第01讲 探索勾股定理（解析版）

第01讲探索勾股定理一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.例1．直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（

）A．13 B．14 C． D．1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理，即可求得斜边长.由题意得，该直角三角形的斜边长为：故选：A.【点睛】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理即可解题.例2．中，，，，于D，则_________，_________，_________，_________，_________．【答案】

2

3

1

【解析】【分析】根据勾股定理可以求出AC，根据直角三角形的面积公式，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD可以求出CD的长，再利用勾股定理即可求出BD、AD的长．解：如图：根据勾股定理AC2＝AB2−BC2＝16−12＝4，∴AC＝2，根据直角三角形的面积公式，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD即×2×4＝×4•CD，解得CD＝，BD＝,AD＝AB−BD＝4−3＝1,S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，故答案为：2；；3；1；．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及直角三角形的面积计算．例3．是的高且，，则____．【答案】【解析】【分析】由∠A：∠B：∠C=1:2:3，可得∠C=90°，∠A=30°，由AB=m可得CB=，由勾股定理可得AC=，通过面积计算可得CD长度．∵∠A：∠B：∠C=1:2:3，∴∠C=90°，∠A=30°，∵AB=m，∴CB=，则AC==，由等积法可得：，即：，解得：CD=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，有一个角是的直角三角形的边长关系，勾股定理，以及等积法求三角形的高的问题，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．例4．中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为_____．【答案】8【解析】【分析】利用勾股定理将转化为，再求值即可．∵中，BC为斜边，且，∴，∴，故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题关键．例5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（

）A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理即可得到结果．解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．例6．已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，AC边的长为（）A．3 B． C．3或 D．【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求解即可．解：如图所示，∵∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，∴．故选：A．【点睛】此题考查了勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．例7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形面积求出CD的长．解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB=13，∴×AC×BC=×CD×AB∴5×12=13CD，解得：CD=，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积，熟练利用三角形面积求出是解题关键．例8．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（

）．A．90 B．100 C．110 D．120【答案】B【解析】【分析】由中，，得，结合正方形的面积公式，得+=，进而即可得到答案．解：∵中，，∴,∵=，=，=，∴+=，∵，，∴36+64=100．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与正方形的面积，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．例9．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【分析】根据题意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．如图所示，∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，∴由题意可得，＝S正方形DEFA－故选：B．【点睛】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到＝S正方形DEFA－．例10．如图，正方形ABCD的项点A，D在数轴上，且点A表示的数为－1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取，则点E所表示的数为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求出，再根据求出点E所表示的数．解：，，表示的数为：，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是是利用勾股定理求出．例11．下面图形能够验证勾股定理的有（）个A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解析】【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；故选：A．【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．例12．如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值（

）A．不存在 B．等于1cmC．等于2cm D．等于2.5cm【答案】C【解析】【分析】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．一、单选题1．斜边长是4的直角三角形，它的两条直角边可能是（

）A．3， B．2，3 C．3，5 D．2，2【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边4，逐项分析即可．解：∵直角三角形的斜边为4，则．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．2．如图，在中，，，，D为AB上一动点，当时，的周长为（

）A．14 B．15 C．16 D．18【答案】C【解析】【分析】勾股定理求得的长，进而根据三角形周长公式求解，根据进行线段的转化即可解：在中，，，，的周长为故选C【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．3．已知中，，，，则的周长等于（

）A．11 B． C．12 D．13【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求出BC即可求解。解：∵，，，∴∴的周长=AC+BC+AB=4+3+5=12.故选：C．【点睛】本题考查勾股定理．掌握勾股定理是解答本题的关键．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，已知a：b=5：12，c=26，则△ABC的面积为（

）A．96 B．98 C．108 D．120【答案】D【解析】【分析】由a与b的比值，设a=5k，b=12k，再由c的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，得出a、b的长，即可求出△ABC的面积．解：∵a：b=5：12，∴设a=5k，b=12k，在Rt△ABC中，a=5k，b=12k，c=26，根据勾股定理得：a2+b2=c2，即25k2+144k2=676，解得：k=2或k=-2（舍去），则a=5k=10，b=12k=24，∴△ABC的面积=ab=×10×24=120．故选：D．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出a和b是解本题的关键．5．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．解：∵AC＝6cm、BC＝8cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，故E为AB的中点，∴AE=BE=5，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．6．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【解析】【分析】根据图形先求出的面积，然后过点B作AC边的垂线BD，根据三角形的面积公式得出边上的高即可．如图，过点B作AC边的垂线，垂足为D，∵，∴，∵由勾股定理知：，∴，∴．故答案选：C．【点睛】本题主要考查网格图中图形的面积的计算，勾股定理和三角形面积公式，正确算出图形的面积与底边的长度是解答本题的关键．7．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（

）．A．90 B．100 C．110 D．120【答案】B【解析】【分析】由中，，得，结合正方形的面积公式，得+=，进而即可得到答案．解：∵中，，∴,∵=，=，=，∴+=，∵，，∴36+64=100．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与正方形的面积，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案．过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°，∵AD⊥AB，AC⊥BC，∴∠DAB＝∠ACB＝90°，∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DAE＝∠B，又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°，∴△DAE≌△ABC（AAS），∴AE＝BC，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AE＝CE，设BC＝x，则AC＝2x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴（2x）2＋x2＝22，∴x＝，即BC＝，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．如图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=4，AB=5，将四个直角三角形中边长4的直角边分别向外延长一倍，得到如图（2）所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线部分）周长是（

）A．36 B． C． D．52【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理求出BC以及BE，即可得到图形的周长．解：∵∠ACB=90°，AC=AE=4，AB=5，∴，∵CE=2AC=8，∴,∴这个风车的外围（实线部分）周长是4AE+4BE=，故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解图形中各线段的关系是解题的关键．10．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝16，∴•（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴h＝4×2，∴h＝，∴点F到BC的距离为．故选：C【点睛】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．二、填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．【答案】

4

【解析】【分析】由勾股定理求出BC的长，再由面积法求出CD的长即可．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，∴CD＝，故答案为：4，．【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________．【答案】74或24【解析】略13．如图，在数轴上点A表示的实数是________．【答案】【解析】【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长所以点A表示的实数是故答案为【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．14．在平面直角坐标系中，点在第三象限，且点P到y轴的距离为3，则点P到坐标原点的距离为___________．（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】根据P点坐标特征，求得a的值，于是可得P点坐标，再由两点距离公式求得OP即可；解：∵点P到y轴的距离为3，∴|2a+1|=3，∵点P在第三象限，∵2a+1＜0，∴2a+1=-3，∴a=-2，∴点P坐标（-3，-3），∴点P到坐标原点的距离=，故答案为：；【点睛】本题考查了坐标的特征，勾股定理，掌握两点距离的计算方法是解题关键．15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则与的大小关系是：_______（填“>”，“=”或“<”）．【答案】【解析】【分析】利用三角形中“大边对大角”进行判断．解：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了比较三角形内角的大小关系，勾股定理，解决本题的关键是将角的大小关系转化为角的对边的大小关系．16．如图，，，，则OD＝______．【答案】【解析】【分析】利用勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解．解：在中，AB=1，，∴，在中，BC=1，∴，在中，CD=1，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．17．如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．【答案】

12；

s1+s2=s3【解析】【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．18．已知在三角形中，，，为边上的高，且，则________．【答案】7或17【解析】【分析】结合题意，画出图形，高可能在形内，也可能在形外，根据勾股定理求解即可．解：当高在内部时，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，当高在外部时，同理可得，，，故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理求线段长，解题关键是明确高可能在三角形内，也可能在三角形外，熟练运用勾股定理进行求解．三、解答题19．求出下列直角三角形中未知边的长度．【答案】，【解析】【分析】直接根据勾股定理计算即可．解：图1中：x＝；图2中：y＝．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．【答案】△ABC的面积为，CD的长为cm【解析】【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高．解：∵∠ACB=90∴∵∴∴答：△ABC的面积为，CD的长为cm．【点睛】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变．21．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，，，．求BD的长．【答案】8【解析】【分析】运用勾股定理分别求出AO、OD，根据BD=OD-OB即可求得．解：在Rt△AOB中，，AB＝25，OB＝7，∴，∴，在Rt△COD中，，，∴，∴，∴BD的长为8．【点睛】本题考查了勾股定理．掌握勾股定理是解题的关键．22．如图，在中，，，，是边上的中线，求的长．【答案】AD=【解析】【分析】先通过勾股定理证明△ABC为直角三角形，再求AD长．∵∴△ABC为直角三角形∵BD=BC=5∴【点睛】本题考查勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是本题关键．23．如图，以为斜边分别作和，若，，求的长．【答案】【解析】【分析】用勾股定理先计算AB，再用勾股定理计算AC即可．解：根据题意可得．∵，∴．在中，，∴．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．24．如图，在△ABC中，，，．求(1)△ABC的面积；(2)斜边AB；(3)高CD．【答案】(1)30(2)13(3)【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算；（2）根据勾股定理计算；（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．(1)∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴S△ABC＝×AC×BC＝×5×12＝30；(2)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴根据勾股定理可得：；(3)∵三角形的面积为30，斜边长为13，∴，即．【点睛】本题考查了是勾股定理的应用、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．25．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以的速度向终点运动，点从点出发沿方向以的速度向终点运动，，两点同时出发，设点的运动时间为秒．(1)求的长；(2)当时，求，两点之间的距离；(3)当时，求的值？【答案】(1)(2)(3)秒【解析】【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；（2）当t=2时，表示出BP、BQ的长度，运用勾股定理求解即可；（3）根据题意表示出AP、CQ的长度，列方程求解即可．(1)解：在中，，，，cm，∴BC的长为24cm．(2)解：如图，连接，由题意可知：AP=t=2，，，在中，由勾股定理得到：；∴P、Q两点之间的距离为13cm．(3)解：设秒后，,则，解得．答：t的值为．【点睛】本题考查了勾股定理和一元一次方程的定义，解题的关键是表示相应线段长，运用勾股定理求解．26．如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．(1)若，求的值．(2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？【答案】(1)(2)①36；②【解析】【分析】（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．（2）①如图1，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解．(1)解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC，∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x＝，∴S1＝BD×DE＝＝．(2)解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，∵S△ABE=AB×DE=BE×AC，∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，解得DE=x，∴S1=BD×DE=×2x×x=x2；如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，∴AH=x，AN=3x-HN，∵S△ABN=AB×HN=AN×BC，∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，解得HN=x，∴S2=AH×HN=×x×x=x2，∵S1+S2=13，∴x2+x2=13，解得x2=