6.5 高阶线性微分方程_第1页
6.5 高阶线性微分方程_第2页
6.5 高阶线性微分方程_第3页
6.5 高阶线性微分方程_第4页
6.5 高阶线性微分方程_第5页
已阅读5页，还剩11页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第五节

高阶线性微分方程本节学习目标010203掌握二阶线性齐次微分方程解的结构

了解n阶微分方程定义及一般形式04掌握二阶线性非齐次微分方程解的结构其一般形式为：复习：

微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数为一阶，叫做一阶微分方程.对照：

定义：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数为n阶，叫做n阶微分方程.其n阶微分方程的一般形式为：或一般的，微分方程的阶数越高，越难求出它的解，为此仅仅介绍两类特殊情况的高阶微分方程的求解。F(x,y,y

)=0或

引例：计算微分方程的通解解：等式两边对自变量x积分，得上式两边再对自变量积分，得

例1：计算微分方程的通解解：同上例，只需逐次积分，得结论：特点：计算方法：只需等式两边逐次对自变量积分，即可等式右边只有n阶的微分方程需取n次积分，即可得到含有n个任意常数的方程的通解二、n阶线性微分方程一般的，它的一般形式为：若若则称为n阶线性齐次微分方程则称为n阶线性非齐次微分方程可以证明：n阶线性微分方程具有同二阶线性微分方程相同的解的结构。

下面以讨论相对简单的二阶线性微分方程的解的结构，来推广n阶线性微分方程解的结构1.二阶线性微分方程

则称为二阶线性齐次微分方程则称为二阶线性非齐次微分方程例如：均为二阶线性齐次微分方程

n阶方程中含有n个任意常数的解称为微分方程的通解.2.探寻二阶线性齐次微分方程解的结构例2.验证

是方程的解，且是方程的通解。

思考：有此例发现什么问题？推广可得什么结论？

是方程的解，且是方程的通解。

定理：若函数y1,y2

是二阶线性齐次方程的两个解，则y=y1+y2

也是该方程的解。证明略注意：

推广：

若y1,y2是方程的解,则y=C1y1+C2y2也是该方程的解.其中C1,C2是任意常数。

虽然C1,C2是两个任意常数，但y=C1y1+C2y2未必是方程的通解.

如：可验证

y=C1y1+C2y2=C1ex+C22ex

=(C1+2C2)ex是方程的解，但不是通解。因为它实际上只含有一个任意常数(通解：C1,C2必须是两个相互独立任意常数)例3.判断下列方程的解是否线性相关1）y1=ex,y2=ex+12）y1=x,y2=ex

可见，

函数y=C1y1+C2y2能否构成方程的通解,关键在于C1,C2是否彼此独立,而它又取决于y1,y2是否线性相关.解：=常数

线性相关

常数

线性无关定义：若,C为常数，则称y1与y2线性相关.

若,C为常数，则称y1与y2线性无关.若函数y1,y2

是齐次方程的两个线性无关的解，则y=C1y1+C2y2

是该方程的通解.其中C1

,C2为任意常数.结论：二阶线性齐次微分方程解的结构即：求二阶线性齐次微分方程通解的问题，转化为求它的两个线性无关的特解的问题.

例4.求微分方程

的通解由此观察方程的解的结构3.探寻二阶线性非齐次微分方程解的结构解：原式变形，得由一阶微分方程公式法解得故可以得非齐次微分方程的解的结构：分析通解结构：可以验证令则即直接积分，解得同学们计算结论：二阶线性非齐次微分方程解的结构

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论