七年级数学压轴难题练习卷

七年级数学压轴难题练习卷同学们，数学的世界充满了挑战与乐趣。当我们逐步掌握了基础知识，压轴题便如同高峰，等待我们去攀登。这份练习卷精选了一些具有代表性的七年级数学压轴题，它们不仅考察大家对知识点的综合运用能力，更注重思维的灵活性与逻辑性。希望同学们能沉着冷静，仔细分析，大胆尝试，在解决问题的过程中提升自己的数学素养。记住，每一道难题的攻克，都是一次思维的飞跃。一、代数综合与应用探索与发现：数字规律的奥秘题目1：我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：*n*=*p*×*q*（*p*，*q*是正整数，且*p*≤*q*）。在*n*的所有这种分解中，如果*p*，*q*两因数之差的绝对值最小，我们就称*p*×*q*是*n*的最佳分解，并规定：*F*(*n*)=*p*/*q*。例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以*F*(12)=3/4。（1）计算：*F*(16)，*F*(24)；（2）如果一个两位正整数*t*，*t*=10*x*+*y*（1≤*x*≤*y*≤9，*x*，*y*为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的数所得的差为18，那么我们称*t*为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中*F*(*t*)的最大值。思路点睛：对于（1），根据题目中给出的“最佳分解”和“*F*(*n*)”的定义，直接对16和24进行分解，找出符合条件的*p*和*q*即可。对于（2），首先需要根据“吉祥数”的定义，通过代数式表示出原数*t*和新数，根据它们的差为18列出方程，从而找出*x*与*y*的关系，进而确定所有可能的“吉祥数”。然后，再对每个“吉祥数”进行“最佳分解”，计算出*F*(*t*)，最后比较得出最大值。这里需要注意*x*和*y*的取值范围。方案设计与优化：运用方程解决实际问题题目2：某中学组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满。已知45座客车的日租金为每辆220元，60座客车的日租金为每辆300元。（1）求原计划租用45座客车的数量和参加社会实践活动的学生人数；（2）若该校决定同时租用两种型号的客车，要求既保证所有学生都有座位，又要尽可能节省租金。请你帮助该校设计一种最省钱的租车方案，并求出此时的租金。思路点睛：对于（1），这是典型的盈亏问题，可设原计划租用45座客车*x*辆，根据学生人数不变这一等量关系列出一元一次方程求解。对于（2），在已知学生总人数的前提下，需要设租用45座客车*m*辆，60座客车*n*辆，根据座位数不少于学生人数列出不等式。由于*m*和*n*都应为非负整数，因此需要找出所有可能的*m*和*n*的组合，并计算出每种组合的租金，通过比较得出最省钱的方案。这里要注意“同时租用两种型号”的含义，即*m*和*n*不能同时为零，且至少各有一辆或其中一种有若干辆。二、几何图形与动态思维图形的性质与判定：平行线中的角题目3：如图，直线*AB*∥*CD*，点*E*、*F*分别在直线*AB*、*CD*上，点*P*在*AB*、*CD*之间，连接*EP*、*FP*。（1）若∠BEP=40°，∠DFP=30°，求∠EPF的度数；（2）若点*P*在*AB*、*CD*之间运动（不与*AB*、*CD*重合），则∠BEP、∠DFP与∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）若点*P*在直线*AB*上方运动（不与*AB*重合），则∠BEP、∠DFP与∠EPF之间又有何数量关系？（直接写出结论，不需说明理由）(注：此处应有图形，描述为：AB和CD是两条水平方向的平行线，AB在CD上方。点E在AB上，靠近左侧；点F在CD上，位于点E的右下方。点P初始在AB和CD之间，大致在E的右下方，F的左上方。)思路点睛：对于（1），解决平行线间折线所成角的问题，常用的方法是过折点作平行线，利用平行线的性质（如内错角相等、同旁内角互补）将未知角转化为已知角。对于（2），是（1）的一般化情况，同样可以通过过点P作AB（或CD）的平行线，然后利用平行线的性质推导出三个角之间的数量关系。对于（3），点P的位置发生了变化，在AB上方，此时辅助线的作法可能需要调整，或者思考角度的关系是否会发生相应的改变，同样可以尝试作平行线来探索。动态几何与分类讨论：动点问题题目4：已知，线段*AB*=12cm，点*C*为线段*AB*上一点，*BC*=4cm。点*M*为*AC*的中点，点*N*为*BC*的中点。（1）求线段*MN*的长度；（2）若点*C*在直线*AB*上运动（点*C*不与点*A*、点*B*重合），点*M*为*AC*的中点，点*N*为*BC*的中点，线段*MN*的长度是否发生变化？请说明理由；（3）若点*C*在射线*AB*上运动（点*C*不与点*A*重合），点*M*为*AC*的中点，点*N*为*BC*的中点，线段*MN*的长度是否发生变化？请说明理由。思路点睛：对于（1），根据已知条件，先求出AC的长度，再利用中点的性质分别求出MC和CN的长度，进而得到MN。对于（2），点C在直线AB上运动，但不与A、B重合，此时需要考虑点C在线段AB上、点C在线段AB的延长线上、点C在线段BA的延长线上这几种情况吗？题目说“直线AB上运动（点C不与点A、点B重合）”，但原问题中点C最初是“线段AB上一点”，第（2）问是否默认还是在线段AB上运动？这里可能需要仔细审题。如果是在直线上，那就要分情况讨论了。一般而言，“直线上运动”且未加限制，通常需要考虑多种位置。对于（3），明确了“射线AB上运动（点C不与点A重合）”，射线AB是以A为端点，向B及B的方向无限延伸，所以点C的位置可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上。在每种情况下，都需要用含未知数的代数式表示出相关线段的长度，再利用中点性质表示出MC和CN（或MN），看MN的长度是否为定值。分类讨论是解决动点问题的关键。三、综合探究与拓展数学建模与推理：结合代数与几何题目5：在平面直角坐标系中，点*A*(*a*,0)，点*B*(0,*b*)，其中*a*，*b*满足|*a*-6|+(b-8)^2=0。（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动时间为t秒。当t为何值时，△POQ的面积为15？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，线段PQ与坐标轴有交点？并求出交点坐标。思路点睛：对于（1），利用非负数的性质（绝对值和平方数都是非负数，它们的和为零，则各自为零）可求出a和b的值，进而得到A、B两点的坐标。对于（2），首先要表示出运动t秒后，点P和点Q的坐标。点P从A出发沿x轴负方向运动，其横坐标会减小；点Q从B出发沿y轴正方向运动，其纵坐标会增大。然后，根据三角形面积公式，以OP和OQ为直角边（或根据P、Q的具体位置确定底和高），列出关于t的方程求解。注意，t表示时间，应为非负数，且要考虑点P、Q运动的范围是否会对结果产生限制。对于（3），线段PQ与坐标轴有交点，包括与x轴交点和与y轴交点两种情况。需要分别讨论：当PQ与x轴相交时，设交点为D，则D的纵坐标为0，可利用点P和点Q的坐标表示出直线PQ的方程（或利用相似三角形、比例线段等方法）求出此时t的值和交点坐标；同理讨论与y轴相交的情况。写在最后同学们，完成这份压轴难题练习卷，你是否对七年级数学的知识体系有了更深的理解？压轴题往往不是一