第11讲 一次函数函数中的最值问题（解析版）

第十一讲一次函数中的最值问题目录TOC\o"1-1"\h\u必备知识点 1考点一AP+PB型 2考点二AM+MN+NB最小型 4知识导航知识导航必备知识点1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.考点一AP+PB型1．一次函数y＝kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时直线PC与直线AB的交点坐标．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入y＝kx+b得：0＝2k+b，4＝b，∴k＝﹣2，b＝4，∴解析式为：y＝﹣2x+4；（2）设点C关于点O的对称点为C′，连接C′D交OB于P′，连接P′C，则PC＝PC′，∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D，即PC+PD的最小值是C′D．连接CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2，即PC′+PD的最小值为2，∵OA、AB的中点分别为C、D，∴CD是△OBA的中位线，∴OP∥CD，CD＝OB＝2，∵C′O＝OC，∴OP是△C′CD的中位线，∴OP＝CD＝1，∴点P的坐标为（0，1），设直线PC的解析式为y＝mx+n，则n＝1，m+n＝0，解得m＝﹣1．则直线PC的解析式为y＝﹣x+1，联立直线AB的解析式和直线PC的解析式得，解得．故直线PC与直线AB的交点坐标为（3，﹣2）．2．如图，直线l1：y＝﹣x+2与x轴相交于点A，直线l2：y＝kx+b经过点（3，﹣2），与x轴相交于B（6，0），与y轴相交于C，与直线l1相交于点D．（1）求直线l2的函数关系式；（2）点P是l2上一点，且S△ABP＝S△ABD，求点P的坐标；（3）设点Q的坐标为（m，﹣4），是否存在m值，使QB+QD的值最小？若存在，请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由．【解答】解：（1）将点（3，﹣2），B（6，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线l2的函数关系式：．（2）联立，得，∴D（），∵S△ABP＝S△ABD，∴P点纵坐标为±＝±4，当p点纵坐标为4时，代入，得x＝12，此时P（12，4），当p点纵坐标为﹣4时，代入，得x＝0，此时P（0，﹣4），综上，P点坐标为（12，4）或（0，﹣4）．（3）存在，理由如下：∵点Q的坐标为（m，﹣4），∴点Q在直线y＝﹣4上，作点D关于y＝﹣4的对称点D′，连接BD′，与直线y＝﹣4的交点即为Q，如图所示：则D′（），设BD′的直线解析式：y＝kx+b，代入D′，B的坐标，得，解得，∴BD′的解析式：y＝x﹣16，当y＝﹣4时，解得x＝．∴当Q（，﹣4）时，QB+QD的值最小．3．如图表示一个正比例函数y1＝k1x与一个一次函数y2＝k2x+b的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OA＝OB．（1）求这两个函数的解析式．（2）求两函数与y轴围成的三角形的面积；（3）在直线x＝﹣3上找一点P，使得△PAB的周长最小，试求点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A坐标为（4，3），∴OA＝＝5，∵OA＝OB，∴B点坐标为（0，﹣5），把A（4，3）代入y1＝k1x，求得k1＝，∴y1＝x；把A（4，3），B（0，﹣5）代入y2＝k2x+b，求得k2＝2，b＝﹣5，∴y2＝2x﹣5．（2）S△AOB＝OB•xA＝＝10．（3）因为△PAB周长为PA+PB+AB，所以求△PAB周长最小，也就是求PA+PB的最小值．作出点A对于直线x＝﹣3的对称点A'，连接A'B，交直线x＝﹣3于点P，如右图：此时△PAB周长最小．设直线A'B的解析式为y＝kx+b，因为经过A'（﹣10，3），B（0，﹣5），所以代入y＝kx+b求得k＝﹣，b＝﹣5，所以y＝﹣x﹣5．当x＝﹣3时，y＝＝﹣，所以点P坐标为（﹣3，﹣）．4．如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+5．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点C（3，0），且与直线l1交于点D（t，﹣1）．（1）写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；（2）连接BC，求△BCD的面积；（3）直线l2上是否存在一点P，使得△APB的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线l1经过点D（t，﹣1），∴﹣1＝﹣3t+5，解得t＝2，∴D（2，﹣1），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∵直线l2经过点C（3，0），D（2，﹣1），∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝x﹣3；（2）由直线l1的表达式为y＝﹣3x+5可知A（，0），B（0，5），∴AC＝3﹣＝，∴S△BCD＝×（5+1）＝4；（3）存在，理由如下：作点A关于直线l2的对称点A′，连接BA′交直线l2于P，连接A′C，此时PA+PB的值最小，即△APB的周长最小，由直线l2为y＝x﹣3可知，∠ACD＝45°，由轴对称的性质可知∠A′CD＝∠ACD＝45°，∴∠ACA′＝90°，∵A′C＝AC＝，C（3，0），∴A′（3，﹣）设此时BA′的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BA′的解析式为y＝﹣x+5，解得，∴P（，﹣）．考点二AM+MN+NB最小型5．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣x﹣8交于点A，已知点A的横坐标为﹣5，直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l2与y轴交于点D．（1）求直线l1的解析式；（2）将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线l4，若点M为垂线l4上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当CM+MN+NA的值最小时，求此时点M的坐标及CM+MN+NA的最小值；【解答】解：（1）∵点A的横坐标为﹣5，∴A（﹣5，﹣3），将点A代入y＝x+b，∴b＝4，∴直线l1的解析式y＝x+4；（2）l2：y＝﹣x﹣8与y轴的交点D（0，﹣8），∵将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，∴E（0，﹣2），∵过点E作y轴的垂线l4，点D是点C关于直线l4的对称点，作点A关于x轴的对称点A′（﹣5，3），连接AD′交x轴、l4于点N、M，则此时CM+MN+NA最小，最小值为：A′D，CM+MN+NA＝MD+MN+A′N＝A′D，A′D＝＝；∴CM+MN+NA的值最小为，由点A′、D的坐标得，直线A′D的表达式为y＝﹣x﹣8，当y＝﹣2时，即y＝﹣x﹣8＝﹣2，解得x＝﹣，故点M的坐标为（﹣，﹣2）；6．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中AB＝3，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求△PQD的周长的最小值；（2）如图2，直线BC上有一点F（，y1），将直线BC绕点F顺时针旋转90°得到直线l3，与x轴交于点H，直线l3上有一点G（x1，﹣4），点M是直线l1上一动点，是否存在点M使得△MHG为直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线AB：y＝kx+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，∴B点坐标为（0，6），A点坐标为（﹣，0），则OB＝6，OA＝||＝＞0，在Rt△AOB中，AB＝3，OA＝，OB＝6，∴（）2+62＝（3）2解得k＝2．（直线k＞0，负值舍去）．∴直线AB解析式为y＝2x+6，（2）将直线AB：y＝2x+6向下平移个单位长度得到直线l1：y＝2x﹣，与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，∴E点坐标（0，﹣），直线l2：y＝﹣，∵OC＝OB＝6，∴C点坐标（6，0），设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣x+6，联立，解得，∴D点坐标