2026-2027学年人教A版高中数学必修一1.4.1　充分条件与必要条件课件

1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件【学习目标】1.理解充分条件、必要条件的概念,能进行充分条件、必要条件的判断.(数学抽象、逻辑推理)2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.(数学抽象)3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(逻辑推理)充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系___________条件关系p是q的_________q是p的_________p不是q的_________q不是p的_________定理关系(1)数学中的每一条_____定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)数学中的每一条_____定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件p⇒qp

q充分条件必要条件充分条件必要条件判定性质[思考]1.命题“若p,则q”即“p⇒q”吗?提示:不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.2.若p是q的充分条件,这样的条件p是唯一的吗?请举例说明.提示:不唯一.如“对角线相等的平行四边形”“有一个角是直角的平行四边形”“有三个角是直角的四边形”都是“四边形是矩形”的充分条件.[点睛]若p⇒q,则p是q的充分条件,即要使q成立,有p成立就足够了,就是“有之即可,无之也行”;而q是p的必要条件,即q是p成立的必不可少的条件,缺其不可,就是“有之未必即可,无之则必不行.”[点睛]充分条件、必要条件与集合的关系设A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件;q是p的必要条件B⊆Aq是p的充分条件;p是q的必要条件【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若“p⇒q”,则p的充分条件是q.()提示:若“p⇒q”,则p是q的充分条件.(2)若q是p的必要条件,则q是唯一的.()提示:给定条件p,由p可以推出的结论q不是唯一的.(3)“若q,则p”是真命题,则p是q的必要条件.()(4)“若p,则q”为假命题,则p不是q的充分条件,但q可以是p的必要条件.()提示:“若p,则q”为假命题,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.××√×类型1充分条件的判断(逻辑推理)【典例1】(一题多变)[母题]下列“若p,则q”形式的命题中,判断命题中的p是否是q的充分条件.(1)若内错角相等,则两直线平行;(2)若x<1,则x<2;(3)若x2=y2,则x=y;(4)若m>1,则方程x2-x-m=0有实根.【解析】(1)若内错角相等,则两直线平行是真命题,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.(2)若x<1,则x<2是真命题,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.(3)若x2=y2,则x=y或x=-y,因此p

q,所以p不是q的充分条件.(4)因为m>1,所以Δ=12+4m>0,方程x2-x-m=0有实根,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.[变式1]母题(1)若改为“若同位角相等,则两直线平行”,p是否是q的充分条件?【解析】若同位角相等,则两直线平行是真命题,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.[变式2]母题(1)若改为“若同旁内角互补,则两直线平行”,p是否是q的充分条件?【解析】若同旁内角互补,则两直线平行是真命题,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.【解题有招】充分条件的两种判断方法(1)定义法

(2)集合关系法已知条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊆B,则甲是乙的充分条件.【即学即练】下列“若p,则q”形式的命题中,判断命题中的p是否是q的充分条件.(1)若a∈Q,则a∈R;(2)若x>1,则x2>1;(3)若四边形的对角线相等,则四边形是矩形;(4)若(a-2)(a-3)=0,则a=3.【解析】(1)由于Q⊆R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.(2)由x>1可以推出x2>1,因此p⇒q,所以p是q的充分条件.(3)因为等腰梯形的对角线相等,所以四边形的对角线相等

四边形是矩形,所以p不是q的充分条件.(4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,所以p

q,所以p不是q的充分条件.类型2必要条件的判断(逻辑推理)【典例2】(一题多变)[母题]下列“若p,则q”形式的命题中,判断命题中的q是否是p的必要条件.(1)若四边形是矩形,则这个四边形的对角线相等;(2)若a是1的平方根,则a=1;(3)若三角形是等边三角形,则三角形是等腰三角形.【解析】(1)矩形的对角线一定相等,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.(2)1的平方根是±1,所以p

q,所以q不是p的必要条件.(3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.[变式1]母题(1)若改为“若四边形是矩形,则这个四边形的对边相等”,q是否是p的必要条件?【解析】矩形的对边一定相等,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.[变式2]母题(1)若改为“若四边形是矩形,则这个四边形的对边平行”,q是否是p的必要条件?【解析】矩形的对边一定平行,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.[变式3]母题(1)若改为“若四边形是矩形,则这个四边形的四个角都是直角”,q是否是p的必要条件?【解析】矩形的四个角都是直角,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.【解题有招】必要条件的两种判断方法(1)定义法

(2)集合关系法已知条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件.

类型3充分、必要条件的探求(逻辑推理)【典例3】(易错·对对碰)(1)(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是(

)A.2<x≤3

B.0≤x<1C.0<x≤2

D.1<x<2【解析】选CD.从集合观点看,求0<x<3成立的一个充分条件,就是从A,B,C,D中选出集合{x|0<x<3}的子集.所以{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3},{x|1<x<2}⊆{x|0<x<3}符合题意.√√(2)(多选)使0<x<3成立的一个必要条件是(

)A.0<x≤3 B.1≤x<3C.0<x≤2 D.-1<x<3【解析】选AD.从集合观点看,求0<x<3成立的一个必要条件,就是找集合{x|0<x<3}是选项A,B,C,D中哪个集合的子集.由题可知{x|0<x<3}⊆{x|0<x≤3},{x|0<x<3}⊆{x|-1<x<3},所以A,D符合题意.√√【解题有招】充分、必要条件探求的注意点因为若p是q的充分(必要)条件,这样的p是不唯一的,故解决充分(必要)条件的探求问题时一定要细心.提醒:从集合关系看充分必要性,归纳为“小充分,大必要”即是小集合对应条件是大集合对应条件的充分条件;大集合对应条件是