第08讲 期中复习（解析版）

第八讲期中复习一．选择题（共8小题）1．下列四个实数中无理数是（）A．﹣1 B． C． D．【解答】解：A、﹣1是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B、是无理数，故本选项符合题意；C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：B．2．在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：点（1，5）所在的象限是第一象限．故选：A．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝3，BD＝2，CD＝1，则AC的长为（）A．6 B． C． D．4【解答】解：如图，∵在△ABC中，AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，AB＝3，BD＝2，∴AD＝＝＝在Rt△ADC中，AD＝，CD＝1，∴AC＝＝＝故选：B．4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选：A．5．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC＝3×16÷2＝24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝30cm．故选：C．6．有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（）A． B．9 C．3 D．2【解答】解：由题意可得：81的算术平方根是9，9的算术平方根是3，则3的算术平方根是，故输出的y是．故选：A．7．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，DC＝，AD＝，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵连接AC，∠ABC＝90°在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∴在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝8，又∵DC＝，AD＝，∴DC2＝18，AD2＝26，∴在三角形ACD中有：DC2+AC2＝18+8＝26＝AD2，∴三角形ACD是直角三角形，∠DCA＝90°，∴四边形ABCD的面积＝三角形DCA的面积+三角形ABC的面积＝DC×AC+AB×BC＝×3×2+×2×2＝8，故选：B．8．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（）A．6 B．9 C．12 D．16【解答】解：，②﹣①×2得（a﹣2）x＝4，解得x＝，∵关于x、y的方程组的解为整数，∴a＝﹣2，0，1，3，4，6，∴满足条件的所有a的值的和为﹣2+0+1+3+4+6＝12．故选：C．二．填空题（共4小题）9．的算术平方根是3．【解答】解：∵＝9，又∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3，∴9的算术平方根是3．即的算术平方根是3．故答案为：3．10．已知点P（2k+1，k﹣4）到两坐标轴的距离相等，那么k的值为﹣5或1【解答】解：∵点P（2k+1，k﹣4）到两坐标轴的距离相等，∴2k+1＝k﹣4或2k+1＝﹣（k﹣4），解得：k＝﹣5或k＝1，故答案为：﹣5或1．11．若是方程2x+y＝1的一个解．则6a+3b+2＝5．【解答】解：把代入方程2x+y＝1得：2a+b＝1，则6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝3×1+2＝5，故答案为：5．12．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为．【解答】解：根据折叠的性质可知CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，∴B′D＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴AC•BC＝AB•CE，∵根据勾股定理求得AB＝5，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝，∴B′F＝．故答案为：．三．解答题（共6小题）13．计算：（1）﹣+（+1）×（﹣1）；（2）（+）×﹣2．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+3﹣1＝+2；（2）原式＝（2+）×﹣＝3×﹣＝9﹣＝8．14．解方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），①×2+②，得5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得y＝﹣2，故方程组的解为；（2）方程组整理，得，②﹣①，得y＝﹣7，把y＝﹣7代入①，得x＝26，故方程组的解为．15．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A（﹣2，2），点B（﹣3，﹣1），点C（﹣1，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）求出△A1B1C1的面积．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（2，2）；（2）△A1B1C1的面积为：2×3﹣×1×1﹣×2×2﹣×1×3＝216．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若AB＝6，BC＝8，求AF的长，【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，由折叠得：DE＝CD，∠C＝∠E＝90°，∴AB＝DE，∠A＝∠E＝90°，…2分∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS）；…3分（2）解：∵△ABF≌△EDF，∴BF＝DF，…4分设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2，即（8﹣x）2＝x2+62，…6分x＝，即AF＝…7分17．某出租车公司有A、B两种不同型号的汽车，用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案．（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【解答】解：（1）设一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，由题意可得，，解得，答：一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；（2）由题意可得，3a+4b＝31，∵a、b均为正整数，∴，或，∴该物流公司共有三种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆；（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，费用为200×1+240×7＝200+1680＝1880（元）；方案二：租A型车5辆，B型车4辆，费用为200×5+240×4＝1000+960＝1960（元）；方案三：租A型车9辆，B型车1辆，费用为200×9+240×1＝1800+240＝2040（元）；∵1880＜1960＜2040，∴物流公司最省钱的租车方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为1880元．18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145，∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为390；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为4405或5404；（2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．【解答】解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，∴a2+b2＝9，∴有，（不符合题意），∴这个三位数是390；∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，∴2ab＝40，则ab＝20，∴有，，（不符合题意），（不符合题意），∴这个四位数是：4405或5404；故答案为：390；4405或5404；（2）∵是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，∴a2+b2＝586，2ab＝570，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝586+570＝1156，则a+b＝34，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝586﹣570＝16，则a﹣b＝±4，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝34×（±4）