第1章勾股定理全章复习与测试 （解析版）

第1章勾股定理全章复习与测试【知识梳理】一、勾股定理1．勾股定理如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．注意：=1\*GB3①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．=2\*GB3②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．2．直角三角形斜边上的高=1\*GB3①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．=2\*GB3②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形四、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.五.勾股定理的逆定理1．勾股定理逆定理如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．注意：=1\*GB3①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．=2\*GB3②当满足时，是斜边，是直角．=3\*GB3③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．【考点剖析】一．勾股定理（共8小题）1．（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由角平分线的性质得出AD＝DE，证明Rt△BAD≌Rt△BED（HL），得出BA＝BE＝3，由勾股定理求出AC＝4，则可得出答案．【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，∴AD＝DE，在Rt△BAD和Rt△BED中，，∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL），∴BA＝BE＝3，∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC＝4，∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6．故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．2．（2022秋•巴中期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．10 B．13 C．15 D．26【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝8，y2＝5，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2．【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：x2＝3+5＝8，y2＝2+3＝5，z2＝x2+y2＝13，即最大正方形E的面积为：z2＝13．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．（2022秋•辉县市校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，记△ABF、△BEC，△ADC的面积分别是S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是（）A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2+S3【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形，∴S1＝AB2，S2＝EC2＝BC2，S3＝AD2＝AC2，S2+S3＝BC2+AC2＝AB2，∴S2+S3＝S1，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．4．（2023春•渝北区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，BD平分∠ABC，过A点作AE∥BC交BD于点E，EF⊥BC于点F．若AB＝7，则EF的长为3.5．【分析】过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，根据题意可知，∠ABM＝30°，可求AM＝3.5，再利用平行线间距离处处相等，可得EF．【解答】解：过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，∵∠ABC＝150°，∴∠ABM＝30°，∴，∵AM⊥CB，EF⊥BC，AE∥BC，∴根据平行线间的距离处处相等可得：EF＝AM＝3.5，故答案为：3.5．【点评】本题考查的是勾股定理，涉及到含30°的直角三角形的性质和平行线的性质，作恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．5．（2022秋•阳城县期末）如图，已知Rt△ABC的三边长分别为6、8、10，分别以它们的三边作为直径向外作三个半圆，则图中阴影部分的面积为24．【分析】根据图形关系可得阴影部分面积为：．【解答】解：因为Rt△ABC的三边长分别为6、8、10，所以62+82＝102，由已知可得：图中阴影部分的面积为＝24．故答案为：24．【点评】此题考查的是勾股定理，弄清图形的面积和差关系是关键．6．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则BD的长是．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据垂直定义可得∠AED＝∠AFD＝∠BED＝90°，从而可得四边形AEDF是矩形，进而可得AE＝DF，然后利用角平分线的性质可得DE＝DF，再利用面积法求出DE＝DF＝，从而求出BE的长，最后在Rt△BED中，利用勾股定理，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，∴∠AED＝∠AFD＝∠BED＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∴AE＝DF，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵AB＝4，AC＝3，∴AB•DE+AC•DF＝AB•AC，∴×4•DE+×3•DF＝×4×3，解得：DE＝DF＝，∴AE＝DF＝，∴BE＝AB﹣AE＝，在Rt△BED中，BD＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二．勾股定理的证明（共6小题）7．（2022秋•和平区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×b；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．故能够验证勾股定理的有3个．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．8．（2022秋•郸城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想 B．数形结合思想 C．分类思想 D．方程思想【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．9．（2022秋•巴中期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝4，则S2的值是．【分析】设其中一个直角三角形的面积为x，则S1＝S3+8x，S2＝S3+4x，再根据S1+S2+S3＝4，可得答案．【解答】解：设其中一个直角三角形的面积为x，则S1＝S3+8x，S2＝S3+4x，∵S1+S2+S3＝4，∴S3+8x+S3+4x+S3＝4，∴S3+4x＝，∴S2的值是，故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理，图形面积的关系，表示出S1和S2是解题的关键．10．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立；（2）①根据AAS可以证明结论成立；②根据S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母计算即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022秋•金牛区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB＝15，AH＝9，则四边形GFEH的面积为9．【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得AE＝12，HE＝3，再由正方形的性质即可得出答案．【解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，∴AH＝DE＝9，AD＝AB＝15，在Rt△ADE中，AE＝12，∴HE＝AE﹣AH＝12﹣9＝3，∵四边形EFGH是正方形，∴四边形GFEH的面积为9，故答案为：9．【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．三．勾股定理的逆定理（共3小题）12．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为6.5cm．【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【解答】解：∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，∴它的最长边上的中线为．故答案为：6.5．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．四．勾股数（共2小题）13．（2022秋•平昌县期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、7【分析】欲判断三个数是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数，不符合题意；B、62+82＝102，是勾股数，不符合题意；C、52+122＝132，是勾股数，不符合题意；D、32+52≠72，不是勾股数，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股数的定义，会判断一组数是不是勾股数是解题的关键．14．（2022秋•望花区校级期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．1，2，2 B．32，42，52 C．5，12，13 D．6，6，6【分析】根据勾股数的定义：两数的平方和等于一个数的平方，逐项验证即可得到答案．【解答】解：A、12＝1，22＝4，22＝4，1+4≠4，根据勾股数的定义，这组数不是勾股数，不符合题意；B、（32）2＝81，（42）2＝256，（52）2＝625，81+256≠625，根据勾股数的定义，这组数不是勾股数，不符合题意；C、由52＝25，122＝144，132＝169得25+144＝169，根据勾股数的定义，这组数是勾股数，符合题意；D、62＝36，62＝36，62＝36，36+36≠36，根据勾股数的定义，该选项不是勾股数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查勾股数定义，根据定义逐项验证是解决问题的关键．五．勾股定理的应用（共6小题）15．（2022秋•成都期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了6米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！【分析】在Rt△ABC中，直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC﹣AB进而得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝7m，BC＝24m，∴AB＝25（m），则AC+BC﹣AB＝7+24﹣25＝6（m），故答案为：6．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．16．（2022秋•婺城区期末）图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．（1）当∠CAB＝∠DBA＝60°时，双门间隙CD与门槛宽度AB的比值为．（2）若双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离AB都为1尺（1尺＝10寸），则门槛宽度AB是101寸．【分析】（1）过D作DE∥AC交AB于你E，得到△DEB是等边三角形，四边形AEDC是平行四边形，从而推出CD＝AB，即可得到答案；（2）作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，得到RtACM≌Rt△BDN，得到AM＝BN，设AM＝x寸，则BN＝x寸，由勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．【解答】解：（1）过D作DE∥AC交AB于E，∵∠CAB＝∠DBA＝60°，∴∠DEA＝∠A＝60°，∵∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠DEA＝60°，∴∠B＝∠DEB＝∠EDB，∴△EDB是等边三角形，∴BE＝BD＝DE，∵AC＝BD，∴AC＝DE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴CD＝AE，∵AC+BD＝AB＝AE+BE＝2BD＝2BE，∴AE＝BE，∴＝，∴双门间隙CD与门槛宽度AB的比值为，故答案为：；（2）作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，∵点C和点D距离AB都为1尺，∴CM＝DN＝10（寸），∵AC＝BD，∴RtACM≌Rt△BDN（HL），∴AM＝BN，设AM＝x寸，则BN＝x寸，∵CD＝2寸，∴AB＝（2x+2）（寸），∵AC+BD＝AB，AC＝BD，∴AC＝（x+1）（寸），∵AC2＝AM2+CM2，∴（x+1）2＝x2+102，∴2x+1＝100，∴AB＝2x+2＝100+1＝101（寸），∴门槛宽度AB是101寸．故答案为：101．【点评】本题考查勾股定理的应用，等腰梯形，关键是通过作辅助线把梯形转化成三角形，平行四边形来解决问题．17．（2022秋•内乡县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？【分析】由题意得AB＝24海里，∠BAC＝90°，BC＝30海里，再由勾股定理求得AC的长，即可解决问题．【解答】解：由题意得：AB＝12×2＝24（海里），BC＝30海里，∠BAC＝180°﹣35°﹣55°＝90°，∴AC＝18（海里），∴乙船的航速是18÷2＝9（海里/时），答：乙船的航速是9海里/时．【点评】本题考查了勾股定理的应用及方向角，熟练掌握方向角的概念，由勾股定理求出AC的长是解题的关键．六．平面展开-最短路径问题（共3小题）18．（2022秋•东明县校级期末）空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A有一只飞虫，要吃到B点的食物，最短路径的长是（）A．6 B．7 C．13 D．10【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线的长13，故选：C．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．19．（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为25cm（杯壁厚度不计）．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，∴B'D＝15cm，AD＝22﹣5+3＝20（cm），连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝25（cm）．故答案为：25．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）△ABC三边长分别为a，b，c，且a：b：c＝3：4：5，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了比例线段和直角三角形的判定方法．如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．2．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝5cm，则第三边AB的长为（）A．18cm B．12cm C．8cm D．6cm【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方进行计算即可．【解答】解：∵∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝5cm，∴AB＝12（cm），故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理内容．3．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（）A．7，12，13 B．5，9，12 C．3，4，6 D．40，50，30【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵302+402＝502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．5．（3分）连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部端5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（）A．3米 B．4米 C．12米 D．13米【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+1）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+1）米，在Rt△ABC中，BC＝5米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，∴AB＝12．∴旗杆的高12米，故选：C．【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理求解．6．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或7【分析】分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．【解答】解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方＝32+42＝25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方＝42﹣32＝7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键，注意分类讨论，避免漏解．7．（3分）下列条件能确定三角形ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝40°，∠B＝50° C．AB＝AC D．AB＝2，AC＝3，BC＝4【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠A＝∠B＝∠C＝60°，不是直角三角形，不符合题意；B、∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°，是直角三角形，符合题意；C、AB＝AC，是等腰三角形，不一定是直角三角形，不符合题意；D、22+32≠42，不是直角三角形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形的内角和等于180°．8．（3分）如图，一梯子AB斜靠在一竖直墙AC上，测得梯子的顶端到地面的距离为8m，若梯子的顶端A沿墙下滑2m到点E，此时梯子的底端B滑到了D处，测得BD＝2m，则梯子AB的长度为（）A．16m B．14m C．12m D．10m【分析】设BC＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，即可求出AB的长度．【解答】解：设BC＝xm，依题意，得AE＝2m，BD＝2m，AC＝8m，在Rt△ACB中，根据勾股定理得AB2＝AC2+CB2＝82+x2，在Rt△CED中，根据勾股定理ED2＝CE2+CD2＝（8﹣2）2+（x+2）2，∴82+x2＝（8﹣2）2+（x+2）2，解得x＝6，∴AB＝10，答：梯子AB的长为10m．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB＝CD是解题的关键．9．（3分）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为（

）A．25 B．5 C．16 D．12【答案】A【分析】根据正方形的性质证，推出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，∵根据正方形的性质得：，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，在中，由勾股定理得：，则正方形B的面积为25．故选：A．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出的长．10．（3分）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可．【详解】解：如图，连接．

在中，∵，∴AC=15m，又∵，∴是直角三角形，∴这块地的面积．故答案为：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入______元【答案】10800【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得为直角三角形，CD为斜边；由此可知，四边形ABCD由和构成，即可求解．【详解】解：在中，∵，∴AC=5．在中，，，而，即，∴，即：=．所以需费用：（元）．故答案为10800．【点睛】本题考查了勾股定理，逆定理的相关知识，以及割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．12．（4分）已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为96cm2．【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．【解答】解：∵122+162＝202，∴此三角形是直角三角形，∴此直角三角形的面积为：×12×16＝96（cm2）．【点评】能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形．然后进一步计算面积．13．（4分）如图，有一段楼梯AC长为15米，由于这段楼梯较陡，为了方便行人通行，现准备新修一条楼梯AD．已知AD＝20米，CD＝7米，则楼梯的高度AB为12米．【分析】直接利用勾股定理求出BC的长，进而得出AB的长．【解答】解：设BC＝x，则在Rt△ACB和Rt△ADB中，AB2＝AD2﹣BD2，AB2＝AC2﹣BC2，故202﹣（7+BC）2＝152﹣BC2，解得：BC＝9，∴AB2＝152﹣92＝144，∴AB＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出BC的长是解题关键．14．（4分）于，有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是_________．【答案】①②③【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．【详解】解：①是直角三角形；②设，则，，∵，∴，∴是直角三角形；③∴是直角三角形；④时，，∴是锐角三角形；故能确定是直角三角形的有①②③．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．15．（4分）如图，在正方形方格纸中，∠α与∠β的度数和为90°．【分析】首先判定△ABC≌△DEF，进而可得∠1＝α，再根据余角的性质可得答案．【解答】解：在△ABC和DEF中，，∴△DAE≌△CAB（SSS），∴∠1＝∠α，∵∠2+∠α＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90°．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16．（4分）如图，标有“长”“街”“镇”三字的三个正方形围成一个直角三角形，正方形“长”“街”的面积分别为81、400，则图中标有“镇”字的正方形面积是319．【分析】观察可看出标有“镇”字的正方形面积等于直角三角形的长直角边的平方，已知斜边和另一较短的直角的平方，则不难求得标有“镇”字的正方形面积．【解答】解：根据勾股定理和正方形的面积公式，得标有“镇”字的正方形面积＝400﹣81＝319．故答案是：319．【点评】此题考查了运用勾股定理，结合正方形的面积公式可以证明：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．17．（4分）如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，DE交AC于点O，已知AB＝6，BE＝4，OD＝2，则四边形OCFD的面积为20．【分析】根据平移的性质可得DE＝AB＝6，然后可求OE，再由平移可得S阴影＝S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO．然后根据梯形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB＝6，∴DE＝6，OD＝2，∴OE＝4，∵直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF，∴S阴影＝S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO＝＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了平移的基本性质，三角形的面积，利用平移的性质得到S阴影＝S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO是关键．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．【分析】在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC的周长．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD﹣DC＝20+13+16﹣5＝44，即：△ABC的周长是44．【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理公式是解决问题的关键．19．（6分）如图，在四边形ABCD中，，，，，，求证：∠C=90°．【答案】见解析【分析】连接，勾股定理求得的值，进而根据，即可得证．【详解】解：如图，连接，∵，，，∴,∵，，∴,∴是直角三角形，且．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．20．（6分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【分析】过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝1000米．利用S△ABC＝AB•CD＝BC•AC得到CD＝480米．再根据480米＞400米可以判断没有危险．【解答】解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以，根据勾股定理有AB＝1000（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝480（米）．由于450米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）21．（8分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？【答案】E点应建在距A站10千米处．【分析】根据产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在和中，设出的长，可将和的长表示出来，列出等式进行求解即可．【详解】解：设，∵C、D两村到E站的距离相等，∴，即，由勾股定理，得,∴，解得．∴E点应建在距A站10千米处．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．22．（8分）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．【分析】利用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题．【解答】解：由图可知：S正方形＝4×ab+（b﹣a）2＝2ab+b2+a2﹣2ab＝a2+b2．S正方形＝c2，所以a2+b2＝c2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积得出是解题关键．23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝7，AC＝8，AD⊥BC于D，求BC的长．【解答】解∵AD⊥BC，∠C＝60