《概率论》-六数理统计的基本概念

数理统计和概率论一样都是研究随机现象的规律性.概率论是从给定分布出发来研究随机现象的规律，数理统计则是从实际观测的数据资料出发研究的.

数理统计处理问题基本思想：从被研究对象的全体中抽取一部分，根据这部分的情况对整体作出判断.

数理统计要解决两个问题：(1)抽取的对象要合理.即实验设计与抽样调查设计，目的是如何有效地收集数据；(2)数据处理要恰当，即对收集到的数据如何进行分析，并作出推断.

本课程只讨论数据处理，也叫统计推断.它包括参数统计、假设检验、方差分析、回归分析等内容.第一节概述第二节总体和样本总体定义1

设X1,X2研究对象的全体称为总体，总体的某个数量指标若用一个随机变量X来描述，则称随机变量X为总体.若X的分布函数为F(x)，则也称为F(x)总体。

由于总体就是一个随机变量X（或向量X

）或一个概率分布，因此研究总体就是要研究X的概率分布或某些特征量。定义2

设总体X的分布函数为F(x)，对总体作n次抽样，第i次抽样所得的随机变量为Xi，i=1,2,…,n,若X1,X2,…，Xn相互独立且和X同分布，则称（X1,X2,…，Xn）为简单样本，简称为样本。样本

总体中的一部分元素成为样本（又叫子样），这一部分元素的个数成为样本容量.

必须对抽取样本提出一些要求，这些要求主要有两条，第一是代表性，即要求抽取的样本确实能代表总体；第二是独立性，即每次抽取的结果互不影响.

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1，X2，…，Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1，X2，…，Xn为来自总体X(或总体F)的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，…，xn称为样本值。

对于简单随机样本X1，X2，…，Xn

，其联合概率分布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函数为F(x)，则样本X1，X2，…，Xn的联合分布函数为样本的联合分布又若X具有概率密度f(x)，则X1，X2，…，Xn的联合概率密度为则X1，X2，…，Xn的联合分布律为若X的分布律为例1设总体X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，求样本X1，X2，…，Xn的联合分布（称为样本分布）。解:X的分布律为所以样本X1，X2，…，Xn的联合分布律为例2设总体X～N(μ,σ2).(X1，X2，…，Xn)是来自X的样本，求样本的联合密度.解:定义1

设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量.

设x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值.第三节统计量统计量的概念样本平均值样本方差样本标准差样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩常用的统计量样本协方差（样本相关矩）样本相关系数其中：X，Y为两个总体，(X1,X2,…,Xn)来自总体X的样本，(Y1,Y2,…,Yn)来自总体Y的样本.它们的观察值分别为例1某班主任老师抽查了5名学生的高考成绩X和大学一年级5科的平均成绩Y结果如下表，求X,Y之间的样本相关系数.高考成绩X521515506525518高考成绩X8172696880解由例1例2设总体X的期望、方差分别为X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样本方差分别记为。求由于所以顺序统计量（次序统计量）定义2

第k顺序统计X(k)是上述子样（X1,X2,…,Xn）这样的一个函数，当样本（X1,X2,…,Xn）取值（x1,x2,…,xn）时，X(k)取值x(k)

.定义3

设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本.称Rn=max{X1,X2,…,Xn}-min{X1,X2,…,Xn}为样本极差，它反映了样本值的波动幅度.第四节抽样分布定理1

设随机变量，则X的密度函数为1、

分布

设X1,X2,…,Xn相互独立，且Xi~N(0，1)，i=1，2，…，n.，称Y服从自由度为n的分布.记作：.的图像如下

分布具有以下性质:其中Z～N(0,1)。标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上分位点记为,它满足

对不同的分布的上分位点的值已制成表格，可以查用。2、t分布

设X~N(0,1),Y~,且X与Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布,记为t~t(n)。定理2

若随机变量t~t(n).则t的密度函数为t(n)分布的密度函数关于t=0单峰对称当n很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用Γ函数的性质可以证明当n较小时，t(n)分布与N(0,1)分布之间有较大差异。t(n)分布的上分位数记为，即满足t分布的上分位数可由附表查得。当n>45时，有例1总体X~N(0,1),(X1,X2,X3)是来自X的样本，求的概率分布.解X~N(0,1),且X1与独立.

设且U与V相互独立，则称随机变量服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F～F(n1，n2)3、F分布定理3

若随机变量F～F(n1，n2)，则F的密度函数为