第05讲 立方根（5种题型）（教师版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第05讲立方根（5种题型）【知识梳理】一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、立方根的性质要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【考点剖析】题型一、立方根的概念 例1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1 D．【答案】D；【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【变式1】我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求1﹣的值．【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0，而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0，∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5=0，∴x=4，∴1﹣=1﹣2=﹣1．【变式2】已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【解答】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．【变式3】已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣5，b＝±2，∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，即a+b的值为﹣3或﹣7；（2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2，∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，∴a﹣3b﹣2c＝15或﹣7．题型二、立方根的计算 例2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【变式】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.题型三、利用立方根解方程例3、求下列各式中x的值：（1）3（x﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【答案与解析】解：（1）3（x﹣1）3=24，（x﹣1）3=8，x﹣1=2，x=3．（2）开立方得：x+1=﹣4，解得：x=﹣5．【变式1】求x的值：【答案】x＝﹣5【分析】根据立方根定义求解即可；解：开立方得：＝﹣3，解得：x＝﹣5．【变式2】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．题型四、立方根实际应用例4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【答案与解析】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长4.【变式1】把一个长为6cm，宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长．【解答】解：设正方体铁块的棱长为a，根据题意，长方体铁块的体积为6×4×9＝216，前后体积不变，故有a3＝216，解得a＝6．答：锻造后正方体铁块的棱长为6cm．题型五：立方根小数点位数移动规律例5.如果＝3.9522，则＝；＝39.522，则x＝；如果＝2.872，＝1.3333，则＝；＝﹣1333.3，则x＝．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x＝1562；如果＝2.872，＝1.3333，则＝0.2872；＝﹣1333.3，则x＝﹣2370000000；故答案为：395.22，1562；0.2872，﹣2370000000．【变式1】（2022·浙江台州·七年级期中）已知为整数，为计算它的值，请你思考并回答下列问题.(1)整数1至9中，立方后，个位数字为7的是；(2),,由此可知：是位数；(3)计算，，，再求的值.【答案】(1)3(2)两(3)73（1）∵偶数的立方的个位为偶数，5的立方的个位为5，1的立方的个位为1，3的立方的个位为7，7的立方的个位为3，9的立方的个位为9，∴满足条件的数是3，故答案为：3；（2）∵1000＜389017＜1000000，∴，∴为两位数，故答案为：两；（3）∵603=216000，703=343000，803=512000，∴，∴=73．【变式2】先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？【答案】（1）两；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47【详解】（1）∵1000＜59319＜1000000，∴59319的立方根是两位数；（2）∵125，343，729，∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9；（3）∵，且59319的立方根是两位数，∴59319的立方根的十位数字是3，又∵59319的立方根的个位数字是9，∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000，∴103823的立方根是两位数；∵125，343，729，∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；∵，且103823的立方根是两位数，∴103823的立方根的十位数字是4，又∵103823的立方根的个位数字是7，∴103823的立方根是47．【变式3】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【详解】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；（3），，，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2023•白银二模）一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（）A．±4 B．4 C．±2 D．2【分析】先求出棱长，然后根据算术平方根的定义进行计算即可．【解答】解：棱长＝＝4，4的算术平方根为2．故选：D．【点评】本题考查了立方根及算术平方根的定义，注意掌握一个正数的平方根为正数．2．（2023•榆阳区二模）﹣的立方根为（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】直接根据立方根的定义解答即可．【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，∴﹣的立方根为﹣．故选：A．【点评】本题考查的是立方根，熟知立方根的定义是解题的关键．3．（2023春•闽侯县期中）下列说法错误的是（）A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．2的算术平方根是 D．﹣1的立方根是﹣1【分析】根据开方运算，可得平方根，立方根．【解答】解：A、1的平方根是±1，故A错误；B、0的平方根是0，故B正确；C、2的算术平方根是，故C正确；D、﹣1的立方根是﹣1，故D正确；故选：A．【点评】本题考查了立方根，开方运算是解题关键，注意一个正数的算术平方根只有一个，一个正数的平方根有两个．4．（2022秋•永年区期末）的平方根是（）A．2 B．﹣2 C． D．±2【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：＝2，2的平方根是±，故选：C．【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．（2022秋•遂平县期末）3是27的（）A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方【分析】直接根据立方根的概念解答即可．【解答】解：∵33＝27，∴3是27的立方根，故选：C．【点评】此题考查的是立方根、平方根、算术平方根，掌握它们的概念是解决此题关键．6．（2022秋•市北区校级期末）下列说法：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1；②a2的算术平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④的算术平方根是4；其中，不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据立方根和平方根，算术平方根的性质，逐项判断即可求解．【解答】解：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1或﹣1，故本选项错误；②当a≥0时，a2的算术平方根是a，故本选项错误；③﹣8的立方根是﹣2，故本选项错误；④因为，所以的算术平方根是2，故本选项错误．所以不正确的有4个．故选：D．【点评】本题主要考查了立方根和平方根，算术平方根的性质，熟练掌握立方根和平方根，算术平方根的性质是解题的关键．7．（2023春•惠城区校级期中）若a2＝4，b3＝27，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B．5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5【分析】根据平方根和立方根的性质求得a、b，再代入a﹣b计算即可．【解答】解：∵a2＝4，b3＝27，∴a＝±2，b＝3，当a＝2时，a﹣b＝2﹣3＝﹣1，当a＝﹣2时，a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5，故选：C．【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，代数式求值，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．8．（2022秋•东明县校级期末）若4是（8+a）的一个平方根，则a的立方根是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．【解答】解：∵4是（8+a）的一个平方根，∴8+a＝16即a＝8，∴a的立方根是＝2，故选：D．【点评】本题考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是关键．9．（2023春•大兴区期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．10．（2023•珠晖区一模）下列说法中，正确的是（）①﹣64的立方根是﹣4；②49的算术平方根是7；③的平方根为±；④的平方根是．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【分析】根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别对每小题进行分析，即可得出答案．【解答】解：①﹣64的立方根是﹣4，原说法正确；②49的算术平方根是7，原说法正确；③﹣没有平方根，原说法错误；④的平方根是±，原说法错误；正确的有①②；故选：A．【点评】此题考查了立方根、平方根和算术平方根，熟练掌握立方根、平方根和算术平方根的定义是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•武侯区期末）计算：（）3＝27．【分析】根据立方根的定义计算即可．【解答】解：（）3＝33＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了立方根的定义，能熟记立方根的定义是解此题的关键．12．（2023春•息县期中）平方根等于本身的是0，算术平方根等于本身的数是0，1，立方根等于本身的数是0，1，﹣1．【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义解答．【解答】解：∵02＝0，∴平方根等于本身的是0；12＝1，02＝0，∴算术平方根等于本身的数是1；∵03＝0，13＝1，（﹣1）3＝﹣1，∴立方根等于本身的数是0，1，﹣1．故答案为0；0，1；0，1，﹣1．【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟悉它们的定义是解题的关键．13．（2023春•越秀区校级期中）已知＝102，＝0.102，则x＝0.010404，已知＝1.558，＝155.8，则y＝3780000【分析】当被开方数的小数点每移动2位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为0.102是102的小数点向左移动了3位，由此可以求出x；当被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为155.8是1.558的小数点向右移动了2位，由此求出y【解答】解：＝102，＝0.102，∴x＝0.010404，∵＝1.558，＝155.8，∴y＝3780000，故答案为：0.010404；3780000【点评】本题主要考查了立方根、算术平方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．开平方时，被开方数的小数点每移动2位，则开方的结果小数点移动一位．14．（2023春•曲阜市期中）﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据立方根的定义一个数的立方等于a那么这个数就是a的立方根求解即可．【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键．15．（2023•道县一模）一个数的立方根是﹣2，则这个数是﹣8．【分析】由于立方根和立方为互逆运算，因此只需求得﹣2的立方即可解决问题．【解答】解：∵＝﹣2，这个数＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题考查了立方根的概念，任何正数都有立方根，它们和被开方数的符号相同，比较简单．16．（2022秋•鹤壁期末）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是．【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．【解答】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．故答案为：．【点评】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．17．（2023春•江油市月考）已知2x+7y+1的算术平方根是6，8x+3y的立方根是5，则x+y的平方根为±4．【分析】利用平方根定义、立方根的定义、算术平方根的定义列等式，解二元一次方程组，再求代数式的平方根．【解答】解：∵2x+7y+1的算术平方根是6，∴2x+7y+1＝36，即2x+7y＝35，∵8x+3y的立方根是5，∴8x+3y＝125，解，得，∴x+y＝16，∴x+y的平方根为±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了实数的立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握实数的立方根、平方根、算术平方根的定义．18．（2023春•水磨沟区期末）一个正数a的两个平方根是m+7和2m﹣1，则＝3．【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得m的值，进而求得a的值，代入代数式即可求解．【解答】解：m+7+2m﹣1＝0，解得m＝﹣2，∴a＝（﹣2+7）2＝52＝25，∴a﹣m＝25﹣（﹣2）＝27，即a﹣m的立方根为3．故答案为：3．【点评】本题考查了平方根的应用、立方根，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•溧水区期末）求x的值：（1）3x2＝9；（2）（x﹣1）3+8＝0．【分析】（1）把x的系数化为1，根据平方根的定义解答即可；（2）先移项，再根据立方根的定义解答．【解答】解：（1）3x2＝9，x的系数化为1得，x2＝3，开方得，x＝±，故x1＝或x2＝﹣；（2）整理得，（x﹣1）3＝﹣8，所以，x﹣1＝﹣2，解得x＝﹣1．【点评】本题考查了立方根的定义，平方根的定义，熟记概念是解题的关键．20．（2022秋•莲湖区期末）已知x是36的算术平方根，正数y的平方是100，z是64的立方根，求x+y﹣z的值．【分析】由算术平方根，立方根的定义，即可计算．【解答】解：∵x是36的算术平方根，∴x＝6，∵正数y的平方是100，∴y＝10，∵z是64的立方根，∴z＝4，∴x+y﹣z＝6+10﹣4＝12．【点评】本题考查算术平方根，立方根，关键是掌握算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．21．（2022秋•渌口区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．（1）求a和x的值；（2）求4x+9a的平方根和立方根．【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数求解．（2）将（1）中结果代入求解．【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根互为相反数，∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，解得：a＝﹣1，∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9；（2）∵4x+9a＝4×9+9×（﹣1）＝27，∴，27的立方根为3．【点评】本题考查的是平方根的知识，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数．22．（2023春•漳平市期中）已知1﹣2a的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是﹣2，求a+b+3的平方根．【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的方程求出a和b，再代入进行计算求出a+b+3的值，然后根据平方根的定义求解．【解答】解：∵1﹣2a的平方根是±3，∴1﹣2a＝9，∴a＝﹣4，又∵3a+b﹣1的立方根是﹣2，∴3a+b﹣1＝﹣8，∴b＝5，∴a+b+3＝﹣4+5+3＝4，∴a+b+3的平方根是±2．【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．23．（2023春•樟树市期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的表面积．【分析】（1）直接利用立方体体积求法进而得出答案；（2）利用已知表示出长方体的体积，进而得出答案．【解答】解：（1）设魔方的棱长为xcm，可得：x3＝216，解得：x＝6答：该魔方的棱长6cm；（2）设该长方体纸盒的长为ycm，则6y2＝600，故y2＝100，解得：y＝±10因为y是正数，所以y＝1010×10×2+10×6×4＝440（平方厘米）答：该长方体纸盒的表面积为440平方厘米．【点评】此题主要考查了立方根以及算术平方根，正确把握相关定义是解题关键．24．（2023春•景县期中）已知：x的平方根是a+3与2a﹣15，且＝3（1）求a，b的值：（2）求x的值；（3）求a+b﹣1的立方根．【分析】（1）根据一个正数的平方根有两个它们互为相反数，列出方程求得a，根据算术平方根的定义求得b；（2）根据平方与平方根的互逆关系进行解答；（3）根据立方根的定义进行计算．【解答】解：（1）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，∵＝3，∴b＝5；（2）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，∴x＝（a+3）2＝（4+3）2＝49；（3）．【点评】本题主要考查了平方根与立方根，算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键．25．（2023春•庐阳区校级期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如