初高中数学暑假衔接材料：第03讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（原卷版）

11/12第03讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1解不含参数的一元二次不等式题型2解含参数的一元二次不等式题型3由一元二次不等式的解确定参数题型4三个“二次”关系的应用题型5一元二次不等式恒成立问题题型6一元二次不等式有解问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一元二次方程、二次函数、一元二次不等式1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系2.掌握含参一元二次不等式的解法；3.掌握利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法。学习重点：利用一元二次不等式解决含参数、恒成立问题的方法学习难点：有关参数的分类讨论知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01从函数观点看一元二次方程【知识点1从函数观点看一元二次方程】1．二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点.【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点．2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：判别式∆=b2-4ac∆>0∆=0∆<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异的实数根

有两个相等的实数根

没有实数根二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的零点有两个零点

有一个零点

无零点知识点02一元二次不等式【知识点2一元二次不等式】1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．知识点03三个“二次”的关系【知识点3三个“二次”的关系】1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式∆=b2-4ac∆>0∆=0∆<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异的实数根

x1,x2（x1<x2）有两个相等的实数根

没有实数根二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c>0(a>0)的解集Rax2+bx+c<0(a>0)的解集（x1，x2）【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．知识点04一元二次不等式恒成立、存在性问题【知识点4一元二次不等式恒成立、存在性问题】1．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件．一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为．题型1解不含参数的一元二次不等式【例1】不等式x2+5x−6>0的解集为（A．{x∣x<−1或x>6} B．{x∣x<−6或x>1}C．x−6<x<1 D．【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】不等式x−12−x≥0的解集为（A．x∣1≤x≤2 B．{x∣x≤1或x≥2}C．{x∣1<x<2} D．{x∣x<1或x>2}【变式1-2】解一元二次不等式.(1)x2(2)x−x(3)4x(4)x2【变式1-3】解下列一元二次不等式(1)x(2)−2题型2解含参数的一元二次不等式【例2】当a<0时，关于x的不等式ax2−A．R B．xC．xx>2a或【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】关于x的一元二次不等式ax−aA．xx<a或x>−1 B．C．xa<x<−1 D．【变式2-2】当0<a<1时，关于x的不等式x-3A．-∞,a-3aC．3,a-3a【变式2-3】）关于x的不等式ax2+2aA．-∞,-2 B．-2,C．-∞,-2∪1a题型3由一元二次不等式的解确定参数【例3】若关于x的不等式x2+bx+c≤1bA．-12 B．-32 【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x∣x≤−1或x≥3}，则cA．x−1<x<13C．x−13【变式3-2】关于x的不等式2x2+1-2aA．2,3 B．2,3 C．2,3 D．2,3【变式3-3】已知关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（A．{a∣5<a≤6} B．a|−4≤a<−3C．{a|−4≤a<−3或5<a≤6} D．{a|−4≤a<−3或5≤a<6}题型4三个“二次”关系的应用【例4】不等式cx2+ax+b>0的解集为x−1<x<1A． B．C． D．【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】不等式ax2−bx+c>0的解集为x−2<x<1，则函数A．

B．

C．

D．

【变式4-2】已知不等式ax2+bx+c>0A．f(4)>f(0)>C．f(0)>f(1)>【变式4-3】已知二次函数y=x2-a-1x(1)当a=3时，求x(2)求关于x的不等式y+1≥0题型5一元二次不等式恒成立问题【例5】若不等式a-2x2-2a-2xA．-∞,-2∪2,+∞ C．-2,2 D．-2,2【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】设函数y=(1)若对于一切实数x,y<0(2)对于1≤x≤3,y【变式5-2】若关于x的不等式x2+ax+12a>0对∀x∈A．0<a<12 B．0<a<13 C．【变式5-3】设0<x<12，若关于x的不等式2kx2−A．8 B．9 C．10 D．11题型6一元二次不等式有解问题【例6】若关于x的不等式x2-4x>a2-5A．0,5 B．1,4C．(-∞，0)∪(5，+∞) 【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】若∃x∈x|1≤x≤3，使得A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3【变式6-2】若命题“∃x∈R，使得x2+2ax+2a+3<0”为真命题，则实数aA．a|a<−1 B．a|−1≤a≤3C．{a|a<−1或a>3} D．a|1−【变式6-3】若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．−1<m<2 B．m<−2，或m>1C．−2<m<1 D．m<−1，或m>2一、单选题1．不等式(x−2)(x+3)>0的解集为（

）A．{x|x<−2或x>3} B．{x|−2<x<3} C．{x|x<−3或x>2} D．{x|−3<x<2}2．已知方程x2−2mx+m+2=0的两根都在区间(1,4)内，则m的取值范围为（A．[2,3) B．(1,187) C．[3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|−2≤x≤3}，则不等式cA．{x|−13<x<12}C．{x|−12<x<13}4．关于x的不等式x2−2ax+a>0对∀x∈R恒成立，则aA．0<a<1 B．0<a<2C．0<a<12 5．不等式cx2+ax+b>0的解集为x−1<x<12A．

B．

C．

D．

6．下列说法不正确的有（

）A．当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则B．x2−kx+k−1<0在1,2上恒成立，则实数kC．当x>0时，不等式x2−ax+16>0恒成立，则实数aD．若不等式x2−ax+4≥0对任意x∈1,3恒成立，则实数二、多选题7．已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集为xC．a+b+c>0 D．不等式cx2−bx+a<0的解集为8．关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（

）A． B． C． D．29．已知函数，下列说法正确的是（

）A．若关于的不等式的解集是或，则B．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为C．若，则的最大值为D．若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是三、填空题10．若∃x∈R，ax2+ax+a−3<0，则a的一个可取的正整数值为11．已知关于x的不等式ax2+4ax−3<0