问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形课件2026-2027学年数学北师大版九年级上册

第一章特殊平行四边形☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里嵌套了一

个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我

们称这个正八边形内嵌于这个正方形.正八边形内嵌于正方形，可能有哪些

情形？请你画出相应的草图.

【例1】综合与实践如图1，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案.如果一个正方形里面

嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边

上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.如图2是一个正方形.【观察判断】（1）图3中可以称为正八边形内嵌于正方形的是

⁠；A解析：根据题意得图3中可以称为正八边形内嵌于正方形的是A.

故答案为A.

【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图4所示.（2）请按照折纸的思路在图2中作内嵌正八边形并证明.（要求：尺规作

图，不写作法，保留作图痕迹）如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作.

【例2】在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD边

上的点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形.（1）如图1，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，四边形EFGH为▱ABCD

的内接四边形，对角线EG，FH都经过点O.

求证：四边形EFGH为平行四

边形；

（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规在▱ABCD中作出对角线最短的内接矩

形EFGH.

（不写作法，保留作图痕迹）解：如图.四边形EFGH（或四边形EF′GH′）即是满足条件的四边形.

如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正

三角形，E，F在菱形边上.（1）证明：不论E，F在BC，CD上如何移动，总有BE＝CF.

证明：如图，连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，BC∥AD.

∵∠BAD＝120°，∴∠B＝180°－∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.

∵△AEF为正三角形，∴AE＝AF.

∵∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF.

（2）当点E，F在BC，CD上移动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的

面积是否发生变化.如果不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大

（小）值.

1.

如图，正八边形和正方形有一边重合，则∠ABC为

⁠°.1352.

在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD边上的

点，则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形.如图，在矩形ABCD

中，AB＝4，BC＝6，若四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形，则AE的

取值范围是

⁠.

3.

下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程.已知：△ABC.

求作：菱形AEDF，使点E在AB上，点D在BC上，点F在

AC上.作法：①作∠BAC的平分线，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线，

交AB于点E，交AC于点F；③连接DE，DF.

所以四边形AEDF为所求的菱形.（1）请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）解：（1）根据小明的作法补全图形如图所示.

8

4.

已知▱ABCD.

（1）如图1，E是AD上一点，以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC

于点F，连接AF，CE.

求证：四边形AFCE是平行四边形.证明：由作图可得AE＝CF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形.4.

已知▱ABCD.

（2）图1中▱AFCE的四个顶点在▱ABCD的边上，这样的四边形叫

▱ABCD的内接四边形.在图2中用直尺和圆规作一个▱ABCD的内接菱形

（保留作图痕迹）.解：如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F，连接EF，则菱形ABEF即为所求（答案不唯一）.

5.

阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应

的任务.作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形.在实践活动课上，数学老

师提出一个问题：“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”.

实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法.方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个

直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形

ABCD的内接菱形.方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重

叠的部分形成四边形AECF，则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形

（如图2）.方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与

AD边交于点E，与BC边交于点F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩

形ABCD的内接菱形.对实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得

出矩形的最大内接菱形.任务：（1）图1中菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为

⁠；

（2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程.（保留

作图痕迹，不要求写作法）如图1所示，四边形AFCE即为所求.（3）若在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，请你根据日记中的三种方法，

通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值.方法二：如图2，∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N，AB＝CN，∴△ABF≌△CNF（AAS），∴AF＝CF.

设AF＝CF＝x.∵∠B＝90°，AB2＋BF2＝AF2，∴62＋（18－x）2＝x2，∴x＝10，∴菱形AECF的面积＝10×6＝60.方法三：同理方法二，S菱形AECF＝60，∵54＜60，∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60.

参考答案【新课导学】【例1】解：（1）A

解析：根据题意得图3中可以称为正八边形内嵌于正

方形的是A.

故答案为A.

（2）如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作.

（2）解：如图.四边形EFGH（或四边形EF′GH′）即是满足条件的四边形.变式训练2（1）证明：如图，连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，BC∥AD.

∵∠BAD＝120°，∴∠B＝180°－∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.

∵△AEF为正三角形，∴AE＝AF.

∵∠BAE＋∠EAC＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF.

（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化.∵△ABE≌△ACF，∴S△ABE＝S△ACF，∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC.

当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大，当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小.

【随堂小测】1.135

3.

解：（1）根据小明的作法补全图形如图所示.

4.

（1）证明：由作图可得AE＝CF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形.（2）解：如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交BC于点E，以点

A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F，连接EF，则菱形ABEF即

为所求（答案不唯一）.

（2）如图1所示，四边形AFCE即为所求.

∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N，