浙江省宁波市九校联考2025-2026学年高二下学期6月期末考试数学试题含答案

绝密★考试结束前

2025学年

宁波市期末九校联考高二数学试题

第二学期

第I卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知A、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“A、B为对立事件”的.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

2.已知集合U={1,2,3},则U的所有子集中的元素之和为.

A.6B.12C.18D.24

3.下列说法中正确的是.

A.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1

B.若随机变量X服从正态分布N(3,o²),且P(X≤4)=0.7,则P(2<X<4)=0.4

C.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x²≈6.852,根据小概率值α=0.005的x²独

立性检验：o=7.879,可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%

D.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4

4.已知x⁴+4x³+7x²+7x+3=(x+m⁴+A(x+m²+B(x+m)+C,则实数m=.

A.1B.-1C.2D.-2

5.已知如果存在实数m,使得对任意的实数x,都有f(m)≤f(x)≤f(m+1)

成立，则の的最小值为.

A.1B.2C.πD.2π

6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c,已知C=2B,b=2,c=3,则△ABC的面积为.

7.现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色、绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子

朝上面的点数之和为15,设红色骰子掷出的点数为X,绿色骰子掷出的点数为Y,下列结论

中正确的是.

A.P(X+Y=12)=P(X=6)P(Y=6)B.P(X=5|Y=4)=P(X=4|Y=5)

C.E(X+Y)=10D.D(X+Y)=4D(X)

8.已知三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC,且P在底面ABC内的射影在

△ABC的内部(不包括边界),二面角P-AB-C,二面角P-BC-A,二面角P-AC-B的

大小分别为α,β,γ,则.

A.α>β>γB.y>α>βC.α<γ<βD.α<β<y

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a,b满足|a=1,|b|=1|a+b|=√3,则下列说法正确的是.

A.a与b夹角为C.|a-b|=1D.a-b与b夹角为

B

宁波市九校联考高二数学试题第1页共4页

10.在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为菱形，PA=2,AB=PB=PD=√5,AC=2√3,PC=2√2,

则下列说法正确的是.

A.异面直线PA与CD所成角的正切值为2

B.异面直线BD与PC垂直

C.直线PA与平面ABCD所成角为60°

D.四棱锥P-ABCD的棱上恰有3个异于A的点M(i=1,2,3),

使得直线AM,与直线PA所成角均为第10题图

11.已知函数f(x)的定义域为[0,+∞],且f(x+2)=(x).当x∈(0,2)时，

设k为大于1的正整数，则下列四个结论中正确的是.

A.存在x₀∈(0,1),使得f(2x。)=x₀且f(3x₀)=x₀

B.方程f(hx)=x的解的个数为k

C.若为方程f(kx)=x的解，则k的最小值为4

D.对任意有理数x₀∈(0,1),存在k,使得f(kx₀)=x₀

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知i是虚数单位，则|

13.在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2,A₁B₁=4,异面直线C₁D₁与AA₁所成角为60°,设二面

角A-A₁B₁-D₁的大小为θ,则tanθ=_▲

14.平面中的3个单位向量a,b,c满足a·b=[a·c]+[b.c](其中[x]表示不超过实数x的最大整数),

则|a+b+c|的取值范围是_▲·

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”,实现教学模式的变

革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得

到如图所示的频率分布直方图.

(1)在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90,100]范围的人

数，求X的分布列；

(2)假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80,100]范围的人

数，求Y的分布列.频率

组距

0.024

0.020

0.016

0.010

5060708090100(满意度评分)

宁波市九校联考高二数学试题第2页共4页

16.已知函数,且定义域为(-1,1).

(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)利用单调性的定义证明：f(x)在(-1,1)上单调递减；

(3)求不等式f(1-Inm)+f(1-(lnm²)<0的解集.

17.在长方体ABCD-AB₁C₁D₁中，AB=BC=2,AA₁=3,E为棱AB上一动点.

(1)求证：A₁C⊥B₁D₁;

(2)当BC₁//平面A₁CE时，求线段AE的长度；

(3)在(2)的条件下，求底面正方形ABCD的内切圆上点P到平面A₁CE距离的最大值.

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18.设锐角三角形△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

(1)求角A的大小；

(2)若边BC上中线AD的长度为√6,求VABC面积的最大值；

(3)若点O为△ABC所在平面内一点，且满足(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0,

求sin²∠BOC-cos²∠AOC的取值范围.

19.一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细

菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为,死亡的概率也为,分裂生成的新细菌亦如此，当细

菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化.记第n(n∈N)分钟后，该实验

室拥有此种细菌数为Xn.

(1)求X₂=4的概率；

(2)已知X₄=0,求X₂=0的概率；

(3)求Xn的数学期望.

宁波市九校联考高二数学试题第4页共4页

2025学年

宁波市期末九校联考高二数学参考答案

第二学期

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

题目12345678

答案BDBACDCC

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题目91011

答案ACDABDBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.√513.√214.{1}U[√5,√2+1]

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.解：

(1)由频率分布直方图可得(0.016+0.024+a+0.020+0.010)×10=1,

解得a=0.03.3分

因为评分在[80,90]的频率为0.02×10=0.2,抽取的人数为50×0.2=10,

评分在[90,100]的频率为0.01×10=0.1,抽取的人数为50×0.1=5,

所以X的可能取值为0,1,2,

所以X的分布列为

X0工2

P

8分

(2)因为评分在[80,100]的频率为0.2+0.1=0.3,用频率估计概率，

则全校学生评分在[80,100]的频率为0.3,

所以Y的可能取值为0,1,2,且Y~B(2,0.3),

所以P(Y=)=C2×0.7²=0.49,P(Y=1)=C₂×0.3×0.7=0.42,P(Y=2)=C²×0.3²=0.09,

所以Y的分布列为

Y012

P0.490.420.09

.13分

宁波市九校联考高二数学参考答案第1页共4页

16.解：

(1)f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称，

所以f(x)为奇函数……4分

(2)Vx₁,x₂∈(-1,1),且x₁<x₂,

因为x₂-x₁>0,x₁x₂+1>0,x²-1<0,x²-1<0,

所以f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),

所以f(x)在(-1,1)上单调递减..9分

(3)因为f(x)为奇函数，且f(1-Inm)+f(1-(Inm)²)<0,

故f(1-Inm)<f(Inm)²-1),又f(x)在(-1,1)上单调递减，

所以解得0<Inm<1,即1<m<e,

所以不等式的解集为(1,e)15分

17.解：

(1)因为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,且AB=BC,

所以CC₁I平面A₁B₁C₁D₁,且B₁D₁⊥A₁C₁,

因为B₁D₁C平面A₁B₁C₁D₁,所以CC₁⊥B₁D₁,

因为A₁C₁c平面A₁C₁C,CC₁c平面A₁C₁C,

且A₁C₁∩CC₁=C₁,所以B₁D₁⊥平面A₁C₁C,

因为A₁Cc平面A₁C₁C,所以B₁D₁⊥A₁C……4分

(2)以D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A₁(2,0,3),C₁(0,2,3),

设AE=t(0≤t≤2),则E(2,t,0),

BC₁=(-2,0,3),A₁C=(-2,2,-3),A₁E=(0,t,-3).

设平面A₁CE的法向量为n=(x,y,z),则：

令z=2t,解得y=6,x=6-3t,故n=(6-3t,6,2t).

因为BC₁//平面A₁CE,所以BC₁·n=0.

即-2(6-3t)+0+3(2t)=0,解得t=1.

所以线段AE的长度为19分

宁波市九校联考高二数学参考答案第2页共4页

(3)由(1)知t=1,E(2,1,0),A,(2,0,3),平面A₁CE的法向量n=(3,6,2),

底面正方形ABCD的内切圆圆心为0(1,1,0),半径r=1.

设内切圆上的点P坐标为：P(1+cosθ,1+sinθ,0),θ∈(0,2π),

则A₁P=(-1+cosθ,1+sinθ,-3),

所以A₁P·n=(-1+cos0)×3+(1+sinθ)×6+(-3)×2=3cosθ+6sinθ-3.

点P到平面A₁CE距离

设f(θ)=3cosθ+6sinθ-3,θ∈(0,2π),

=3√5(sinφcosθ+cosφsinθ)-3

=3√5sin(φ+0)-3,其中

当sin(φ+0)=-1时，|f(θ)|取最大值，为3√5+3,

所以点P到平面A₁CE距离的最大值15分

18.解：

(1)由正弦定理及

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

即

又C∈(0,π),所以sinC>0,所以

而A∈(0,π),所以……4分

宁波市九校联考高二数学参考答案第3页共4页

(2)因为D是BC中点，所以

所以,即b²+c²+bc=24,

又24=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当b=c=2√2时等号成立，

所以bc≤8,所以

即△ABC面积的最大值为2√3.