专题10 菱形的性质与判定八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题10菱形的性质与判定八类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、利用菱形的性质求解类型二、利用菱形的性质求解折叠问题类型三、利用菱形的性质求解动点问题类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题类型五、利用菱形的判定与性质求解类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）压轴专练类型一、利用菱形的性质求解方法总结1.性质对应：明确菱形的四边相等、对角线互相垂直平分且平分对角。2.方程求解：利用上述性质，结合勾股定理或三角函数，建立关于线段或角度的方程求解。解题技巧1.对角线分直角：菱形的对角线将其分割为四个全等的直角三角形，是常用的解题模型。2.等边转化：利用“四边相等”进行线段等量代换，常与对角线垂直产生的垂直关系结合使用。例1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在菱形中，与交于点，点为的中点，连接，若，则的度数为°．【变式1-1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且是等边三角形．若，则的度数为．【变式1-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为．【变式1-3】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为．类型二、利用菱形的性质求解折叠问题方法总结1.抓住折叠本质：折叠即轴对称，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.结合菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找全等或直角三角形。解题技巧1.标注等量：在图上清晰标出折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系。2.设元勾股：常在菱形折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。例2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为．【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则．【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与，交于点E，F．在点M的位置变化的过程中，当最大时，的值为．【变式2-3】（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，四边形是菱形，，，点是射线上一动点，把沿折叠，其中点的对应点为，连接，若为等边三角形，则的长为．类型三、利用菱形的性质求解动点问题方法总结1.分类画图：根据动点位置（如在线段上、延长线上），画出所有可能的菱形示意图。2.性质建方程：利用菱形四边相等或对角线垂直平分的性质，建立关于动点坐标或时间的方程。解题技巧1.参照系固定：以已知定点为参照，用含t的代数式表示动点的坐标或相关线段长。2.检验合理性：解方程后，检验结果是否满足动点的运动范围（如在线段上）及图形的构成条件。例3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在菱形中，点是对角线上一动点，点是边上一动点，连接，．若，，则的最小值为．【变式3-1】（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点．（1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为；（2）变式：若N是边上一个动点，连结，则的最小值为．【变式3-2】（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．(1)用含有的代数式表示：______，______，______；(2)当为何值时，四边形是矩形？(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．【变式3-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动．(1)______；(2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积；(3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值．类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题方法总结1.性质选择：根据所求结论，选用菱形对应性质（如四边相等、对角线垂直平分且平分对角）。2.数形转化：将几何关系转化为代数方程（如用勾股定理），或转化为三角形全等、相似的证明问题。解题技巧1.对角线模型：连接对角线，构造出直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的关键。2.等量代换：灵活运用“四边相等”进行线段等量代换，并结合“对角线互相垂直”产生的垂直关系。例4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．(1)求证：；(2)若，则的度数为__________．【变式4-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．【变式4-2】（25-26八年级上·重庆·月考）如图，四边形是菱形，连接、交于点，点为上方一点，且满足，．(1)求证：四边形是矩形；(2)过点作，交于点，交于点，若，，，求的面积．【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，①求的长；②求的长．类型五、利用菱形的判定与性质求解方法总结1.先判后性：先依据一组邻边相等或对角线垂直等条件，判定四边形为菱形。2.再性求解：再利用菱形的性质（四边相等、对角线垂直平分等）求解角度、线段或证明。解题技巧1.判定优选：优先选择“四边相等的四边形”或“对角线垂直平分的四边形”等直接判定。2.转化化归：将菱形问题常转化为等腰三角形或直角三角形问题，运用勾股定理、等边对等角求解。例5．（2026九年级·吉林·专题练习）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是．【变式5-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为．【变式5-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则．【变式5-3】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为；四边形的面积为．类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题方法总结1.逐项分析：对每个结论单独推理，判断其是否可由已知条件结合菱形判定与性质必然推出。2.构造反例：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊菱形（如内角非90°的菱形）进行验证。解题技巧1.性质链梳理：系统梳理菱形的判定条件与性质（边、对角线、角），形成完整推理链条。2.图形直观法：画出一般菱形（非正方形）示意图，结合图形测量快速排除明显错误结论。例6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（

）A． B． C． D．【变式6-1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知菱形的边长为分别是上的动点，且．下列结论正确的个数是（

）①；②为等边三角形；③；④为等边三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（

）①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1．A．4 B．3 C．2 D．1类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题方法总结1.判性结合：先依据条件判定菱形，再运用其性质（四边相等、对角线垂直平分）推导新结论或求值。2.数形互化：将几何关系转化为方程求解（如勾股定理），或将代数条件还原为几何特征进行判定。解题技巧1.对角线模型：连接对角线构造直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的核心模型。2.等量转化：灵活利用“四边相等”进行线段等量代换，常与“对角线垂直”产生的垂直关系结合。例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．(1)求证：四边形是菱形．(2)过点作交的延长线于点，连接．若，，求的长．【变式7-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的周长．【变式7-2】（25-26九年级上·重庆南岸·期末）在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形．(1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形；(2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值；(3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值．【变式7-3】（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长．已知，在菱形中，，E是的中点，连接，．(1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为；(2)如图2，若，，求折中线的长；(3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长．类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）方法总结1.依性作图：根据菱形“四边相等”、“对角线垂直平分”的性质，利用圆规截等长、作中垂线。2.依判构形：以满足菱形判定条件（如“邻边相等的平行四边形”）为目标，设计作图步骤。解题技巧1.先定一边：通常先作出一条边，再以此边为半径画弧确定等长的邻边或对角线的交点。2.巧用对角线：利用“对角线互相垂直平分”，通过作已知线段的中垂线来定位顶点。例8．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形的边上有一点（不与点，重合），请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中的菱形的边上找一点，作线段，使．(2)在图②中的菱形的边上找点，，使，并作出等腰三角形．【变式8-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，作边上的高；(2)在图2中，作边上的高．【变式8-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形中，，，于点．(1)尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由；(2)与相交于点O，连接，若，求长．【变式8-3】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）．(1)如图，点是菱形边上一点，连接．求作，使，且点在边上；(2)如图，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使；(3)如图3，四边形中，，，平分线交边于点，求作线段的中点．一、单选题1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（

）A． B． C． D．95．（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④点、、三点共线．其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题6．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为°．7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件，使四边形是菱形．8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为．9．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是．10．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为．三、解答题11．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，是菱形的对角线，．(1)请用尺规作图法，在上找点，使；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）条件下，连接,求的度数．12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．13．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，，，求的长．14．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，菱形及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．(1)如图1，若点P在上，请在上作出点Q，使．(2)如图2，若点P在菱形外，请在菱形外作点Q，使．15．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，且，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的周长．16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点．(1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数；(2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由．(3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由．综合训练一、选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论错误的是()A.当∠ABC=90°时,它是矩形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C.∠ABC=∠ADC D.AC=BD一定成立2.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直3.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=10cm,AB=4cm,则△COD的周长为()A.14cm B.9cm C.7cm D.5cm4.如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是()A.∠BAC=90° B.∠DAE=90°C.AB=AC D.AB=AE5.如图,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为()A.55° B.25°C.30° D.35°6.将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得()A.多个等腰直角三角形 B.一个等腰直角三角形和一个正方形C.四个相同的正方形 D.两个相同的正方形7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A,D重合),过点P作AC和BD的垂线,垂足分别为E,F,则PE+PF=()A.125 B.C.35 D.8.将一边长为2的正方形纸片折成四部分,再沿折痕折起来,恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥,则三棱锥四个面中最小的面积是()A.1 B.32 C.12 D二、填空题9.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.

10.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=.

11.如图,∠ACB=90°,△ABF的中位线DE经过点C,且CE=13CD,若AB=6,则BF的长为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为.

三、解答题13.如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.求证:EG=FH.14.如图,A,B,C三点在同一条直线上,AB=2BC.分别以AB,BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC.求证:FN=EC.15.如图,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;

②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.

(直接写出答案,不需要说明理由)16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.17.如图①,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.图①图②图③图④(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图③中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图④中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)综合训练一、选择题1.D2.C3.B4.A5.B∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴由平行四边形的性质可得,∠BCD=∠BAD=60°,∠DCF=180°-∠F=70°.∵AD∥BC,DE∥CF,∴∠ADE=∠BCF=∠BCD+∠DCF=60°+70°=130°.∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且有公共边CD,∴AD=DE.∴∠DAE=12(180°-∠ADE)=12×50°=6.C7.A如图所,连接OP,过点A作AG⊥BD于G.∵AB=3,AD=4,∴由勾股定理可得BD=32+4∵S△ABD=12AB·AD=12BD·∴12×3×4=12×5×AG,解得AG=在矩形ABCD中,OA=OD.∵S△AOD=12OA·PE+12OD·PF=12OD∴PE+PF=AG=1258.C如图,点E,F为边的中点,沿图中虚线折叠,恰好能不重叠地搭建成一个三