第04讲 勾股定理（解析版）

第四讲勾股定理目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一勾股定理的证明 1考点二勾股定理的逆定理 2考点三勾股定理的基础应用 3知识导航知识导航必备知识点1.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a

2+b

2＝c

2）【注意】勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a

2+b

2＝c

2，那么这个三角形是直角三角形。【注意】勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c（2）验证c

2与a

2+b

2是否具有相等关系:若c

2＝a

2+b

2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

；若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。考点一勾股定理的证明1．勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2＝25，故①正确；∵小正方形面积为1，∴小正方形的边长为1，∴a﹣b＝1，故②正确；∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴ab＝（25﹣1）÷4，解得ab＝12，故③正确；∵a2+b2＝25，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，∴a+b＝7，故④正确；故选：D．2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．B、梯形的面积为：＝；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝，∴＝，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．C、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．3．如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵AB∥DE，AB⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°，故①②正确；∵AB∥DE，AB⊥BD，∴四边形ABDE的面积是；故③正确；∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，∴ab，∴a2+b2＝c2．故③④⑤都正确．故选：A．考点二勾股定理的逆定理4．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝2，b＝4，c＝2 C．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 D．（b+c）（b﹣c）＝a2【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故选项A能判定△ABC是直角三角形；B、∵22+42＝（2）2，∴选项A能判定△ABC是直角三角形；C、设∠A、∠B、∠C的度数分别为5x°、12x°、13x°，∵5x°+12x°＝17x°，∴∠C≠90°，故选项C不能判定△ABC是直角三角形；D、∵（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2＝a2，∴a2+c2＝b2，∴∠B＝90°，故选项D能判定△ABC是直角三角形．故选：C．5．判断下列四组数据，不可以作为直角三角形三条边的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．4，3，5 C．8，15，17 D．1，2，3【解答】解：A．∵0.32+0.42＝0.52，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵32+42＝52，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵82+152＝172，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．6．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，则添加下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝2：2：1 B．a2+b2＝c2 C．a：b：c＝5：12：13 D．a：b：c＝4：5：3【解答】解：A．∵a：b：c＝2：2：1，∴b2+c2≠a2，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵a：b：c＝4：5：3∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．7．下列各组数中，能构成直角三角形的为（）A．1，1，2 B．15，21，25 C．7，24，25 D．6，12，13【解答】解：A．∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵152+212≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵72+242＝252，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；D．∵62+122≠132，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．考点三勾股定理的基础应用8．直角三角形的两条直角边长分别为9和12，则该直角三角形的斜边长为（）A．13 B．14 C． D．15【解答】解：由勾股定理得，斜边为＝15，故选：D．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，即（x+2）2＝x2+42，解得x＝3，∴AC＝3．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为（）A．8 B．10 C．13 D．15【解答】解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DB＝DA，设DB＝x，则CD＝BC﹣DB＝18﹣x，∵∠C＝90°，AC＝12，∴AD2＝CD2+AC2，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得x＝13，即BD＝13，故选：C．11．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则AD的长等于（）A． B． C． D．7【解答】解：过B点作BH⊥AC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，∵AB＝6，∠BAC＝60°，∴BH＝3，∴S△ABC＝BH•AC＝×3×8＝12，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∠DAE＝30°，∵S△ABC＝AB•DE+AC•DF＝12，∴3DE+4DF＝12，∴DE＝，∴AD＝2DE＝，故选：C．12．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AC⊥BC，且AD＝CD＝AB＝2，则BC为（）A．1 B． C． D．【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，∵AD⊥AB，AC⊥BC，∴∠DAB＝∠ACB＝90°，∴∠DAE+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠DAE＝∠B，又∵AD＝AB，∴△DAE≌△ABC（AAS），∴AE＝BC，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AE＝CE，设CB＝x，则AC＝2x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2x）2+x2＝22，∴x＝，∴BC＝，故选：B．13．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，以AC、AB为边分别作等边三角形△ACE、△ABF，△ACE、△ABF的面积分别为S1、S2，若BC2＝，那么S1+S2＝（）A．2 B． C．6 D．12【解答】解：过点F作FD⊥AB，如图，∵△ABF是等边三角形，∴AD＝AB，AF＝AB，∴DF＝＝＝AB，∵△ABF的面积为S2，∴AB•DF＝S2，整理得：AB2＝S2，同理可求AC2＝S1，∵∠CAB＝90°，BC2＝，∴AB2+AC2＝BC2，∴S2+S1＝8，解得：S1+S2＝6．故选：C．二．解答题（共6小题）14．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x+0.6﹣1.2）m，故x2＝2.42+（x+0.6﹣1.2）2，5.76﹣1.2x+0.36＝0解得：x＝5.1，答：绳索AD的长度是5.1m．15．如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？【解答】解：∵AC+AB＝16米，∴AB＝（16﹣AC）米，∵BC＝8米，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，∴AC2+82＝（16﹣AC）2，解得AC＝6，即这棵树在离地面6米处被折断．16．如图，把一块直角三角形（△ABC，∠ACB＝90°）土地划出一个三角形（△ADC）后，测得CD＝1.5米，AD＝2米，BC＝6米，AB＝6.5米．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BC＝6米，AB＝6.5米，∴AC＝＝＝2.5（米），∵CD＝1.5米，AD＝2米，∴AD2+CD2＝AC2＝6.25，∴∠ADC＝90°；（2）解：图中阴影部分土地的面积＝AC•BC﹣AD•CD＝×2.5×6﹣×2×1.5＝6（平方米）．17．已知，如图，一块四边形ABCD土地，AB＝6m，AD＝8m，BC＝15m，CD＝5m，且∠A＝90°，求这块四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD，如图所示：∵∠A＝90°，∴BD＝＝＝10（m）；∵102+（5）2＝152，∴BD2+CD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝AB•AD+BD×CD＝×6×8+×10×5＝（24+25）（m2），答：这块四边形ABCD的面积为（24+25）m2．18．如图，梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，AO为2.4m，OB为0.7m．（1）求梯子AB的长；（2）梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．【解答】解：（1）∵AO为2.4m，OB为0.7m，∴AB＝＝2.5（m），答：梯子AB的长为2.5m；（2）在Rt△COD中，CD2＝CO2+OD2，即DO＝＝3（m），故BD＝OD﹣OB＝3﹣0.7＝2.3（m），答：BD的长为2.3m．19