北师大版九年级数学上册《4.4 探索三角形相似的条件》核心素养教案

北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》核心素养教案

一、教学背景

（一）教材分析

本节内容位于北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》第四节。本章是在学生学习了全等三角形、比例线段、相似多边形基本概念后，对相似图形研究的深化与系统化。全等三角形研究的是形状、大小完全相同的图形，而相似三角形则聚焦于形状相同、大小可以不同，这不仅是全等知识的自然延伸，更是从“等量关系”到“比例关系”的认知飞跃。教材在本节编排上采用了“问题情境—操作猜想—演绎论证—应用巩固”的探究路径，分别设置三个递进的探究活动，引导学生逐一发现两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例这三大判定定理。这种编排既尊重几何知识发生发展的历史逻辑，也契合九年级学生从直观操作向形式演绎过渡的思维特征。本节内容对后续学习相似三角形的性质、相似多边形、位似图形、锐角三角函数乃至高中平面几何与立体几何中的比例问题均起到奠基作用，是初中几何“承上启下”的核心节点。

（二）学情分析

九年级学生已经具备以下基础：第一，知识层面，学生熟练掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），理解并会应用平行线分线段成比例定理，能够进行简单的比例式变形与计算；第二，技能层面，学生能使用直尺、量角器进行基本作图与测量，具备初步的几何观察能力；第三，思维层面，学生正处于皮亚杰形式运算阶段，开始能够进行假设—演绎推理，但多数学生仍需依赖具体图形支撑抽象思考，将全等判定中的“边相等”迁移到相似判定中的“边成比例”需要克服认知惯性。本节的潜在困难集中于：一是在判定定理2中混淆“夹角”与“对角”，二是在复杂图形（如重叠三角形、旋转图形）中准确识别对应顶点与对应边，三是不会根据已知条件灵活选择最简判定路径。教学中应充分利用几何画板的动态演示功能，通过正例与反例的对比冲击，帮助学生建立稳固的条件反射。

（三）课标要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第四学段“图形与几何”模块中明确要求：“理解相似三角形的判定定理，并能运用它们解决简单的几何问题。”同时强调：“经历从具体情境中抽象出数学对象的过程，在观察、实验、猜想、证明等活动中发展合情推理与演绎推理能力。”基于此，本节教学应当实现从“重结论记忆”向“重过程体验”的转型，将定理的发现权还给学生，让逻辑推理的严谨性与几何直观的灵动性在课堂中交融共生。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.准确陈述三角形相似的三个判定定理的文字语言、图形语言与符号语言，并能进行三者间的熟练转换。【核心定理】

2.能够根据题目条件快速选择恰当的判定定理证明三角形相似，完成规范的几何书写。【高频考点】

3.掌握直角三角形相似的特殊判定方法（HL），并能将其与一般判定定理建立联系。【拓展要求】

（二）过程与方法

1.经历从全等判定到相似判定的类比迁移过程，体会数学中“特殊化—一般化”的思维模式。

2.通过度量、画图、计算等实验操作积累几何活动经验，理解“实验几何”到“论证几何”的进化路径。

3.在定理证明与例题分析中，掌握“截长补短构全等”“作平行线构比例”等基本辅助线技法。

（三）情感态度与价值观

1.在小组合作中培养倾听、质疑、分享的学术品质，感受集体智慧对个体认知的修正作用。

2.通过相似三角形在实际测量中的应用，体悟数学抽象的力量与数学模型的价值。

3.在严谨的推理论证中浸润理性精神，形成言必有据的科学态度。

（四）核心素养细化

数学抽象：从国旗、照片、地图等生活实例中提炼“形状相同”的本质属性，抽象为对应角相等、对应边成比例的数学定义。

逻辑推理：完整经历每个定理的“猜想—验证—证明”闭环，能独立完成判定定理的符号证明。

直观想象：根据已知图形预判可能的相似关系，并借助网格、尺规作图验证猜想。

数学建模：将测高、测距、测河宽等现实问题转化为“已知—求解”的相似三角形模型，建立比例方程。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.三角形相似的三个判定定理的内容及其几何语言表述。【重点】

2.在具体问题中识别相似三角形并运用相应定理进行证明与计算。【高频考点】

（二）教学难点

1.对判定定理2中“夹角”条件的深刻理解与自觉应用，避免与“SSA”型假命题混淆。【难点】【易错点】

2.在复杂背景图形（如重叠、交叉、旋转）中准确找出对应顶点，正确写出比例式。【思维障碍点】

四、教学方法与学法指导

（一）教学方法

采用“主导—主体”辩证统一的探究式教学法。教师通过递进式问题链驱动思维，学生通过“画一画、量一量、议一议、证一证”开展深度学习。几何画板全程介入，将静态定理动态化，将隐含条件显性化。同时引入“概念变式”与“非概念变式”对比教学，强化关键属性的识别。

（二）学法指导

1.类比迁移法：引导学生建立“全等判定→相似判定”的映射表，将“边相等”替换为“边成比例”，主动建构知识网络。

2.模型积累法：随堂总结常见相似基本图形（A型、X型、旋转型、母子型），形成条件反射。

3.错题归因法：针对定理2设立专门的“夹角/对角辨析”练习，通过自我纠错深化认知。

五、教学准备

教师：几何画板课件（预设三种判定定理的动态演示及反例素材）、手机投屏设备（用于展示学生典型作图）、彩色粉笔、导学案（含探究任务单、分层练习题）。

学生：直尺（带刻度）、量角器、三角板、铅笔、橡皮、课堂笔记本。

六、教学实施过程（约40分钟）

（一）创设情境，导入新课——唤醒经验，聚焦问题（约4分钟）

1.情境呈现

多媒体展示三组图片并置呈现：第一组为同一品牌不同容量的可乐瓶（外形相似）、第二组为从同一底片冲洗的不同尺寸照片、第三组为两个含30°—60°—90°角的三角板（一大一小）。教师提问：“这三组图片中的物体，每组之间有什么共同特征？”学生齐答：“形状相同，大小不同。”教师追问：“数学上我们把这种关系称为什么？”学生：“相似图形。”

2.认知冲突激发

教师将两个含30°、60°角的三角板叠放，使直角顶点重合，引导学生观察：此时两个三角形的对应角完全相等，但对应边并不相等。教师板书相似三角形定义，并故意加重语气：“定义告诉我们，要判定两个三角形相似，必须同时满足三个角分别相等、三条边对应成比例，一共六个条件。六个条件，太多了吧？”（学生频频点头）教师顺势抛出核心问题：“能不能像判定全等那样，用较少的条件就能判定相似呢？今天我们就来当一次数学家，自己发现这些条件。”【板书课题】

（二）合作探究，发现定理——操作思辨，提炼条件（约20分钟）

【活动1】判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA）——【核心定理】【基础】【必会】

（1）任务驱动

教师发放导学案，要求：①在方格纸的指定区域画△ABC，使得∠A=40°，∠B=70°；②再画△A’B’C’，使得∠A’=40°，∠B’=70°，但边A’B’的长度自定（要求与AB不同）；③用直尺精确测量AB、BC、AC及A’B’、B’C’、A’C’的长度，计算AB与A’B’、BC与B’C’、AC与A’C’的比值；④组内交换数据，观察比值有何规律。

学生操作约3分钟，小组汇总数据。教师利用实物展台投影一组典型数据（如AB=5.0cm，A’B’=3.0cm，比值≈0.60；BC=7.3cm，B’C’=4.4cm，比值≈0.60；AC=6.8cm，A’C’=4.1cm，比值≈0.60）。全班惊叹：三组比值几乎相等！

（2）精准验证

教师打开几何画板：固定△ABC，构造△A’B’C’使其两个角与△ABC对应相等。拖动点A’任意改变三角形大小，屏幕上实时显示三组对应边的比值，始终相等。学生从数据冲击中获得信念：两角相等就能推出三边成比例。

（3）演绎证明

教师引导：“视觉确认还不够，数学需要逻辑的严密。怎么证明？”启发学生类比全等中的“截取法”：在大三角形A’B’C’的边A’B’上截取A’D=AB，过D作DE∥B’C’交A’C’于点E。通过平行线分线段成比例得到A’D/AB=A’E/AC，再证明△ADE≌△ABC（ASA）。最后推导出对应边成比例。教师板书完整证明流程，边写边强调关键步骤：作平行线、证全等、得比例。

（4）定理精致

学生试述定理内容，教师规范表述：【定理1】两角分别相等的两个三角形相似。符号语言：∵∠A=∠A’，∠B=∠B’，∴△ABC∽△A’B’C’。教师补充：只需要两个角，第三个角自动相等（三角形内角和定理），因此“两角”实质上覆盖了“三角”。

【活动2】判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）——【重要】【高频考点】【易错重灾区】

（1）类比猜想

教师板书全等判定SAS，擦去等号改为比例符号：“如果两边不是相等，而是成比例，保留夹角不变，结论还成立吗？”学生凭直觉多数猜“成立”。

（2）分组实验

任务单指令：①画△ABC，使∠B=50°，AB=4cm，BC=5cm；②画△A’B’C’，使∠B’=50°，A’B’=2cm，B’C’=2.5cm（比值1:2）；③测量∠A与∠A’、∠C与∠C’，并测量A’C’与AC的比值。学生发现：对应角相等，第三边比例也等于1:2。初步验证猜想。

（3）致命反例——撕开认知缺口

教师追问：“是不是只要两边成比例，随便哪个角相等都能判定相似？”学生意见不一。教师用几何画板演示：保持AB:A’B’=AC:A’C’=1:2，但将∠A’从50°调整为30°（注意这里不是原夹角）。屏幕上的两个三角形明显不再相似，对应角不再相等。教室里发出“哦——”的顿悟声。教师总结：“这个角必须是两条成比例边的夹角，否则即使两边比例固定，三角形形状也不固定。”

（4）证明思路点拨

教师简要介绍定理2的证明逻辑：与定理1类似，在大三角形上截取、作平行线构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理导出对应边成比例。详细证明过程要求学生课后阅读教材，课中重点把握条件使用的严谨性。

（5）定理精致

【定理2】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。符号语言：∵$\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}$，且∠B=∠B’，∴△ABC∽△A’B’C’。教师用红色粉笔在板书“夹角”二字下加着重号，并配以警示符号【⚠️核心条件】。

【活动3】判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）——【重点】【全面】【计算型】

（1）快速验证

任务单指令：①画△ABC，三边任取整数（如3、4、5）；②画△A’B’C’，使三边分别是△ABC对应边的一半（1.5、2、2.5）；③用量角器测量所有角，你发现了什么？学生迅速完成，发现对应角完全相等。

（2）动态演绎

几何画板演示：给定三边比例固定（如1:1.5:2），拖动三角形顶点任意变形，三边长度变化但比例不变，画板上同时显示三个对应角始终相等。学生直观感受到“三边定形”的原理。

（3）定理精致

【定理3】三边对应成比例的两个三角形相似。符号语言：∵$\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}$，∴△ABC∽△A’B’C’。教师点评：此定理最充分，但需已知三边长度，计算量较大；在网格题或坐标题中应用广泛。

【活动4】特殊与一般——直角三角形相似（HL）——【拓展】【优生储备】

（1）问题驱动

“两个直角三角形，如果斜边和一条直角边对应成比例，它们相似吗？”学生尝试用勾股定理计算第三边，发现第三边比例自动满足，因此可由SSS推出相似。

（2）归纳推论

【推论】斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。符号语言：在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，$\frac{A’B’}{AB}=\frac{A’C’}{AC}$，则Rt△ABC∽Rt△A’B’C’。

（三）例题精讲，建模用法——规范表达，策略内化（约10分钟）

【例1】（教材原型）——【基础得分题】

已知：如图，△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：△ADE∽△ABC。

教学流程：

①学生读图并口答：由DE∥BC可得同位角相等（∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB）。

②教师追问：“你选用哪个判定定理？”学生一致选择AA。

③学生独立书写证明过程，一名学生板演。教师针对板演点评，重点纠正“对应顶点字母未按对应顺序书写”“比例式写反”等常见问题。

④变式追问：若DE与BC不平行，添加什么条件可使△ADE∽△ABC？学生尝试添加∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB等，体会条件的充分性。

【例2】（网格与计算）——【判定选择训练】

已知：在正方形网格中，每个小正方形边长为1，△ABC和△DEF的顶点均在格点上。判断两个三角形是否相似，并说明理由。

（教师提前在课件中绘制网格三角形，学生读图并测量计算）

分析路径：

①目测三角形形状，初步判断可能相似。

②计算各边长度（利用勾股定理），得到AB=√10，BC=4，AC=√18；DE=√5，EF=2，DF=√9=3。

③计算比值：AB:DE=√10:√5=√2，BC:EF=4:2=2，AC:DF=√18:3=√2。注意比值不都相等？学生发现矛盾：BC:EF=2，而另两边比=√2≈1.414，比值不等→不相似。

④教师引导学生反思：仅凭直觉可能误判，必须精确计算；当三边比值不完全相等时，不能判定相似。同时强调：用SSS判定必须三组比值全相等。

【例3】（动态存在性）——【中考压轴雏形】

已知：矩形ABCD，AB=4，BC=6。点E是BC边上一点，BE=2。点F是CD边上一点。是否存在点F，使得△ABE与△ECF相似？若存在，求出CF的长；若不存在，说明理由。

教学处理：

①图形分析：△ABE是直角三角形（∠B=90°），△ECF是直角三角形（∠C=90°）。两个直角三角形相似的判定优先考虑HL或两组边比例。

②分类讨论思想介入：对应顶点未明确，需要分情况。

情况一：∠B对应∠C（即直角对应直角），此时只需对应边成比例。$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，代入得$\frac{4}{4}=\frac{2}{CF}$，CF=2。

情况二：∠B对应∠F（即直角对应锐角），此时$\frac{AB}{FC}=\frac{BE}{EC}$，即$\frac{4}{CF}=\frac{2}{4}$，CF=8，但F在CD上，CD=6，CF=8超出范围，舍去。

情况三：∠B对应∠E，显然不成立（∠E在△ECF中是直角？不是，点E处是∠BEC，非∠FEC，分类需仔细）。教师引导学生修正对应关系，最终锁定第一种情况。

③规范答题：先假设存在，列比例方程，求解后验证合理性。

此例融合相似判定、方程思想、分类讨论，对思维要求较高，教师带领学生完整经历探究过程。

（四）变式训练，内化迁移——暴露错误，精准补缺（约6分钟）

【练1】条件辨析——【防坑专项】

下列条件能否判定△ABC∽△A’B’C’？快速判断并说明理由。

（1）∠A=45°，∠B=70°，∠A’=45°，∠C’=65°；（能，AA）

（2）AB=8，BC=6，∠B=60°；A’B’=4，B’C’=3，∠B’=60°；（能，SAS，夹角正确）

（3）AB=5，AC=7，∠B=50°；A’B’=10，A’C’=14，∠B’=50°；（否，已知角不是AB与AC的夹角，是边AB的对角）

（4）AB=9，BC=12，AC=15；A’B’=6，B’C’=8，A’C’=10。（能，SSS）

每道题学生先独立思考，再用手势反馈（√或×）。第（3）题错误率通常较高，教师及时展示反例图形，强化“夹角”意识。

【练2】基本图形识别

呈现“A型图”“X型图”“旋转型图”“母子直角三角形”四幅图，要求学生找出图中的相似三角形并简要说明依据。此环节旨在帮助学生积累常用相似模型，提高解题速度。

【练3】实际应用——测距问题

如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小明在平地上取一点C，测得AC=60m，BC=40m，∠ACB=120°。然后他沿AC方向走到点D，使CD=15m，沿BC方向走到点E，使CE=10m。此时D、E两点间的距离是多少？

学生通过计算发现AC:DC=60:15=4，BC:EC=40:10=4，且∠C是公共角，满足SAS判定，得△ABC∽△DEC，相似比为4，从而AB=4DE，量出DE即可换算。此题打通几何与代数，体现相似在间接测量中的价值。

（五）课堂小结，系统建构——知识网络，思想提炼（约3分钟）

1.知识线：回顾三个判定定理及直角三角形HL推论，用表格形式在师生问答中生成（教师板书框架，学生口述内容）。

2.方法线：总结判定选择口诀——“有角寻角最优先，边角边需夹角现，三边定算不慌乱，直角别忘HL便。”

3.思想线：提炼类比思想（全等→相似）、转化思想（未知边→比例方程）、分类思想（对应不确定时）。

（六）分层作业，个性延伸（约1分钟）