2027年高考数学一轮复习资料 专题02 二次函数与一元二次方程、不等式

专题 二次函数与一元二次方程、不等abbab,bcaabacbabacab,c0a c【真题实战】（2025·北京丰台·一模）已知abcd，则下列不等式恒成立的是（acb

ac

2a2c2b

a2c2b2dAacb举反例：取a1b2c3d4ac2bd2，显然22A不恒成立；Bac举反例：取a2b1c3d2，则ac6bd2，显然62B不恒成立；C2a2c2b由于指数函数2xab和cd分别推出2a2b和2c2d，因此2a2c2b2dC恒成立；Da2c2b2d举反例：取a3b2c4d1，则a2c225b2d25，显然255D不恒成立.故选：C.三个“二次”{x|x<x1{x|x1<【真题实战】（2025·湖北黄冈·三模）Ax1

A．,1∪2,

C．,1∪2,

Ax∣1 1

2

x11，x

10，进一步化简 0x {∣xB{∣x1x2.a2b22aba，bR,（ab时取号

aba0b x>0，y>0，则xypx＝y时，x＋y2p.(简记：积定和最小x＋ypx＝y时，xy有最大值p2简记：和定积最大【真题实战】（2025·北京·高考真题）已知a0,b0，则（a2b2

11 ab D．11 A,当aba2b22abA 11246 8对于BD，取a2,b4，此时

1

12112412

BD对于C，由基本不等式可得ab ab，故C正确.故选2：分母为多项式时1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；2：待定系数法，适用于所有的形式， y2

的最小值为（ y2 y2

6y2

y

x0 y2的最小值为6，故选2】（2025·湖北·模拟预测）已知实数ab满足12136，则ab的最大值为（ A．

B．

C．

【解析】因为12136，所以2a3b 12a3b 因为ab62a3b6

当且仅当2a3b1a1b1时等号成立，故ab

3】（2025·安徽合肥·三模）已知正数a、b121，则a2b的最小值为（ 【解析】由题意得a2ba2b121

2b45

2b

2b

当且仅当12 a0,b

时，即a3b3a2b94】（2025·山东济宁·模拟预测）x0y0xy2y2360xy2的最大值（

xy2y2360yx2y36x362yy2362y2362x0y0xy2y236y2362y2362

14y23614y2362y2362y24y2362y2362y2当且仅当y ，xxy2的最大值为

5】（2025·云南昆明·模拟预测）x0y0xyxy80xy的最小值为（ xyxy8

8xy4xy

80

t(t0，则t22t80.解得t4或t2舍4，xyxy4xD，mfxmfxD，mfxmfxD，mfxmfxD，mfxmf（A．22,

B．,22

,27 5 x15x2ax20可得ax2又关于x的不等式x2ax20在区间1,5上有解，则ax2 x yx2yx2在区间1,2上单调递减，在区间25 x1y3x5y5227，所以a27 2】（24-25高三上·四川德阳·月考）x，yxy211m2m 【答案】(1x0y0xy2111(xy)1112

x12

yx2yx1

y 2

y 2

xy 11m2m 所以m2m2，解得1m2．(12).x 11】若0m1，则不等式x1x

mx0的解集为（ xx1x xxm或x1 D．xmx1 【解析】当0m1m1所以不等式的解集为xmx1. 2】（2025·陕西渭南·二模）x的不等式2ax24xax2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）

【解析】当a0x1故a0x的不等式2ax24xax2可得2ax24ax20所以2x1ax20，即a2x1x2 a 2x 2 方程 1xa0的两根为x12,x2a 2x 2 当a0时，不等式可化为 1xa0，x12,x2a0 a 当a0时，不等式可化为2x1x2 a xx12，即a421

a2 要使不等式有且只有一个整数解，则120，又因为a0xx12，即a4 xx12，即0a4，不等式的解集为122 2 要使不等式有且只有一个整数解，则122，解得：1a201辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．【典例1（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试若a,bcab0（ac2

1 b

A，当c0ac2bc2AB，因为ab0，所以ab0101a1b11B C，当a2b1，符合ab0b12aC 对于D，因为ab0，所以ab，当c0时 当c0

D错误. 【典例2】（2025·北京房山·一模）已知a,bR，且ab，则（1 C．a3

a2A选项：举反例a1,b1可知不成立；B选项：举反例a1,b1可知不成立；Ca3b3ab)(a2abb2ab)[(a1b)23b2 因为ab，所以ab0，而(a1b20,3b20 故a3b30，即a3b3D选项：举反例a1b1.502ab辨析：（1）ab

ab

a，b 【典例1】（24-25高三下·广东深圳·月考）x3，则2x【答案】

x

【解析】因为2x x311x311，x3x

x1

x3x3x3

x4时，等号成立

x故2x

1x3 11213x x31

ba

ab D．b A，因为ab011 baB，因为ab0b0a0baba

2 ba1即ab时，等号成立，又abba2 C，因为ab0ab0

0，所以ab D，因为ab0110，所以110 又ab0，所以1a1b0abb a 03【典例1】（24-25高三下·北京·强基计划）已知正数x,y,z满足3x2y2z21，则y1最小值 【答案】

223x2222y1 y1 y223x2222

3x2

1

y1y

y1y 等号成立当且仅当y1,3xz 6

最小值为 a2c【典例2（24-25高三上·广东深圳·期末）已知a0,b0,c0,a2b2ab 3a 46

c146b3 c2【解析】由a2b2ab3，得到a12b14，所以2b1

a1则a2c1c14c1a2a14c111a143a 6b c a 4 c a 4 c 又a0,b0,c0所以a2c1c

4c11

1a1 2c143a 6b c 3 a 4 c c 当且仅当1a1，即a1,b1a 2c2 c2c1422c2 c

2462 c c

2c

c

，即c 所以a2c1c

44623a 6b

c 04fx0fxgx0g gx【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）x42的解集是（x

B．{∣xx42x20即x2x10，故2

x<x

x

x1【典例2】（2025·上海杨浦·三模）不等式x12的解集 x【答案】{x|x5xx12等价于x50，即x2

x5x2x

x

(x5)(x2)即原不等式的解集为：{x|x5x比较两数（式）abRab0abab0abab0ab步骤：作差并变形0的大小a0b0

1ab；

1ab；

1a步骤：作商并变形1的大小ab0，所得结果与“原理”中的结论相1】（25-26高三上·河北衡水·月考）Mx2x3Nx2MN大小关系是（M

M

M

MMNx2x3x2x22x1x120，所以MN.2（24-25高三下·海南海口·月考）已知b克糖水中含有a克糖（ba0），再添加m克糖（m0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（）a

am b b

a

aab b baam b证明：ba0maamabmbammab b bb又ba0m0

bbm bbm0mab0mab bbaam0aam. b b利用不等式的性质求数（式）M1f1(abN1M2f2(abN2g(abg(ab)pf1(ab)qf2(ab；1】（2025·山西临汾·二模）若3a52b1，则2ab的范围是（

【解析】由3a52b1可得62a101b2，故52ab12，故选：D2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知3ab2，1ab4，则3ab的取值范围是（[3,

[5,

[5,

[2,【解析】因为3ab2(abab)，又3ab2，1ab4，所以3ab的取值范围是[50．故选：C．ax2bxc0(a0，计算判别式：0

b01】（24-25高三上·重庆·月考）不等式2x1x10的解集为（{x|x1x

{x|x1xx|1x D．x|1x 【解析】2x1x10x1x故解集为：{x|x1x1 【典例2】（24-25高三上·内蒙古包头·月考）若不等式ax2bxc0的解集是xx2，cx2bxa0的解集是（

{x|x1x

x1x D．x2x 【解析】由不等式ax2bxc0的解集为1x2得a0，且12是ax2bxc0则有12b12c，即b3a,ca 则不等式cx2bxa0可转化为ax23axa0即2x23x202x1则不等式cx2bxa0的解集为x2x

.1】（2025·广西·一模）100g的砝码放一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（） 【解析】设天平左臂长为m，右臂长为nmn0且mn，左盘放的药品为x1x2克，

则mx100n，解得x1m,x2 xx1

100n100m2

200 当且仅当mn时，取到等号，而mnx 2t250t98,t s（单位：百万元）与新设备运行的时间t（ t10t2t,t

备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t（ 2t9850,t【解析】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y 当t82t9828，当且仅当t7则2t985022所以当t7s取得最大值，且最大值为22当t8t210t2(t5)223，所以函数在8上单调递减，所以当t8s取得最大值，且最大值为14故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t7.B这也是证明轮换对称结构的不等式（ba，ac，cb后，代数式不变的式子叫做轮换对称性，其特a，b，c的地位一样）的常用思路．4abc1】（2025高三·全国·4abcabc

3ab请利用（1）的结论，证明：a3ab【解析】（1）因为a、b、c、d所以ab ，cd ，当且仅当ab，cd时等号成立 所以abcd 当且仅当ab，cd时等号成立abab4abab

ab4所以abcd ，当且仅当abcab4 ab4（2）由于abcd ，当且仅当abcab4 abcabc34abc33令d ，3

abc3abc33abc3即abc 43abc，故abc33abc3abc³3abc，当且仅当abcd时等号成立2】（24-25高三上·河南周口·期末）已知ABC的内