2026年江苏省苏州市高二下学期数学期末试卷（解析版）

第Page\*MergeFormat4页共numpages\*MergeFormat4页2026年苏州市高二下学期期末模拟试卷02数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在三棱锥中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．2．某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种3．已知随机变量X的概率分布如下X0Pa则（

）A． B． C． D．4．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据：3456标准煤2.53m4.5根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（

）A．x与y负相关 B．C．回归直线过点 D．时的残差为0.055．已知函数，则（

）A．1 B． C． D．26．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．7．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（

）A．0 B．3 C．10 D．118．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．10．在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（

）A．若，则平面B．若，，则平面C．若，则点P到平面的距离为D．若，时，直线与平面所成角为，则11．已知函数（为常数），则下列结论正确的有（）A．时，恒成立B．时，无极值点C．若有3个零点，则的范围为D．时，有唯一零点且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，，则______.13．的展开式中的系数是_________．（结果用数字表示）14．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．16．已知的展开式中，二项式系数的和为64，求：(1)；(2)含的项；(3)偶数项的系数的和．17．甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．(1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；(2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；（ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：．18．某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下：日期5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日第天12345参观人数2.22.63.15.26.9(1)根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程；(2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差．附：参考数据：，，，，．参考公式：经验回归方程，其中，．样本相关系数．19．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是的极小值点，求实数的取值范围；(3)当时，若，求实数的最大值．答案与解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在三棱锥中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解.【详解】由题意，.故选：D.2．某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】A【分析】利用捆绑法即可求解.【详解】利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种.3．已知随机变量X的概率分布如下X0Pa则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由概率之和为1可求.【详解】由分布列可知，解得.故选：C.4．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据：3456标准煤2.53m4.5根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（

）A．x与y负相关 B．C．回归直线过点 D．时的残差为0.05【答案】C【分析】由经验回归方程系数为可对A判断求解；分别求出，然后求出，从而可对B、C判断求解；利用残差知识可对D求解判断.【详解】A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误；B、C：由，所以，所以回归直线过点，故C正确；又，解得，故B错误；D：时，，则残差为：，故D错误.故选：C.5．已知函数，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】利用导数列方程，化简求得.【详解】依题意，，所以，所以.故选：C6．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解.【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是.故选：D7．若的展开式中，各项的二项式系数之和为128，系数和为，则除于13的余数是（

）A．0 B．3 C．10 D．11【答案】C【分析】根据二项式系数之和求出的值，再根据系数和求出的值，最后计算除以的余数.【详解】由二项式系数和，得代入，得，解得：计算除以：先把写成，则根据二项式定理得：除了这项外，其余项都含有因数能被整除所以除以余数和除以余数相同除以商余，所以除以余数是故选：C.8．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先根据导数判断函数的单调性，然后利用函数单调性对已知不等式变形，再通过构造新函数进行求解即可.【详解】由题可知，，由于，故在上恒成立，故在上单调递增，因为，所以，即恒成立，令，，则，由可得，，由可得，，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，即，故，解得故实数的最小值为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用古典概型概率公式可判断AC；利用条件概率定义可判断BD.【详解】设三台车床加工的零件的总数为，则第1，2，3台车床加工的零件数的分别为，对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.10．在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（

）A．若，则平面B．若，，则平面C．若，则点P到平面的距离为D．若，时，直线与平面所成角为，则【答案】BC【分析】以为原点建系，根据判断A；求平面的一个法向量，判断即可判断B选项；根据公式计算判断C；应用线面角公式计算判断D.【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，，，则，，，，则，则，A选项，若，则，则，则，则与不垂直，故A错误；B选项，若，，则，则，设平面的一个法向量为，则有，令，则，故．则，即，又平面，所以平面，故B正确；C选项，若，则，则到平面的距离为，故C正确；D选项，，当，时，，则，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，故，即，故D错误．故选：BC11．已知函数（为常数），则下列结论正确的有（）A．时，恒成立B．时，无极值点C．若有3个零点，则的范围为D．时，有唯一零点且【答案】BCD【分析】对于AB：将和代入，判断函数单调性，利用单调性求极值最值即可求解；对于C：将问题转化为，构造函数，利用导数求单调性和极值，然后画图求解；对于D：利用零点存在定理求解.【详解】对于A：当时，，则，令，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，，所以在上单调递增，又，A错误；对于B：当时，，，令，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以，所以在上单调递增，无极值，B正确；对于C：令，当时，显然，则，记，则当或时，，单调递增，当时，，单调递减，且，当和时，，函数图象如下：所以若有3个零点，则的范围为，C正确；对于D：当时，，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以所以在上单调递增，又，，由零点存在定理可得有唯一零点且，D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，，则______.【答案】【分析】先根据二项分布的期望公式求出n，然后利用二项分布的方差公式求出，进而利用方差的性质求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以.故答案为：13．的展开式中的系数是_________．（结果用数字表示）【答案】【分析】利用二项展开式通项以及组合数性质可求得展开式中的系数.【详解】当且时，的展开式通项为，所以的展开式中的系数是.故答案为：.14．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将转化为，构造函数，利用导数判断的单调性从而得到，再构造函数，利用导数判断的单调性从而求出的最小值，即可求解.【详解】关于的不等式恒成立，即恒成立，令，，则，，在单调递增，，即，，令，，则，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，，.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面平行；（2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解.【详解】（1）方法一：如图，连接交与点，连接，因为，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以平面．方法二：（1）在中，过点作，因为平面，所以，，如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，．则，，．设平面的法向量，则，令得此时，又平面，所以平面．（2）方法一：由（1）知平面的法向量设平面的法向量为，则，令得设二面角的大小为，则所以二面角的正弦值为．方法二：因为平面，平面，所以平面平面，所以二面角大小与二面角大小互余，所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值，如图，在中，过点作，过点作，连接，则，所以即为二面角的平面角，在中，，所以，所以，所以二面角的正弦值为．16．已知的展开式中，二项式系数的和为64，求：(1)；(2)含的项；(3)偶数项的系数的和．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二项式系数的和可求；（2）根据二项展开式的通项可求含的项；（3）利用通项公式可求偶数项的系数的和．【详解】（1）由题意得，所以．（2）由（1）知，则展开式的通项为．令，得，所以含的项为．（3）展开式中第2项系数为，第4项系数为，第6项系数为，所以展开式中偶数项的系数和为．17．甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．(1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；(2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；（ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：．【答案】(1)的分布列见解析，，(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望.（2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率.（ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果.【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布，则X的概率分布：，，X的数学期望．乙通过项目数符合二项分布，即，，则Y的概率分布：，，，，Y的数学期望．（2）（i）因为，所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是．（ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为，则，可知，当时，，在上单调递增，又，所以．甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为，则在上单调递增，又，所以．综上，．18．某旅游景点统计今年五一期间进入景区的游客人数（单位：千人）如下：日期5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日第天12345参观人数2.22.63.15.26.9(1)根据上表数据，判断成对样本数据的线性相关程度，请用样本相关系数加以说明；（若，则认为与的线性相关性很强），如果与的线性相关性很强，那么求出关于的经验回归方程；(2)五一期间景区开放南门、东门和北门供游客出入，游客从南门、东门和北门进入景区的概率分别为，且出景区与入景区选择相同门的概率为，选择与入景区不同两门的概率各为．假设游客从南门、东门、北门出入景点互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于5月1日游玩景点，设为4人中从东门出景区的人数，求的分布列、期望及方差．附：参考数据：，，，，．参考公式：经验回归方程，其中，．样本相关系数．【答案】(1)，与线性相关性很强；．(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为.【分析】（1）