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文档简介
专题三:数列求和(解析卷)
考点1:等差数列的判断与证明......................................................................................................2
考法1:利用定义证明等差数列...........................................................................................2
考点2:等比数列的判断与证明......................................................................................................2
考法2:利用定义证明等比数列...........................................................................................2
考点3:利用与的关系求通项................................................................................................3
考法3:已知与的关系求通项.....................................................................................3
𝑺𝑺
考点4:分组求和法..........................................................................................................................4
𝑺𝑺
考法4:将数列拆分为等差与等比分别求和.......................................................................4
考法5:符号变化的数列并项求和.......................................................................................7
考点5:裂项相消法..........................................................................................................................8
考法6:形如的裂项相消.....................................................................................8
考法7:形如的裂项相消.....................................................................................9
𝑺(�+�)
考法8:形如的裂项相消...................................................................11
𝑺(�+�)
考点6:错位相减法........................................................................................................................12
�(𝑺+�)(𝑺+�)
考法9:等差×等比的数列求和(错位相减).................................................................12
考点7:等比数列求和....................................................................................................................16
考法10:等比数列求和公式的应用...................................................................................16
考点8:数列求和的综合应用........................................................................................................16
考法11:周期数列求和.......................................................................................................16
考法12:多种求和方法综合运用.......................................................................................17
12345
(1)
是等比数(1),
见解析列,证明(2)见解析(3)�ABCD
123(2)
见解析�=2,�=8,�=��=3��=
�
24�
�+13��=
67��=(�−81)2+2(2�−19)3+110
4
为奇数
1,2,
26
3,431�
101�+为,偶�数
2�+�+11
2+4948��=44
324−4
1112�,1�3+1415
80ABD415;73证明见解析
1617181001920
51
第1页,共18页
12345
(1),
3
�(2)证明见解析�
���
���=2��=24−6�
�=2122�2324��=25
2(�+2)=3(6�−5)
①证明见解2�+2(1)
21�+4
析;②�(2)�;②存
���=2①��=−49⋅
�−�+132
�=(2��+1�32�+31�在,
2��+5=�=−()�+2=8−49
�−1−3)2�
262274284329230
10−+62−�0=2
�2�
,,
234B=64[3−(2�
���+1
2122
=(��−1)(1+3)()]+
223
+�)+12
−�+1
4−1
专题三:数列求和(试卷)(逐题详解)
考点1:等差数列的判断与证明
考法1:利用定义证明等差数列
1.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:由,得……2分
��+12��
�+1�+1�+1
所以��…+1…=…2……+…2…��………2……−…2……=…1……4分
��+1��
�+1�
所以,2数列−2=1是以1为首项,1为公差的等差数列.…………5分
��
�
【点拨】对于{2递}推公式型,常两边同除以或构造等差数列或等比数列.
��+1�+1
��+1=���+���
考点2:等比数列的判断与证明
考法2:利用定义证明等比数列
2.(解答)
【答案】是等比数列,证明见解析
【解析】解:(1),…………2分
11222
1222
(2)首先证明引理:�=��=2(��+2��)=�+�=�(1+�)
1��−1
����=��−1
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左式=右式,引理证毕.……5分
1�!(�−1)!(�−1)!�−1
�−1
回到原=题��:�!根(�−据�)引!=理(�−1)!(�−�)!=(�−1)!(�−1−(�−1))!=�
1122����
��=�(���+2���+⋯+����+⋯+����)
01�−1�−1�−1�−1
…………=…�…(�…�−…1+…�…�−…1�…+…⋯…+…�…�−…1�…8+分⋯+��−1�)
�−1
=因为�(1+为�非)零实数且,故是以为首项,为公比的等比数列.……10分
【点拨�】利用组合数恒�等≠−式1{��}化简�求和是处�理+含1二项式系数数列的关键,化简后再利
��−1
用定义证明等比数列.���=���−1
考点3:利用与的关系求通项
𝑺𝑺
考法3:已知与的关系求通项
��
3.(解答)��
【答案】(1)(2)见解析(3)
�+1
【解析】解:(�1)=令2,�2=8,,�3得=24.又,所�以�=(�−1…)2………+21分
�=…1………3…�1…=…�2………�2…=…6…………�12=分2
�令2=�1+,�得2=2+6=.8又,所以………………3分
故�=24�2=2�3�2=…8…………�…3=…1…6………………4分
(2�)3=若�选2+择�①3:=由8已+1知6,=得24.
故,所以(�+2)��=,�(��+1−�…�)………7分
��+1��∗
��+1
故2(�+是1以)�1=为�首�项,2为公比�+的1=等2比×数�列.�…∈…�………………9分
��
若选{�择}②:由已知,.故当时,……5分
��−1
��+1�−1�
两式相减,得�=�+2�.�≥2�=�+1�
��−1
��+1�
化简并整理,得�=�+2�(−�+1,�且)………………7分
��+12��∗
又,�,+2所=以�+1�≥2……�…∈�…8分
�1�2�2�1
故2=1是以3=12为首项,32为=公2×比的2等比数列.……9分
��
(3{)�+若1}选择①:由(2)知,,故()……11分
���−1�−1∗
若选择②:由(2)知,�=,2故��=�⋅2�(∈�)……10分
���−1�−1∗
所以�+1=(2)…�…�…=…(�…+…1)…⋅2………�1∈1�分
��−1∗
所以��=�+2��+1=�⋅2�∈�.
01�−2�−1
则��=1×2+2×2+⋯+(�−1)⋅2+�⋅2.
12�−1�
两式2�错�位=相1×减2,得+2×2+⋯+(�−1)⋅2+�⋅2…………13分
012�−1�
−��=2+2+2+⋯+2−�⋅2
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.
所以���分
=2−1−�⋅2=(1−�)…⋅2……−…1………………15
�
【点拨��】=处(理�−1)与⋅2+1的关系时,常利用转化为关于的递推式.错位相减
法求和要注意最��后一�项�+的1符号.��+1=��+1−����
4.(解答)
【答案】(1),(2)
�
��(2�−1)3+1
���
【解析】解:(�)=当3�=3时,�=4分
12…………1
1+11
11
当时,�=1�=�=6=3
22
�+�(�−1)+(�−1)2��
当�≥2时也符��合=,��所−以��−1=…6…−………6………=…6…=33分
�
设等�比=数1列的公比为��,=由3得,解得
3
所以{��}……�……�…1…=…3,…�4…=…8…1……3�…=…8…15分�=3
�−1�
(2)�由�=(31)⋅3知=3…………6分
���−1
则����=3⋅3=�⋅3
012�−1
��=1⋅3+2⋅3+3⋅3+⋯+�⋅3…………8分
12�−1�
3两�式�=相1减⋅得3+2⋅3+⋯+(�−1)3+�⋅3
012�−1�
−2��=3+3+3+⋯+3−�⋅分3
���……10
1−3�3−1�(1−2�)3−1
所=以1−3−�⋅3=2…−…�…⋅3……=……2…12分
�
(2�−1)3+1
【点拨��】=利用4求通项时必须检验的情况.等差乘等比数列求和常用错位相减
法.��=��−��−1�=1
考点4:分组求和法
考法4:将数列拆分为等差与等比分别求和
5.(多选)
【答案】ABCD
【解析】依题意,将数列分组:第1组1项,分母为2;第2组2项,分母为4;第3组4项,分
母为8;…;第组有项,分母为,分子为.
�−1��
前组的总项数�为22.1,3,⋯,2−1
�−1�
对于�,因为1+2+,4所+以⋯+2是第=2组−的1最后一项,即,正确;
A44A
2−115
44
2−1=15�15�15=2=16
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对于B,表示第4组所有项的和,第4组共有项,其和为
31+3+5+7+9+11+13+15
157
,�正−确�;2=816=
2B
8
对16于=4C,组内相邻两项和为,若等于,则分子必为奇数,不可能;跨组相邻两项
2�−12�+14�31
���
和为,令其2等+于2,=解2得,3此2时,故有且仅有一个正整
��+1
2−112−131
��+1�+14
数2+满2足条=件2,C正确;32�=4�=2−1=15
对于�D=,15第组各项之和为,前组的总和为
�−12
(2)11
��−2�−2
�,当2=2时,�,由于2+可1+取2任+意⋯正+整2数,=故2存+在无数个正
�−1�
1×(1−2)�−112−1��
整数1−2满足=条2件,−D2正=确2.故选A�BC=D2.−1��=2�
【点拨�】群数列问题关键在于确定“项数”与“组数”的关系,以及每组内各项的规律与和的规
律.
6.(解答)
【答案】
101
【解析】2解:(+41)948当时,…………1
��
分�=2��=2+ln(�+1)−1−ln(�+1)+�=2+�−1
则…………2分
123100
�100=2+2+2+⋯+2+(0+1+2+⋯+99)分
100………………3
2(1−2)100×99101
=【点拨1−2】将+数列2化简=后2,拆+分49为4等8比数列和等差数列,分别利用求和公式计算.
7.(解答)
【答案】1,2,3,4
【解析】解:由题意,,,,
所以,,�…2=…3……�3…=…6……�4…=…82分
又因为�1=5�2=10,……5分
��+1�2�+2+2(�2�+1+2)+22�2�+4
所以数列��=是�2�首+2项=为5,�2公�+2比为=2的�2�等+2比=数2列;……7分
由(1)知{��},所以,……9分
�−1�−1
所以��=5×2��=5×2+1,……
01�−1�
11分�1+�2+�3+⋯+��=5×(2+2+⋯+2)+�=5×2+�−5
因为单调递增,
且�1+�2+�3+⋯+��,……13分
所以�1正+整�2数+�3的+所�4有=取7值9为<110,02<,�31,+4�.2…+…�3…+…�…4+…�…5=…11650分
�
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【点拨】对于分奇偶的递推数列,常通过代入法转化为只含奇数项或偶数项的递推关系,进而构
造等比或等差数列求通项.
8.(解答)
为奇数
【答案】321
4�+为4,偶�数
��=32
【解析】解:若4�为,�奇数,则是偶数,是奇数,
所以�,�+1,�+2
所以��+1=��+1,�…�+…2…=…��…+1…+…2…4分
所以��+2的=奇��数+项3是首项为,公差为3的等差数列.……5分
当{��}时,�1=1
∗
�=2�(�∈�)��=�2�=(�1+�3+⋯+�2�−1)+(�2+�4+⋯+�2�)
=(�1+�3+⋯+�2�−1)+(�1+1+�3+1+⋯+�2�−1+1)
�(�−1)
=2(�1+�3+⋯+�2�−1)+分�=2[��1+×3]+�
.……102
2�232
=因为3�=3×(2)=4�,
所以当�2�=�2�−1+1=�1+时3,(�−1)+1=3�−1
∗2
�=2�−1(�∈�)��=.�…2�−…1…=…�2…�−…�…2�…=134�分−3�+1
�+12�+1321
=3×(2)−3×2+1=为4奇�数+4
综上所述,321.……15分
4�+为4,偶�数
��=32
【点拨】对于奇偶4项�规,�律不同的数列求和,应分为奇数和偶数两种情况讨论,通常先求出偶数
项和,再利用求奇数项和.�
�2��2�−1=�2�−�2�
9.(解答)
【答案】
�+1
�4−4
【解析】2解�+:1+当3时,.……2分
当时,�=1�1=�1=1.……4分
11
当�≥2时,也��符=合��−��−1.=2�(�+1)−2�(�−1)=�
综上�,=1.………�…�…=…�……6分
��=�为奇数
由(1)知,1……8分
�(�+2为),�偶数
�
�=�
则2,�
�2�=(�1+�3+⋯+�2�−1)+(�2+�4+⋯+�2�)……10分
111111242�
=2[(1−3)+(3−5)+⋯+(2�−1−2�+1)]+2+2+⋯+2
第6页,共18页
分
�……12
114(1−4)
=2(1−2�+1)+1−4分
�+1.……13
�4−4
=【点2�+拨1】+遇到3奇偶项通项公式不同的数列求和,采用分组求和法,将奇数项和偶数项分别求和,
再相加.
10.(解答)
【答案】6
【解析】解:当时,且,解得.……1分
当时,�=1��>0,�1=1
�≥22��−1=��−1(��−1+1),……3分
∴即2��−2��−1=��(��+1)−�,�−则1(��−1+1).
22
2��=,��则+��−��−1−�,�−所1以(��−��−1−1)(��+.…��…−1…)=…0…………5分
∵��>是0以1为��首+项��,−11>为0公差的等�差�−数�列�−,1所=以1(�≥2).……6分
∴设{数��列}的公比为,则,��=�,
�23427
即{�},解�(得�:>0)�=�,所=以3�=�.=…2…7………………8分
�2=�1�=3�−1
3�1=1,�=3��=3
根据�题4=意�,1�在=2与7之间插入个1,
即在1和2之间��插入��+1个1;�…�…9分
在2和3之间插入�1=个11;……10分
在3和4之间插入�2=3个1;……11分
在4和5之间插入�3=9个1;……12分
在5和6之间插入�4=27个1,……13分
到6时,恰好有�5=81项,故.……15分
【点拨】处理“插6+入(项1”+构3+成9的+新2数7+列8问1题)=,1关27键是确定�原12数7列=的6项在新数列中的位置(项数),
通过建立项数的不等式或方程来定位所求项.
考法5:符号变化的数列并项求和
11.(解答)
【答案】80
【解析】解:设的公差为.由可得,,所以
.…………{�2�}分��4=�1+�2�1+3�=2�1+�
�由1=2�可得,,所以.…………5分
21
4139
由于�=�各�项�均为正数5,�=故2�×4,�×10的�通项公�式为=16.…………6分
1�+1
{��}�=4{��}��=4
第7页,共18页
.由于,…………8分
��+12�2�+11
�2�−12�
①�当=(−1)4时�,+�=−4+4=4.…………10分
∗�
若�=2�,�∈��,1+则�2+⋯+,��=(�.1…+…�2…)+…⋯11+分(�2�−1+�2�)=4
②当�1+�2+⋯+��=10时,�=40�=80
∗
�=2�+1,�∈�,
1�
�因1此+不�2存+在⋯这+样��的=�使1+得(�2+�3)+⋯+(�2�+�.2�+1)=−2+4<0
综上所述,�.………�…1+13�分2+⋯+��=10
【点拨】对于�正=负80相间的数列求和,通常采用并项求和法,将相邻两项合并,化简后再求和,注
意分项数为奇数和偶数两种情况讨论.
考点5:裂项相消法
考法6:形如的裂项相消
�
�(�+�)
12.(多选)
【答案】ABD
【解析】依题意,,
归纳可得�1=1,�2,=累3加,�3得=6,�4=10.
�(�+1)
�+1��
对于A,�−�=�,+A1正确;�=1+2+3+⋯+�=2
5×6
对于B,�5=2=15,则,故
是等差��数+1列−,��B=正�确+;1(��+2−��+1)−(��+1−��)=(�+2)−(�+1)=1{��+1−
�对�于}C,,奇数乘奇数结果为奇数,C错误;
2025×2026
2025
对于D,�=2=2025,×1013
1211
则��=�(�+1)=2(�−�+1),
1111111112
12�
因为�+�+,⋯所+以�=2[(1−2)+(,2−D正3)确+.⋯故选+(A�B−D�.+1)]=2(1−�+1)=2−�+1
2
【点拨�】≥根1据前几1项≤归2纳−出�+通1项<公2式是解题基础,形如的数列求和直接使用裂项相消法
1
.�(�+1)
111
�(�+1)=�−�+1
13.(填空)
【答案】15;
100
【解析】由题意51知,,归纳可得,
�(�+1)
�1=1,�2=3,�3=6��=2
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所以.
5×6
�5=2=15,
1211
�
所�以=数�(�列+1)=2(的�前−�5+01项)和为.
1111111100
【点拨】裂{�项�}相消法求和后,注2[(意1保−留2)未+消(2去−的3首)+尾⋯项+,(代50入−项51数)]即=可2(求1得−结51果)=.51
14.(解答)
【答案】7
【解析】解:因,则
∗
,��+2−��=��+1+��+2=3��+1−��(�∈�)��+2−��+1=��+1−��(�∈
∗
�所以)数列是首项为的等差数列,…………3分
由于{��},得�1=1,则公差为,所以,
则�3的=通3�项2公=式6为�2=.2…………6分�2−�1=1��=1+�−1=�
解法{�一�}:由(1)知,��=�,故,…………9分
111311
��+1�
所以,当时,�=��−�=�(�+1)=13(�−�+1),…………11分
111111111
�1��−1�−1�−221
又因为�≥2,代�入−化�简=可�得−�+�−�+⋯+�.…−…�…=…13(112−分�)
1�∗
1�
因为�=−1也1符合上式,所以�=2�−13(�≥2,�.∈�)
1�∗
1�
注意到�=−11�=2�−1,3(…�…∈�……)14分
�13−�
所以��的+前�131−3�项=和2�为−13+2(13−�)−13=1
{��}.…………15分
(【�1点+拨�】12)利+用(�累2加+法�1求1)出+数⋯列+的(�通6+项�公7)式+后�1,3观=察6+通�项13的=结6构+特1征=,7通过分离常数和对称相消的
技巧求和.
考法7:形如的裂项相消
�
�(�+�)
15.(解答)
【答案】证明见解析
【解析】证明:数列为等差数列,设该数列的公差为,依题意则有…………
���3�1
2分∵{�}�2�=3−1
已知,解得…………4分
数列�1=3,是�3以=31为5首项,�公=差1为1的等差数列,
��
∴{�},即…………7分
���1
�=1+(�−1)�=3+(�−1)=�+2��=�(�+2)
第9页,共18页
由(1)可得…………9分
11111
�
�=�(�+2)=2…(�…−…�+…2)10分
111
��=1×3+2×4+⋯+�(�+2)
1111111111
=[(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)+(−)]
23………2…142分35�−1�+1��+2
1111
=2(1+2−�+1−�+2)…………14分
131132�+3
=2(2−�+1−�+2)=4−4则(�+1)(�+2)…………15分
∗2�+33
�
【∵�点∈拨�】∴裂2项(�+相1)消(�+法2)中>,0�<4,消项后首尾各剩项,注意不要遗漏系数.
11111
�(�+�)=�(�−�+�)��
16.(解答)
【答案】
�
【解析】�解�:=由2(�+2),①
2
可得��+��=2��.+②2
2
由�-�+1得+��+1=2��+1+2.…………3分
22
即②①��+1−��+��+1−��.=2��+1
(��+1,+��)(��+1−��−.1)…=…0……5分
∵又�当�>0∴时�,�+得1−��=1.
2
解得�=1�1(+舍�1去=)2…�1…+…2…7分
可得数�1列=2,�1是=首−项1为2,公差为1的等差数列
即{��}.…………9分
∗
由(��1)=知�+1,�∈�,
1
�
可得�=(�+1.)(�…+2…)……11分
11
�
因此�=�+1−�+2;…………13分
11111111
可得��=2−3…+…3−…4…+1⋯5+分�+1−�+2=2−�+2
�
【点拨��】=由2�+4与的关系求通项时,作差后利用因式分解求出递推关系.裂项相消求和时注意相
邻项直接抵消��.��
17.(解答)
【答案】
�
【解析】�解�:=设2�等+2差数列的公差为,
�
由,得{�}�…………3分
�1+2�=8
�3=8,�17=3�5
解得…………�1…+…16…�…=…3(…�1…+…4…�)……………6分
�1=4,�=2
第10页,共18页
所以………………8分
所以��=4+2(�−1)=2�+2……11分
111111
�
所以�=���=�(2�+2)=2�(�+1)=2(�−�+1)
111111
�
�=2[(1−2)+…(…2…−…3)…+…⋯…+…(�…−…�+…1)…]……14分
11�
=【点2(1拨−】�求+1出)=等2差�+数2列通项后,将分母化为乘积形式,提取常数因子后再进行裂项相消.
18.(解答)
【答案】(1),(2)证明见解析
�
【解析】解:(�1�)=由2�题知��,=2,…………2分
又,��=2�,所以数列是以2为首项,2为公差的等差
数列�1…=…2…�…�−3分��−1=2�−2(�−1)=2(�≥2){��}
所以,…………4分
�(2+2�)
又��=2=�(,�+得1),
解得��=(�+1)l,og即2���(�…+…1…)…=(6�分+1)log2��
�
(2)lo证g2明��:=由�题意应��为=2,则…………8分
11
2�
��=����=4
所以11�
1114[1−(4)]
�2�1
�=4+4+⋯+4=1−4
………………11分
11�
=因为3[1−(4,)所]以单调递增,
所以�≥1,�且�,
11
�1�
故�≥�=成4立.…�…<…3……………14分
11
�
【点4≤拨�】原<题3中存在排版错误,结合结论范围可推断应为.等比数列的倒数平方仍
1
22
为等比数列,利用��等=比��数列求和公式求和后,通过放缩法证明不等�式�.=��
考法8:形如的裂项相消
�
(𝑺+�)(𝑺+�)
19.(填空)
【答案】3
【解析】因为,
1�+1−�
�
所以�=�+1+�=(�+1+�)(�+1−�)=�+1−�.
【点拨�1】5=对(于2分−母含1)有+根(号3的−数列2),+通⋯常+先(进16行−分母15有)理=化1,6将−其1=转3化为可裂项相消的形式.
第11页,共18页
20.(解答)
【答案】
4−6�
�
【解析】�解:=(3(16�)−5).…………2分
3�−13�−1
��
��
当时,�=.…3…⇒……�3=分3
2
11
当�=1时,�=�=3.…………5分
3�−13�−411−6�
��−1�
�≥2��=��−��−1=3−3=3
当时,,所以2.…………7分
11−6523,�=1
333�11−6�
�=1=≠�=�
3,�≥2
(2).…………9分
�−2,�=1
��=−3��=
当时,6�−11,�≥2.…………11分
11111
��+1
�≥2��=(6�−11)(6�−5)=6(6�−11−6�−5).…………14分
111111114−6�
【��点=拨�1】�2+对�于2�3首+项⋯不+符��合��+通1=项−公2式+的6(数1列−6,�−求5)和=时−应3
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