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文档简介

专题三:数列求和(解析卷)

考点1:等差数列的判断与证明......................................................................................................2

考法1:利用定义证明等差数列...........................................................................................2

考点2:等比数列的判断与证明......................................................................................................2

考法2:利用定义证明等比数列...........................................................................................2

考点3:利用与的关系求通项................................................................................................3

考法3:已知与的关系求通项.....................................................................................3

𝑺𝑺

考点4:分组求和法..........................................................................................................................4

𝑺𝑺

考法4:将数列拆分为等差与等比分别求和.......................................................................4

考法5:符号变化的数列并项求和.......................................................................................7

考点5:裂项相消法..........................................................................................................................8

考法6:形如的裂项相消.....................................................................................8

考法7:形如的裂项相消.....................................................................................9

𝑺(�+�)

考法8:形如的裂项相消...................................................................11

𝑺(�+�)

考点6:错位相减法........................................................................................................................12

�(𝑺+�)(𝑺+�)

考法9:等差×等比的数列求和(错位相减).................................................................12

考点7:等比数列求和....................................................................................................................16

考法10:等比数列求和公式的应用...................................................................................16

考点8:数列求和的综合应用........................................................................................................16

考法11:周期数列求和.......................................................................................................16

考法12:多种求和方法综合运用.......................................................................................17

12345

(1)

是等比数(1),

见解析列,证明(2)见解析(3)�ABCD

123(2)

见解析�=2,�=8,�=��=3��=

24�

�+13��=

67��=(�−81)2+2(2�−19)3+110

4

为奇数

1,2,

26

3,431�

101�+为,偶�数

2�+�+11

2+4948��=44

324−4

1112�,1�3+1415

80ABD415;73证明见解析

1617181001920

51

第1页,共18页

12345

(1),

3

�(2)证明见解析�

���

���=2��=24−6�

�=2122�2324��=25

2(�+2)=3(6�−5)

①证明见解2�+2(1)

21�+4

析;②�(2)�;②存

���=2①��=−49⋅

�−�+132

�=(2��+1�32�+31�在,

2��+5=�=−()�+2=8−49

�−1−3)2�

262274284329230

10−+62−�0=2

�2�

,,

234B=64[3−(2�

���+1

2122

=(��−1)(1+3)()]+

223

+�)+12

−�+1

4−1

专题三:数列求和(试卷)(逐题详解)

考点1:等差数列的判断与证明

考法1:利用定义证明等差数列

1.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:由,得……2分

��+12��

�+1�+1�+1

所以��…+1…=…2……+…2…��………2……−…2……=…1……4分

��+1��

�+1�

所以,2数列−2=1是以1为首项,1为公差的等差数列.…………5分

��

【点拨】对于{2递}推公式型,常两边同除以或构造等差数列或等比数列.

��+1�+1

��+1=���+���

考点2:等比数列的判断与证明

考法2:利用定义证明等比数列

2.(解答)

【答案】是等比数列,证明见解析

【解析】解:(1),…………2分

11222

1222

(2)首先证明引理:�=��=2(��+2��)=�+�=�(1+�)

1��−1

����=��−1

第2页,共18页

左式=右式,引理证毕.……5分

1�!(�−1)!(�−1)!�−1

�−1

回到原=题��:�!根(�−据�)引!=理(�−1)!(�−�)!=(�−1)!(�−1−(�−1))!=�

1122����

��=�(���+2���+⋯+����+⋯+����)

01�−1�−1�−1�−1

…………=…�…(�…�−…1+…�…�−…1�…+…⋯…+…�…�−…1�…8+分⋯+��−1�)

�−1

=因为�(1+为�非)零实数且,故是以为首项,为公比的等比数列.……10分

【点拨�】利用组合数恒�等≠−式1{��}化简�求和是处�理+含1二项式系数数列的关键,化简后再利

��−1

用定义证明等比数列.���=���−1

考点3:利用与的关系求通项

𝑺𝑺

考法3:已知与的关系求通项

��

3.(解答)��

【答案】(1)(2)见解析(3)

�+1

【解析】解:(�1)=令2,�2=8,,�3得=24.又,所�以�=(�−1…)2………+21分

�=…1………3…�1…=…�2………�2…=…6…………�12=分2

�令2=�1+,�得2=2+6=.8又,所以………………3分

故�=24�2=2�3�2=…8…………�…3=…1…6………………4分

(2�)3=若�选2+择�①3:=由8已+1知6,=得24.

故,所以(�+2)��=,�(��+1−�…�)………7分

��+1��∗

��+1

故2(�+是1以)�1=为�首�项,2为公比�+的1=等2比×数�列.�…∈…�………………9分

��

若选{�择}②:由已知,.故当时,……5分

��−1

��+1�−1�

两式相减,得�=�+2�.�≥2�=�+1�

��−1

��+1�

化简并整理,得�=�+2�(−�+1,�且)………………7分

��+12��∗

又,�,+2所=以�+1�≥2……�…∈�…8分

�1�2�2�1

故2=1是以3=12为首项,32为=公2×比的2等比数列.……9分

��

(3{)�+若1}选择①:由(2)知,,故()……11分

���−1�−1∗

若选择②:由(2)知,�=,2故��=�⋅2�(∈�)……10分

���−1�−1∗

所以�+1=(2)…�…�…=…(�…+…1)…⋅2………�1∈1�分

��−1∗

所以��=�+2��+1=�⋅2�∈�.

01�−2�−1

则��=1×2+2×2+⋯+(�−1)⋅2+�⋅2.

12�−1�

两式2�错�位=相1×减2,得+2×2+⋯+(�−1)⋅2+�⋅2…………13分

012�−1�

−��=2+2+2+⋯+2−�⋅2

第3页,共18页

.

所以���分

=2−1−�⋅2=(1−�)…⋅2……−…1………………15

【点拨��】=处(理�−1)与⋅2+1的关系时,常利用转化为关于的递推式.错位相减

法求和要注意最��后一�项�+的1符号.��+1=��+1−����

4.(解答)

【答案】(1),(2)

��(2�−1)3+1

���

【解析】解:(�)=当3�=3时,�=4分

12…………1

1+11

11

当时,�=1�=�=6=3

22

�+�(�−1)+(�−1)2��

当�≥2时也符��合=,��所−以��−1=…6…−………6………=…6…=33分

设等�比=数1列的公比为��,=由3得,解得

3

所以{��}……�……�…1…=…3,…�4…=…8…1……3�…=…8…15分�=3

�−1�

(2)�由�=(31)⋅3知=3…………6分

���−1

则����=3⋅3=�⋅3

012�−1

��=1⋅3+2⋅3+3⋅3+⋯+�⋅3…………8分

12�−1�

3两�式�=相1减⋅得3+2⋅3+⋯+(�−1)3+�⋅3

012�−1�

−2��=3+3+3+⋯+3−�⋅分3

���……10

1−3�3−1�(1−2�)3−1

所=以1−3−�⋅3=2…−…�…⋅3……=……2…12分

(2�−1)3+1

【点拨��】=利用4求通项时必须检验的情况.等差乘等比数列求和常用错位相减

法.��=��−��−1�=1

考点4:分组求和法

考法4:将数列拆分为等差与等比分别求和

5.(多选)

【答案】ABCD

【解析】依题意,将数列分组:第1组1项,分母为2;第2组2项,分母为4;第3组4项,分

母为8;…;第组有项,分母为,分子为.

�−1��

前组的总项数�为22.1,3,⋯,2−1

�−1�

对于�,因为1+2+,4所+以⋯+2是第=2组−的1最后一项,即,正确;

A44A

2−115

44

2−1=15�15�15=2=16

第4页,共18页

对于B,表示第4组所有项的和,第4组共有项,其和为

31+3+5+7+9+11+13+15

157

,�正−确�;2=816=

2B

8

对16于=4C,组内相邻两项和为,若等于,则分子必为奇数,不可能;跨组相邻两项

2�−12�+14�31

���

和为,令其2等+于2,=解2得,3此2时,故有且仅有一个正整

��+1

2−112−131

��+1�+14

数2+满2足条=件2,C正确;32�=4�=2−1=15

对于�D=,15第组各项之和为,前组的总和为

�−12

(2)11

��−2�−2

�,当2=2时,�,由于2+可1+取2任+意⋯正+整2数,=故2存+在无数个正

�−1�

1×(1−2)�−112−1��

整数1−2满足=条2件,−D2正=确2.故选A�BC=D2.−1��=2�

【点拨�】群数列问题关键在于确定“项数”与“组数”的关系,以及每组内各项的规律与和的规

律.

6.(解答)

【答案】

101

【解析】2解:(+41)948当时,…………1

��

分�=2��=2+ln(�+1)−1−ln(�+1)+�=2+�−1

则…………2分

123100

�100=2+2+2+⋯+2+(0+1+2+⋯+99)分

100………………3

2(1−2)100×99101

=【点拨1−2】将+数列2化简=后2,拆+分49为4等8比数列和等差数列,分别利用求和公式计算.

7.(解答)

【答案】1,2,3,4

【解析】解:由题意,,,,

所以,,�…2=…3……�3…=…6……�4…=…82分

又因为�1=5�2=10,……5分

��+1�2�+2+2(�2�+1+2)+22�2�+4

所以数列��=是�2�首+2项=为5,�2公�+2比为=2的�2�等+2比=数2列;……7分

由(1)知{��},所以,……9分

�−1�−1

所以��=5×2��=5×2+1,……

01�−1�

11分�1+�2+�3+⋯+��=5×(2+2+⋯+2)+�=5×2+�−5

因为单调递增,

且�1+�2+�3+⋯+��,……13分

所以�1正+整�2数+�3的+所�4有=取7值9为<110,02<,�31,+4�.2…+…�3…+…�…4+…�…5=…11650分

第5页,共18页

【点拨】对于分奇偶的递推数列,常通过代入法转化为只含奇数项或偶数项的递推关系,进而构

造等比或等差数列求通项.

8.(解答)

为奇数

【答案】321

4�+为4,偶�数

��=32

【解析】解:若4�为,�奇数,则是偶数,是奇数,

所以�,�+1,�+2

所以��+1=��+1,�…�+…2…=…��…+1…+…2…4分

所以��+2的=奇��数+项3是首项为,公差为3的等差数列.……5分

当{��}时,�1=1

�=2�(�∈�)��=�2�=(�1+�3+⋯+�2�−1)+(�2+�4+⋯+�2�)

=(�1+�3+⋯+�2�−1)+(�1+1+�3+1+⋯+�2�−1+1)

�(�−1)

=2(�1+�3+⋯+�2�−1)+分�=2[��1+×3]+�

.……102

2�232

=因为3�=3×(2)=4�,

所以当�2�=�2�−1+1=�1+时3,(�−1)+1=3�−1

∗2

�=2�−1(�∈�)��=.�…2�−…1…=…�2…�−…�…2�…=134�分−3�+1

�+12�+1321

=3×(2)−3×2+1=为4奇�数+4

综上所述,321.……15分

4�+为4,偶�数

��=32

【点拨】对于奇偶4项�规,�律不同的数列求和,应分为奇数和偶数两种情况讨论,通常先求出偶数

项和,再利用求奇数项和.�

�2��2�−1=�2�−�2�

9.(解答)

【答案】

�+1

�4−4

【解析】2解�+:1+当3时,.……2分

当时,�=1�1=�1=1.……4分

11

当�≥2时,也��符=合��−��−1.=2�(�+1)−2�(�−1)=�

综上�,=1.………�…�…=…�……6分

��=�为奇数

由(1)知,1……8分

�(�+2为),�偶数

�=�

则2,�

�2�=(�1+�3+⋯+�2�−1)+(�2+�4+⋯+�2�)……10分

111111242�

=2[(1−3)+(3−5)+⋯+(2�−1−2�+1)]+2+2+⋯+2

第6页,共18页

�……12

114(1−4)

=2(1−2�+1)+1−4分

�+1.……13

�4−4

=【点2�+拨1】+遇到3奇偶项通项公式不同的数列求和,采用分组求和法,将奇数项和偶数项分别求和,

再相加.

10.(解答)

【答案】6

【解析】解:当时,且,解得.……1分

当时,�=1��>0,�1=1

�≥22��−1=��−1(��−1+1),……3分

∴即2��−2��−1=��(��+1)−�,�−则1(��−1+1).

22

2��=,��则+��−��−1−�,�−所1以(��−��−1−1)(��+.…��…−1…)=…0…………5分

∵��>是0以1为��首+项��,−11>为0公差的等�差�−数�列�−,1所=以1(�≥2).……6分

∴设{数��列}的公比为,则,��=�,

�23427

即{�},解�(得�:>0)�=�,所=以3�=�.=…2…7………………8分

�2=�1�=3�−1

3�1=1,�=3��=3

根据�题4=意�,1�在=2与7之间插入个1,

即在1和2之间��插入��+1个1;�…�…9分

在2和3之间插入�1=个11;……10分

在3和4之间插入�2=3个1;……11分

在4和5之间插入�3=9个1;……12分

在5和6之间插入�4=27个1,……13分

到6时,恰好有�5=81项,故.……15分

【点拨】处理“插6+入(项1”+构3+成9的+新2数7+列8问1题)=,1关27键是确定�原12数7列=的6项在新数列中的位置(项数),

通过建立项数的不等式或方程来定位所求项.

考法5:符号变化的数列并项求和

11.(解答)

【答案】80

【解析】解:设的公差为.由可得,,所以

.…………{�2�}分��4=�1+�2�1+3�=2�1+�

�由1=2�可得,,所以.…………5分

21

4139

由于�=�各�项�均为正数5,�=故2�×4,�×10的�通项公�式为=16.…………6分

1�+1

{��}�=4{��}��=4

第7页,共18页

.由于,…………8分

��+12�2�+11

�2�−12�

①�当=(−1)4时�,+�=−4+4=4.…………10分

∗�

若�=2�,�∈��,1+则�2+⋯+,��=(�.1…+…�2…)+…⋯11+分(�2�−1+�2�)=4

②当�1+�2+⋯+��=10时,�=40�=80

�=2�+1,�∈�,

1�

�因1此+不�2存+在⋯这+样��的=�使1+得(�2+�3)+⋯+(�2�+�.2�+1)=−2+4<0

综上所述,�.………�…1+13�分2+⋯+��=10

【点拨】对于�正=负80相间的数列求和,通常采用并项求和法,将相邻两项合并,化简后再求和,注

意分项数为奇数和偶数两种情况讨论.

考点5:裂项相消法

考法6:形如的裂项相消

�(�+�)

12.(多选)

【答案】ABD

【解析】依题意,,

归纳可得�1=1,�2,=累3加,�3得=6,�4=10.

�(�+1)

�+1��

对于A,�−�=�,+A1正确;�=1+2+3+⋯+�=2

5×6

对于B,�5=2=15,则,故

是等差��数+1列−,��B=正�确+;1(��+2−��+1)−(��+1−��)=(�+2)−(�+1)=1{��+1−

�对�于}C,,奇数乘奇数结果为奇数,C错误;

2025×2026

2025

对于D,�=2=2025,×1013

1211

则��=�(�+1)=2(�−�+1),

1111111112

12�

因为�+�+,⋯所+以�=2[(1−2)+(,2−D正3)确+.⋯故选+(A�B−D�.+1)]=2(1−�+1)=2−�+1

2

【点拨�】≥根1据前几1项≤归2纳−出�+通1项<公2式是解题基础,形如的数列求和直接使用裂项相消法

1

.�(�+1)

111

�(�+1)=�−�+1

13.(填空)

【答案】15;

100

【解析】由题意51知,,归纳可得,

�(�+1)

�1=1,�2=3,�3=6��=2

第8页,共18页

所以.

5×6

�5=2=15,

1211

所�以=数�(�列+1)=2(的�前−�5+01项)和为.

1111111100

【点拨】裂{�项�}相消法求和后,注2[(意1保−留2)未+消(2去−的3首)+尾⋯项+,(代50入−项51数)]即=可2(求1得−结51果)=.51

14.(解答)

【答案】7

【解析】解:因,则

,��+2−��=��+1+��+2=3��+1−��(�∈�)��+2−��+1=��+1−��(�∈

�所以)数列是首项为的等差数列,…………3分

由于{��},得�1=1,则公差为,所以,

则�3的=通3�项2公=式6为�2=.2…………6分�2−�1=1��=1+�−1=�

解法{�一�}:由(1)知,��=�,故,…………9分

111311

��+1�

所以,当时,�=��−�=�(�+1)=13(�−�+1),…………11分

111111111

�1��−1�−1�−221

又因为�≥2,代�入−化�简=可�得−�+�−�+⋯+�.…−…�…=…13(112−分�)

1�∗

1�

因为�=−1也1符合上式,所以�=2�−13(�≥2,�.∈�)

1�∗

1�

注意到�=−11�=2�−1,3(…�…∈�……)14分

�13−�

所以��的+前�131−3�项=和2�为−13+2(13−�)−13=1

{��}.…………15分

(【�1点+拨�】12)利+用(�累2加+法�1求1)出+数⋯列+的(�通6+项�公7)式+后�1,3观=察6+通�项13的=结6构+特1征=,7通过分离常数和对称相消的

技巧求和.

考法7:形如的裂项相消

�(�+�)

15.(解答)

【答案】证明见解析

【解析】证明:数列为等差数列,设该数列的公差为,依题意则有…………

���3�1

2分∵{�}�2�=3−1

已知,解得…………4分

数列�1=3,是�3以=31为5首项,�公=差1为1的等差数列,

��

∴{�},即…………7分

���1

�=1+(�−1)�=3+(�−1)=�+2��=�(�+2)

第9页,共18页

由(1)可得…………9分

11111

�=�(�+2)=2…(�…−…�+…2)10分

111

��=1×3+2×4+⋯+�(�+2)

1111111111

=[(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)+(−)]

23………2…142分35�−1�+1��+2

1111

=2(1+2−�+1−�+2)…………14分

131132�+3

=2(2−�+1−�+2)=4−4则(�+1)(�+2)…………15分

∗2�+33

【∵�点∈拨�】∴裂2项(�+相1)消(�+法2)中>,0�<4,消项后首尾各剩项,注意不要遗漏系数.

11111

�(�+�)=�(�−�+�)��

16.(解答)

【答案】

【解析】�解�:=由2(�+2),①

2

可得��+��=2��.+②2

2

由�-�+1得+��+1=2��+1+2.…………3分

22

即②①��+1−��+��+1−��.=2��+1

(��+1,+��)(��+1−��−.1)…=…0……5分

∵又�当�>0∴时�,�+得1−��=1.

2

解得�=1�1(+舍�1去=)2…�1…+…2…7分

可得数�1列=2,�1是=首−项1为2,公差为1的等差数列

即{��}.…………9分

由(��1)=知�+1,�∈�,

1

可得�=(�+1.)(�…+2…)……11分

11

因此�=�+1−�+2;…………13分

11111111

可得��=2−3…+…3−…4…+1⋯5+分�+1−�+2=2−�+2

【点拨��】=由2�+4与的关系求通项时,作差后利用因式分解求出递推关系.裂项相消求和时注意相

邻项直接抵消��.��

17.(解答)

【答案】

【解析】�解�:=设2�等+2差数列的公差为,

由,得{�}�…………3分

�1+2�=8

�3=8,�17=3�5

解得…………�1…+…16…�…=…3(…�1…+…4…�)……………6分

�1=4,�=2

第10页,共18页

所以………………8分

所以��=4+2(�−1)=2�+2……11分

111111

所以�=���=�(2�+2)=2�(�+1)=2(�−�+1)

111111

�=2[(1−2)+…(…2…−…3)…+…⋯…+…(�…−…�+…1)…]……14分

11�

=【点2(1拨−】�求+1出)=等2差�+数2列通项后,将分母化为乘积形式,提取常数因子后再进行裂项相消.

18.(解答)

【答案】(1),(2)证明见解析

【解析】解:(�1�)=由2�题知��,=2,…………2分

又,��=2�,所以数列是以2为首项,2为公差的等差

数列�1…=…2…�…�−3分��−1=2�−2(�−1)=2(�≥2){��}

所以,…………4分

�(2+2�)

又��=2=�(,�+得1),

解得��=(�+1)l,og即2���(�…+…1…)…=(6�分+1)log2��

(2)lo证g2明��:=由�题意应��为=2,则…………8分

11

2�

��=����=4

所以11�

1114[1−(4)]

�2�1

�=4+4+⋯+4=1−4

………………11分

11�

=因为3[1−(4,)所]以单调递增,

所以�≥1,�且�,

11

�1�

故�≥�=成4立.…�…<…3……………14分

11

【点4≤拨�】原<题3中存在排版错误,结合结论范围可推断应为.等比数列的倒数平方仍

1

22

为等比数列,利用��等=比��数列求和公式求和后,通过放缩法证明不等�式�.=��

考法8:形如的裂项相消

(𝑺+�)(𝑺+�)

19.(填空)

【答案】3

【解析】因为,

1�+1−�

所以�=�+1+�=(�+1+�)(�+1−�)=�+1−�.

【点拨�1】5=对(于2分−母含1)有+根(号3的−数列2),+通⋯常+先(进16行−分母15有)理=化1,6将−其1=转3化为可裂项相消的形式.

第11页,共18页

20.(解答)

【答案】

4−6�

【解析】�解:=(3(16�)−5).…………2分

3�−13�−1

��

��

当时,�=.…3…⇒……�3=分3

2

11

当�=1时,�=�=3.…………5分

3�−13�−411−6�

��−1�

�≥2��=��−��−1=3−3=3

当时,,所以2.…………7分

11−6523,�=1

333�11−6�

�=1=≠�=�

3,�≥2

(2).…………9分

�−2,�=1

��=−3��=

当时,6�−11,�≥2.…………11分

11111

��+1

�≥2��=(6�−11)(6�−5)=6(6�−11−6�−5).…………14分

111111114−6�

【��点=拨�1】�2+对�于2�3首+项⋯不+符��合��+通1=项−公2式+的6(数1列−6,�−求5)和=时−应3

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