f

f

f

f1

a1n

b2

p

f2

x

n

n1

n

2nn

n

b1

p

x

1

a2

n

x2

b21

f

p

⁝

bnp

⁝

a11

a12

x

2

a21

a22

⁝

x1

b11

b12b22

bn1

bn

2

x

aa

a8.1

系统的状态空间描述

y1(t)

iC

(t)系统的输入：f1(t),f2

(t)系统的状态：uC

(t),iL

(t)L

2系统输出：

y

(t)

u

(t)例：（2）输出方程：C

f1

(t)

iCiLf2

(t)

R第8-13页■

uC

uL

L8.1

系统的状态空间描述由KCL和KVL得：1

C

L

C

duCdt

R

i

1

(

f

u

)

i

C

uL

uC

f21

12

1R

R

y

1

x

x

1

f

y2

x1

f2上式称图示RLC系统的输出方程，其矩阵形式为：0第8-14页■Rxf

1

1

y

0

f

1

1

x

1

R

1

1

0

y2

2

2

1

8.1

系统的状态空间描述第8-15页■输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。输出方程一般形式：设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：

y1

c11

x1

c12

x2

c1n

xn

d11

f1

d12

f2

d1

p

fp

y

c

x

c

x

c

x

d21

f1

d22

f2

d2

p

fp21

1

22

2

2n

n

qp

p

y

c

x

cf

d

f

d

fq

2

2q1

1q2

x2

cqn

xn

dq

q1

128.1

系统的状态空间描述第8-16页■矩阵形式：

q

f

d

x

y

y

c

⁝

d

d

cqn

xn

⁝c

c

⁝

dq1

dq

2

dqp

f

p

2

p

2

2221

d1

p

f1

d11

d122

cq1

cq

22

n

21

22

c1n

x1

c11

c12

2

y1

令Y

y1Ty2

yq

,

C

cij

q

n

,

D

dij

q

p则Y

CX

Df二、离散系统状态变量、状态方程、输出方程：1、状态变量：（1）初始状态：设初始时刻K0

0

，对n阶系统，第8-17页■8.1

系统的状态空间描述初始状态通常指：y(

1)K

0

时刻状态的一般定义：,

y(

2)

,

,

y(

n)

.K

0时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数和区间上的输入，就可完全确定系统在K时刻的输出。

K0

,

K

8.1

系统的状态空间描述第8-18页■（2）状态变量、状态矢量：状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。表示：对n阶系统，状态变量表示为：x1

(k) , x2

(k) ,

, xn

(k) 。状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(k)称状态矢量。

x1

(k)

2

x

(k)

x

(k

)

n

⁝

X

(k

)

8.1

系统的状态空间描述第8-19页■2、状态方程和输出方程：例1.设系统的方程为y(k)

a1

y(k

1)

a0

y(k

2)

b0

f

(k)则有设x1

(k)

y(k

2)

,

x2

(k)

y(k

1)y(k)

a1

x2

(k)

a0

x1

(k)

b0

f

(k)—

—

②

x1

(k

1)

x2

(k

)0

1

1

2

0

x

(k

1)

a

x

(k

)

a

x

(k

)

b f

(k

)

2—

—

①8.1

系统的状态空间描述第8-20页■①式称系统的状态方程；②式称系统的输出方程。矩阵形式：

x1

(k

1)

01

x1

(k

)

0

f

(k)

x

(k

1)

2

a

b

0

a1

x

(k

)

2

0

101y(k)

a

a0

x

(k)

2

x

(k

)

b f

(k)

8.1

系统的状态空间描述第8-21页■X

(k

)X

(k

1)21

2222212

Anpn2n1

f

(k

)n1

n

2

Bn

n

p

f

2

p

2

f

f1

b

x

(k

)

2n

2nn

a

a11

a12

x

(k

1)

x

(k

1)

b

b

b

⁝

b12b

b

b1pa

a

⁝

aa

a

x

(k

)

x1(k

1)

a1n

x1(k

)

b11

⁝X

(k

1)

AX

(k)

Bf

(k)离散系统状态方程、输出方程的一般形式：状态方程：描述系统状态与输入关系的一阶前向差分方程组。一般形式：n阶系统，p个输入。8.1

系统的状态空间描述第8-22页■输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。一般形式：n阶系统，p个输入，q个输出。Y

(k

)

y1(k

)

21

22

d1

p221

22

c1n2X

(k

)q2q1

Cnq2q1n

p

f

(k

)

f

2

p

2

f

qp

f1

d

x

(k

)

2n

x

(k

)

qn

x1

(k

)

d11

d12

c

c

c11

c12

y

(k

)

y

(k

)

d

d

d

D

⁝

d

dc

c

⁝

c

c

⁝

Y

(k)

CX

(k)

Df

(k)8.2

状态方程的建立uC1、uC

2、iLC1

L（1）u

、i（2）uC

2、iL8.2

状态方程的建立一、连续系统状态方程的建立：1、RLC系统状态方程的建立——直观编写法：（1）状态变量的选择:C1

US

iLR1C1

u

L2C

uC

2

R2C1

US

LiR1

uC1LC2

uC

2R2第8-23页■例：8.2

状态方程的建立

uC

21C

uC1

3C

C3u

2CuC

1、uC

2uC1、uC3（3）uC

2、uC

31L

US

SiRL2C

CuiL

2L1iR11LiL

3L2iL

2iL13L（1）iL1、uC（2）iL

2、uCiL1、iL

2iL1、iL3iL2、iL3第8-24页■8.2

状态方程的建立（2）直观编写法步骤:

f1

RL2C

f

2

iL2L1第8-25页■ibauL2C

uL1L1

uC

i例：选状态变量:x1

iL1

,x2

iL2

,x3

iC。设输出为:aby1

uL

2

,

y2

u列状态方程:第一步:

关于L1x

1,

L2

x

（2

电感电压）列KVL方程L1

x

1

uL1

f1

x3

R(

x1

x2

)

f2

Rx1

Rx2

x3

f1

f2L2

x

2

uL

2

x3

R(

x1

x2

)

f2

Rx1

Rx2

x3

f28.2

状态方程的建立第二步:关于Cx

（3

电容电流）列KCL方程Cx

3

iC

x1

x2第三步:消去除了状态变量和输入以外的其它变量，把状态方程整理成标准形式：1

1第8-26页■23

121

1

1

112

12322

2223

12L

LL

LLLLLLC

C

x

R

x

R

x

1

x

1

f

1

f

x

R

x

R

x

1

x

1

f

1

1x

x

x1第8-27页■1122R

R

LLL

LL1

1 1

L

L

L矩阵形式：

1

x1

1

1

f1

L

f

2

2

2

2

x

3

3

1

C0

0 0

x

1

x

R

R

1

x

021C

x

2

Rx1

Rx2

x3

f2

ab

c

232

Rx1

Rx2

f2

y

u

i

R

f

Cx

R

f

列输出方程：

y1

uL2

L2

x

2

8.2

状态方程的建立1第8-28页■11

x1

01

f

y

R

R

R

x

0

1

f

0

2

2

x

3

y

R

2

2、由系统微分方程编写状态方程：例1：已知系统方程为y

'

'

(t)

a

y''

(t)

a

y'

(t)

a

y(t)

b f

(t)2

1

0

0列出系统的状态方程和输出方程。解：（1）选择状态变量：令x1

y

,

x2

y

'

,

x3

y'

'8.2

状态方程的建立（2）状态方程：

x

1

x2第8-29页■

3

0

1

1

2

x

a

x

a

x

a

x

b

f2

3

02

3

x

x（3）输出方程：y

x1

b0

2

2

1

x

0

f0

x1

0

0

10

x

3

a0

a1

a2

x3

x

0矩阵形式：

x

1

2

x3

x1

y

1

0

0

x

8.2

状态方程的建立例2.已知系统方程为y'''

(t)

a

y''

(t)

a

y'

(t)

a

y(t)

b

f

'

(t)

b f

(t)2

1

0

1

0列出系统状态方程和输出方程。（1）选择状态变量：令x1

q,

x2

q

,

x3

q

′引入

q(t)：

q'

''

(t

)

a2

q''

(t

)

a1q'

(t)

a0

q(t

)

f(t)18.2

状态方程的建立y(t)

b1q'(t)

b0

q(t)21

式代入原方程得：第8-30页■（2）列状态方程：

x

1

x2第8-31页■

a2

x3

f2

3

x

x

x

3

a0

x1

a1x2（3）列输出方程：y

b1

x2

b0

x1矩阵形式：

x

1

1

0

10 1

x

0

f2

0

x1

0

a0

a1

a2

x3

2

x

3

x

0

x3

2

0

1

x1

b

0

x

y

b8.2

状态方程的建立8.2

状态方程的建立F

(s)Y

(s)

a10

ab1b02bx2x1x

2x

13、由系统框图、流图编写状态方程：例：某LTI二阶系统框图和流图如图所示，列写状态方程和输出方程。Y

(s)0bb2b1F

(s)

111第8-32页■

ax2x1x

2

s

1

x

1

s

1

a0(1)选状态变量：选积分器输出为状态变量，如图所示；

第8-33页■

a0

x1

a1x2

f2

x

(2)状态方程：

x

1

x2(3)

输出方程：

y

b

x

b

x0

1

1

2

b2

(

a0

x1

a1

x2

f

)

(b0

a0b2

)

x1

(b1

a1b2

)

x2

f8.2

状态方程的建立

01

a0矩阵形式：

x

x

2

1

x

0

1

f

1

a1

x2

y

b0

a0b2

1x

f

b1

a1b2

x

2

(2)状态方程：

x1

(k

1)

x2

(k)第8-34页■

2

0

1

1

2

x

(k

1)

a

x

(k

)

a

x

(k

)

bf

(k

)8.2

状态方程的建立二、离散系统状态方程、输出方程的编写：1、由差分方程编写：例1：已知系统方程为y(k)

a1

y(k

1)

a0

y(k

2)

bf

(k

)列状态方程和输出方程。解：(1)状态变量选择：x1

(k)

y(k

2)

,

x2

(k

)

y(k

1)令2第8-35页■1

a

x

(k)

2

0

b

(3)输出方程：y(k

)

a0

x1

(k

)

a1

x2

(k)

bf

(k

)矩阵形式：

x1

(k

1)

0 1

x1

(k

)

0

f

(k)

x

(k

1)

a

b

f

(k)21x

(k

)10

x

(k)

y(k)

a

a

8.2

状态方程的建立例2：已知系统方程为y(k

2)

a1

y(k

1)

a0

y(k

)

bf

(k

)列写系统状态方程和输出方程。解：(1)状态变量选择：第8-36页■(2)状态方程：

x1

(k

1)

x2

(k)

2

0

1

1

2

x

(k

1)

a

x

(k

)

a

x

(k

)

bf

(k

)(3)输出方程：y(k)

x1

(k)8.2

状态方程的建立x1

(k

)

y(k)

,

x2

(k

)

y(k

1)令1解：（1）状态变量的选择：引入q(k

)

q(k

2)

a1q(k

1)

a0q(k

)

f

(k

)22

式代入

1

式得：y(k

)

b2

q(k

2)

b1q(k

1)

b0

q(k)第8-37页■令x1

(k)

q(k)

,

x2

(k

)

q(k

1)8.2

状态方程的建立例3：已知系统方程为y(k

2)

a1

y(k

1)

a0

y(k)

b2

f

(k

2)

b1

f

(k

1)

b0

f

(k)列状态方程、输出方程。(2)状态方程：

x1

(k

1)

x2

(k

)第8-38页■

2

0

1

1

2

x

(k

1)

a x

(k

)

a

x

(k)

f

(k

)(3)输出方程：y(k

)

b2q(k

2)

b1q(k

1)

b0q(k

)

b2

[

a0

x1

(k

)

a1x2

(k

)

f

(k

)]

b1x2

(k

)

b0

x1

(k

)

(b0

a0b2

)x1

(k

)

(b1

a1b2)x2

(k

)

b2

f

(k

)8.2

状态方程的建立8.2

状态方程的建立2、由系统框图、信号流图编写状态方程例：已知系统框图、流图如图所示，列写状态方程和输出方程。F

(z)Y

(z)

a10

ab1b2x2

(k

)x1(k

)b0Y

(z)0bb2b1F

(z)

11z

1z

11第8-39页■

ax2

(k

)

a0x1

(k

)(1)选状态变量：选迟延单元输出为状态变量，如图所示；8.2

状态方程的建立第8-40页■(2)状态方程：

x1

(k

1)

x2

(k

)0

1

1

2

x

(k

1)

a x

(k

)

a

x

(k

)

f

(k

)

2(3)输出方程：y(k)

b0

x1

(k

)

b1x2

(k

)

b2[

a0

x1

(k

)

a1x2

(k

)

f

(k)]

(b0

a0b2

)x1

(k)

(b1

a1b2

)x2

(k)

f

(k)矩阵形式：

x1

(k

1)

0

1

x1

(k

)

0

f

(k

)0

x

(k

1)

a

a

x

(k

)

2

1

2

1

y(k

)

b0

a0b2

1b1

a1b2

x

(k

)

2

x

(k

)

f

(k

)

8.3

连续系统状态方程的解一、矩阵函数:1.矩阵函数的定义:8.3

连续系统状态方程的解f

(

x)

iiα

x

i

0定义矩阵函数f

(A)，

i

0f

(A)

iiα

A设A为n阶方阵，对于收敛的幂级数A类比x第8-41页■8.3

连续系统状态方程的解2.矩阵指数函数的定义:设A为n阶矩阵，对于指数函数f

(x)

ex2!1

xii

0

i!

ex

1

x

1

x2

定义矩阵指数函数eA和eAt

分别为:211Ae

I

A

A2!i

i

0

i!

AAt

2第8-42页■t

2e

I

At

A

2!iAtii!

i

03.矩阵的导数、积分和卷积:设矩阵A(t

)

[aij

(t

)]n

m(2)

卷积:

设A(t)

[aij

(t)]m

n

,

B(t)

[bij

(t)]n

mA(t)

B(t)等于A(t)

B(t)运算中元素的相乘变成卷积运算。8.3

连续系统状态方程的解(1)导数、积分:t第8-43页■tija

(t)dt]n

mdt

dtij

n

md

A(t

)

[

d

a

(t

)]

A(t)dt

[

1112ab11

12

11

11 12

b21

a11

b12

a12

b22例：

a

ba

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

21 22

2122

2111

22

21

21

12

22 22

4.矩阵运算的几个定理：设A、B为n阶方阵。（1）

d

(eAt

)

AeAt

eAt

Adt（2）

e

At1

e

At2

e

A(t1

t2

)

e(

A

B

)t（3）设AB

BA，则eAt

eBt（4）设X为n维列向量，A为n阶方阵，则dt第8-44页■d

(e

At

X

)

e

At

X

Ae

At

X8.3

连续系统状态方程的解设A为方阵，则e

At

恒有逆，且(e

At

)

1

e

A。t设A、P为n阶方阵，P为非奇异阵（det（P）≠0），则

1ePAP

t

Pe

At

P

1二、状态方程的时域解：1e

At

X

(t)

e

At

AX

(t)

e

At

Bf

(t)根据矩阵函数运算的定理（4），上式可写成：8.3

连续系统状态方程的解1、状态方程的时域解：对n阶系统。状态方程：X

(t)

AX

(t)

BfX

(t)

AX

(t)

Bf1

式两边乘以e

At，得dtd

[e

At

X

(t)]

e

At

Bf

(t)2第8-45页■对2

式两边积分，得：0第8-46页■000te

At

X

(t)

e

At0

X

(t

)

e

Aτ

Bf

(τ

)dτBf

(τ

)dτtt

AτX

(τ

)]dτ

t

et

td[

(edt

Aτ

8.3

连续系统状态方程的解00tt

X

(t)

eA(t

t0

)

X

(t

)

eA(t

τ

)

Bf

(τ

)dτ

设

t0

0

，得：eA(t

τ

)

Bf

(τ

)dτ0t

X

(t)

eAt

X

(0 )

设

(t)

e

At——称状态转移矩阵。则––X

f

(t

)––Xx

(t

)0

(t

)

X

(0

)

(t)B

f

(t)

(t

τ

)Bf

(τ

)dτX

(t

)

(t)

X

(0

)

t

零输入分量第8-47页■零状态分量8.3

连续系统状态方程的解2.输出方程的解：输出方程为：Y

(t)

CX

(t)

Df

(t)把状态方程的解代入输出方程，得：Y

(t)

C[

(t)

X

(0

)

(t)B

f(t)]

Df

(t)

C

(t)

X

(0

)

C

(t)B

f(t)

Df

(t)引入p阶对角阵

δ

(t)

：第8-48页■

δ

(t)

0

δ

(t)δ

(t)

δ

(t)

0

δ

(t)

f

(t)

f

(t)

⋱8.3

连续系统状态方程的解则Y

(t)

C

(t)

X

(0

)

C

(T

)B

f

(t

)

Dδ

(t)

f

(t

)

C

–(t

)

X–(–0

)

[

C

–(–t)B––

Dδ–(t–)]

–f–(t)Yf

(t

)Yx

(t

)Yx

(t)

C

(t

)

X

(0

)Yf

(t)

h(t)

f

(t)h(t

)

C

(t

)B

Dδ

(t)零输入响应零状态响应冲激响应，(q

p)

h11

h2122h1

p

2

p

h(t

)

hqp

h12

h

h

hq1

hq

2

hij

(t)f

j

(t

)

0

,其余输入为零时，第8-49页■y

(t)对应的冲激响应。fi8.3

连续系统状态方程的解3.

(t)

e

At

的计算：(1)

n阶方阵A的特征方程、特征根：特征多项式：det(

A

λI

)

|

A

λI

|第8-50页■|

A

λI

|

0特征根：特征方程的根λi(2)

凯莱——哈密顿定理：8.3

连续系统状态方程的解特征方程：任何方阵A，恒满足它的特征方程。设q(λ)

|

A

λI

|

0q(

A)

0则,

i

1 , 2 ,

,

n.(3)

(t)

e

At的计算：22!jjt

2λ

te

1

tλ

λjii

jβ

λ

i

0

2第8-51页■2!Att

2iie

I

tA

A

β

A

i

0

8.3

连续系统状态方程的解,

i

1 , 2 ,

,

n.设n阶方阵A的特征根为λi根据A的特征方程和凯莱——哈密顿定理可以证明：第8-52页■2n

10jii

jλ

tn

1i

0e

α

λ

αλn

1

j

α1λj

α2λj

α2012Atin

1An

1n

1e

α

A

αI

α

A

α

ii

0由A的n个特征根和

eλ

jt

的展开式确定系数

α

，代入

eAti的展开式，就可求得e

At。A

α8.3

连续系统状态方程的解eAt

的计算步骤：（1）

A的特征根为单根：第一步：求n阶方阵A的特征根λi

，i=1

,2

,

… ,n

.第二步：由n个特征根建立以下n个方程：第8-53页■

αn

12

20

1

20

1

1

2

1n

1

nn

1

2n

1

1nλ

n

1

α

λ

α

λ

2λ

n

1

λ

t

eλ2t

αe

α

α

λ

α

λ

2

α

λ0

1

n

2

n

eλ1t

α

α

λ

α

λ

2

α第三步：解上面方程组，求αi,

i

0,1,

2,

,

n

18.3

连续系统状态方程的解i第四步：把α

代入下式，求eAt0

1

2An

1n

1eAt

α

I

α

A

α

A2

α8.3

连续系统状态方程的解1第8-54页■1101

12

1

n

1

1

eλ1t

λ

n

1

α

α

λ

α

λ

2

α（2）

A的特征根有重根：设λ1为m重根，另有n-m个单根。第一步：求n阶方阵A的特征根

λ1,λ2

,

,λq

.q

n

m

1第二步：由特征根λi建立以下n个方程：20

1

1

2

11111dλ

2(α

α

λ

α

λ

2

α

λ

n

1

)0

1

1

2

1

n

1

1dm

101λ

n

1

)n

1

1dλ

m

1(α

α

λ

α

λ

2

α1

1

2

1λ

t(e

)

λ

t(e

)

d

dd

2λ

tλ

)dλdλ

2n

1n

1

1dλm

1

(e

dλ

d

2

dm

1)

(α

α

λ

α

λ

α

1⁝8.3

连续系统状态方程的解第8-55页■λ

n

10n

1

2λ

n

10

eλ2

t

α

eλ3t

αn

1

3

α

λ

α

λ

2

α1

2

2

2

α

λ

α

λ

2

α1

3

2

3λ

n

10

1

q

2

q

n

1

q

eλqt

α

α

λ

α

λ

2

α⁝,

i

0,1,

2,

,

n

1第三步：解上面方程组，求αi第四步：把αi代入下式，求eAteAt

α

I

α

A

α

A2

α

An

10

1

2

n

1例1:

A

10

,

1

2

求e

At。

0

λ0

1

λ

0A

λ

I

11

2

λ

λ

2

0

求A的特征根|

A

λI

|

(λ

1)(λ

2)

0

建立求αi的方程，求αi解:（1）求A

λ

I

1

8.3

连续系统状态方程的解λ1

1,

λ2

2.0

1

10

1

2

eλ1t

α

α

λ

eλ2t

α

α

λ

e

t10

α

2α10

α

αe

2t

e

2t。0解方程组,得:

α

2e

t1

e

2t

,

α

e

t第8-56页■（4）求eAteAt

α

I

α

A0

1第8-57页■

e

2t)

1

e

2t

)

10

(e

t0

(2e

t

0

1

1

2

0

(ee

2t

e

t

t

e

2t

)

8.3

连续系统状态方程的解8.3

连续系统状态方程的解例2:A

-1

0

,

2

-1

求eAt。解:（1）求A

λIA

λ

I

10

λ0

1

λ

0

0

λ

2

1

2

1

λ

求A的特征根|

A

λ

I

|

(λ

1)2

0

λ

λ

1.1

2建立求α

i的方程，求α

i

eλ1t10

1

1

d

d

λ1λ

t(e

)

α

α

λ(α

0

α1λ1

)

d

d

λ1

α

0

α11

t

t

e

te

α

解方程组,得:第8-58页■α0

e

te

,

α

te

。

t

t

t18.3

连续系统状态方程的解第8-59页■（4）求eAteAt

α

I

α

A0

1

(e

t

te

t

)

10

te

t

1 0

01

2

1

0

e

t

t

t

2te

e

t

0第8-60页■t

0dte0

e

At

|

IA

d

(e

At

)

|状态方程求解:Step1:

求

(t)

e

At

;Step2:

求X

x

(t)

(t)X

(0

);Step3:

求X

f

(t

)

(t

)B

f

(t);Step4:

求X

(t)

X

x

(t)

X

f

(t);8.3

连续系统状态方程的解4.

由eAt

求A

:输出方程求解:第8-61页■Step1:求

(t)

e

At

;Step2:求Yx

(t

)

C

(t

)X

(0

);Step3:求h(t

)

C

(t)B

Dδ

(t

);Step4:求Yf

(t)

h(t

)

f

(t

);Step5:求Y

(t

)

Yx

(t

)

Yf

(t);三、状态方程、输出方程的s域解:1、状态方程的S域解:状态方程:

X

(t)

AX

(t)

Bf

(t

)8.3

连续系统状态方程的解s域解:根据单边拉氏变换的时域微分性质,对状态方程两边取拉氏变换,得:sX

(s)

X

(0

)

AX

(s)

BF(s)sX

(s)

AX

(s)

X

(0

)

BF(s)(sI

A)X

(s)

X

(0

)

BF

(s)X

(s)

(sI

A)

1

X

(0

)

(sI

A)

1

BF

(s)

(–s)

X–(0

)

(–s)

BF–(

s)Xx

(

s

)

X

f

(

s)

(s)

(sI

A)

1

L[

(t)]X

x

(s)

L[

X

x

(t

)]X

f

(s)

L[

X

f

(t)]X(t)

L

1[

X(s)]

L

1

[

X

(s)]

L

1

[

X

(s

)]x

f第8-62页■8.3

连续系统状态方程的解2.输出方程的s域解:输出方程:

Y

(t)

CX

(t)

Df

(t

)s域解:

Y

(s)

CX

(s)

Df

(s)把X(s)代入上式,得:Y

(s)

C

(s)X

(0

)

[C

(s)B

D]F

(s)

C

–(s

)

X–(–0

)

H–(s

)F–(

s)Yx

(

s)

Yf

(

s

)H

(s)

C

(s)B

D

L[h(t

)]Yx

(s)

L[Yx

(t)]Yf

(s)

L[Yf

(t)]Y

(t)

L

1[Y

(s)]

L

1[Y

(s)]

L

1[Y

(s)]x

f第8-63页■8.3

连续系统状态方程的解状态方程、输出方程的s域解步骤:状态方程s域解:第8-64页■Step1:

求Step2:

求

(s)

(sI

A)

1;X

x

(s)

(s)X

(0

);X

f

(s)

(s)BF

(s);X

(s)

X

x

(s)

X

f

(s);X

(t)

L

1[X

(s)].Step3:

求Step4:

求Step5:

求8.3

连续系统状态方程的解状态方程、输出方程的s域解步骤:输出方程s

域解:Step1:

求

(s)

(sI

A)

1;第8-65页■Step2:求Step3:求Step4:求Step5:求Yx

(s)

C

(s)

X

(0

);H

(s)

C

(s)B

D;Yf

(s)

H

(s)F

(s)8.3

连续系统状态方程的解Y

(t

)

L

1[Y

(s)]x

xY

(t)

L

1[Y

(s)];f

fY

(t)

Yx

(t

)

Yf

(t

).Step6:

求8.4

离散系统状态方程的解第8-66页■8.4

离散系统状态方程的解一、状态方程、输出方程的时域解:1.

状态方程的解: n阶系统,P个输入.状态方程:

X

(k

1)

AX

(k

)

Bf

(k

)设初始时刻k0

0

,初始状态X

(0)

[X1

(0),

X

2

(0),

,Xn

(0)].用递推法得:X

(1)

AX

(0)

Bf

(0)X

(2)

AX

(1)

Bf

(1)

A[x(0)

Bf

(0)]

Bf

(1)

A2

X

(0)

ABf

(0)

Bf

(1)X

(3)

AX

(2)

Bf

(2)

A3

X

(0)

A2

Bf

(0)

ABf

(1)

Bf

(2)…

…

…k

1第8-67页■X

(k)

Ak

X

(0)

Ak

1

Bf

(0)

Ak

2

Bf

(1)

ABf

(k

2)

Bf

(k

1).

Ak

X

(0)

Ak

1

i

Bf

(i)i

0

Ak

X

(0)

Ak

1B

f

(k

)设Ak

(k

),则X

(k

)

–(k

)

X–(

0)

(–k

–1

)B–

–f

(

k

)X

x

(

k

)(零输入分量)X

f

(

k

)(零状态分量)2.输出方程的解:n阶系统,P个输入,输出方程:

Y

(k

)

CX

(k

)

Df(k

)

把X(k)代入输出方程,得:q个输出.8.4

离散系统状态方程的解Y

(k)

C

(k)

X

(0)

C

(k

1)

B

f

(k)

Df

(k)引入δ

(k):

δ

(k)0

δ

(k)

p

p

δ

(k

)

0δ

(k

)⋱

则Df

(k

)

Dδ

(k

)

f

(k

).Y

(k

)

C

(k

)X

(0)

[C

(k

1)B

Dδ

(k)]

f

(k)

C

–(k

)

X–(

0)

h

(k–)

f–(

k

)Yx

(k

)

Yf

(

k

)h(k

)

C

(k

1)B

Dδ

(k

)

冲激响应,(q

p).q

p

hqp

h11

h12

hq1

hq

2

h1p

hij

(k

)f

j

(k

)单独作用时,输出yi

(k)的单位脉冲响应.第8-68页■8.4

离散系统状态方程的解8.4

离散系统状态方程的解第8-69页■3.

(k

)

Ak

的计算：(1)

Ak的计算方法设A为n阶方阵，λi为A的特征根，i

1,2,

,n由A的特征方程和凯莱——哈密顿定理可以证明2

n

1

α0

I

α1

A

α2

A

α

An

1iAkλ

k

λ

n

10

1

i

2

i

n

1

i

α

α

λ

α

λ

2

α，代入的展开式，就可求得Ak。k由A的n个特征根和

i

的展开式确定系数λiαkA8.4

离散系统状态方程的解第8-70页■第一步：求n阶方阵A的特征根λi

，i=1

,2

,

… ,n

.第二步：由n个特征根建立以下n个方程：1020kkk