2026年湖南长沙一中学岳麓中学八上数学期末达标测试试题含解析

2026年湖南长沙一中学岳麓中学八上数学期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（）A．7、24、25 B．5、12、13 C．3、4、5 D．2、3、2．已知△ABC中，AB=17cm，AC=10cm，边上的高AD=8cm，则边的长为（）A． B．或 C． D．或3．今年植树节，某校甲、乙两班学生参加植树活动．已知甲班每小时比乙班少植棵树，甲班植棵树所用时间与乙班植棵树所用时间相同．若设甲班每小时植树棵，则根据题意列出方程正确的是（）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为()A．8 B．7 C．6 D．55．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2 B．x＝2 C．x＝1 D．x≠16．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有()A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个7．的算术平方根是（）A．5 B．﹣5 C． D．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E，若∠CBD：∠DBA=2：1，则∠A为（）A．20° B．25° C．22.5° D．30°9．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为()A．115° B．105° C．95° D．85°10．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE，CD交于点O，则图中全等的三角形共有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对二、填空题(每小题3分,共24分)11．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．12．若点在第二、四象限角平分线上，则点的坐标为__________．13．在平面直角坐标系中，点A(2,0)，B(0,1)，当点C的坐标为_______时，△BOC与△ABO全等．14．空调安装在墙上时，一般都采用如图所示的方法固定．这种方法应用的几何原理是：三角形具有______．15．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝_________.16．繁昌到南京大约150千米，由于开通了高铁，动车的的平均速度是汽车的2.5倍，这样乘动车到南京比坐汽车就要节省1.2小时，设汽车的平均速度为x千米/时，根据题意列出方程_____．17．如图，在中，，AB的中垂线分别交AB、BC于点E和D，点F在AC上，，且，则=______________.18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使三角形AMN周长最小时，则∠MAN的度数为_________.三、解答题(共66分)19．（10分）已知：如图，，(1)求证：.(2)求的长.20．（6分）如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y轴于M，（1）求点C的坐标；（2）连接AM，求△AMB的面积；（3）在x轴上有一动点P，当PB+PM的值最小时，求此时P的坐标．22．（8分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；（2）在直线上找一点，使的值最小；（3）若是以为腰的等腰三角形，点在图中小正方形的顶点上．这样的点共有_______个．（标出位置）23．（8分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标为（1）作关于轴对称的图形；（2）将向右平移4个单位，作出平移后的；（3）在轴上求作一点，使得值最小，并写出点的坐标（不写解答过程，直接写出结果）24．（8分）在中，，点、分别在、上，，与相交于点．（1）求证：；（2）求证：．25．（10分）阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（𝑎𝑚+𝑎𝑛）+（𝑏𝑚+𝑏𝑛）=a（𝑚+𝑛）+b（𝑚+𝑛）=（𝑎+𝑏）（𝑚+𝑛），这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x2-y2+x-y（2）已知四个实数a、b、c、d同时满足a2+ac=12k，b2+bc=12k．c2+ac=24k，d2+ad=24k，且a≠b，c≠d，k≠0①求a+b+c的值；②请用含a的代数式分别表示b、c、d26．（10分）尺规作图：如图，要在公路旁修建一个货物中转站，分别向、两个开发区运货.（1）若要求货站到、两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？（2）若要求货站到、两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？（分别在图上找出点，并保留作图痕迹.）

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.进行计算可解答.【详解】A、72+24＝252，符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；D、22+32≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形.故选：D.此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2、B【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，分两种情况进行讨论,分别依据勾股定理即可求解．【详解】解：分两种情况：①如图在Rt△ABD中，∠ADB=90°,由勾股定理得,AB2=AD2+BD2∴172=82+BD2,解得BD=15cm,在Rt△ACD中，∠ADC=90°,由勾股定理得,AC2=AD2+CD2∴102=82+CD2,解得CD=6cm,∴BC=BD+CD=15+6=21cm；②如图由勾股定理求得BD=15cm,CD=6cm,∴BC=BD-CD=15-6=9cm.∴BC的长为21cm或9cm.故选B当涉及到有关高的题目时，高的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，所以分类讨论计算是此类题目的特征．3、A【分析】根据“甲班植棵树所用时间与乙班植棵树所用时间相同”列分式方程即可．【详解】解：由题意可得故选A．此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．4、B【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD在△ADE和△ADC中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴ED=CD，∴BC=BD+CD=DE+BD=5，∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(6−4)+5=7故选B．本题考查全等三角形的应用.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、HL.通过证明三角形全等可以得到相等的边或角，可将待求量进行转化，使问题迎刃而解．5、A【解析】根据分式的性质，要使分式有意义，则分式的分母不等于0.【详解】根据题意可得要使分式有意义，则所以可得故选A.本题主要考查分式的性质，关键在于分式的分母不能为0.6、C【分析】结合正方形的特征，可知平移的方向只有5个，向上，下，右，右上45°，右下45°方向，否则两个图形不轴对称.【详解】因为正方形是轴对称图形，有四条对称轴，因此只要沿着正方形的对称轴进行平移，平移前后的两个图形组成的图形一定是轴对称图形，观察图形可知，向上平移，向上平移、向右平移、向右上45°、向右下45°平移时，平移前后的两个图形组成的图形都是轴对称图形，故选C.本题考查了图形的平移、轴对称图形等知识，熟练掌握正方形的结构特征是解本题的关键.7、C【解析】解：∵=5，而5的算术平方根即，∴的算术平方根是故选C．8、C【解析】试题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=DB，再根据等边对等角可得∠A=∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可．解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠DBA，∵∠CBD：∠DBA=2：1，∴在△ABC中，∠A+∠ABC=∠A+∠A+2∠A=90°，解得∠A=22.5°．故选C．考点：线段垂直平分线的性质．9、C【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=100°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°，∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°．故选C．此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．10、C【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACE，可得∠B＝∠C，由“AAS”可证△BDO≌△CEO，即可求解．【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠B＝∠C，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，且∠B＝∠C，∠BOD＝∠COE，∴△BDO≌△CEO（AAS）∴全等的三角形共有2对，故选：C．本题考查三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】有两个不相等实数根得到判别式大于0，解不等式即可求解．【详解】解：由题意可知，方程有两个不相等的实数根，解得：，故答案为：．本题考查一元二次方程判别式的应用，当△＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=0时，方程有两个相等实根，当△＜0时，方程没有实数根．12、（4，-4）【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标．【详解】解：∵点P（5+m，m-3）在第二、四象限的角平分线上，

∴（5+m）+（m-3）=0，

解得：m=-1，

∴P（4，-4）．

故答案为：（4，-4）．本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数.13、（-2，1），（2，1）或（-2，0）【解析】本题可从两个三角形全等入手，根据全等的性质，分类讨论即可．【详解】如图:当点C在轴负半轴上时，△BOC与△BOA全等．点C当点C在第一象限时，△BOC与△OBA全等．点C当点C在第二象限时，△BOC与△OBA全等．点C故答案为（-2，1），（2，1）或（-2，0）．考查全等三角形的性质，画出示意图，分类讨论即可．14、稳定性【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．【详解】这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：稳定性．本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．15、2【分析】根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系,根据线段的和差，可得答案.【详解】∵在△ACD和△CBE中：∴故答案是2.本题考查了全等三角形的判定余角的性质，解决本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.16、．【分析】设汽车的平均速度为x千米/时，则动车的平均速度为2.5x，根据题意可得：由乘动车到南京比坐汽车就要节省1.2小时，列方程即可．【详解】设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，由题意得，．故答案为：．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．17、37.5°【分析】设的度数为x，可得：∠B=∠C=∠BAD=x，∠AFD=∠C+∠CDF=x+30°，根据三角形内角和定理，可得：∠DAF=180°-3x，从而列出关于x的一元一次方程，即可求解.【详解】设的度数为x，∵，∴∠B=∠C=x，∵∴∠AFD=∠C+∠CDF=x+30°∵AB的中垂线分别交AB、BC于点E和D，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD=x，∴∠DAF=180°-3x，∵，∴∠AFD=∠DAF，∴x+30=180-3x，解得：x=37.5，故答案是：37.5°本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，根据题意，列出关于x的方程，是解题的关键.18、80°【分析】延长AB到,使得B=AB，延长AD到，使得DA=D，连接、与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，然后因为∠AMN=∠BAD－(∠BAM＋∠DAN)，之后推出∠BAM＋∠DAN的值从而得出答案。【详解】如图，延长AB到,使得B=AB，延长AD到，使得DA=D，连接、与BC、CD分别交于点M、N∵∠ABC=∠ADC=90°∴与A关于BC对称；与A关于CD对称此时△AMN周长最小∵BA=B，MB⊥AB∴MA=M同理：NA=N∴∠=∠AM,∠∵∠＋∠＋∠BAD=180°，且∠BAD=130°∴∠＋∠=50°∴∠BAM＋∠DAN=50°∴∠MAN=∠BAD－(∠BAM＋∠DAN)=130°－50°=80°所以答案为80°本题主要考查了轴对称的性质以及三角形的相关性质，熟练掌握相关概念是解题关键。三、解答题(共66分)19、(1)证明见详解；(2)BD=5.【分析】(1)由已知利用ASA即可得证；

(2)利用全等三角形对应角相等得到AE=AD，再由即可求得答案．【详解】解：(1)在和中(2),..,.本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件.20、2.7米．【解析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．【详解】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.2米，∴AB2＝0.72+2.22＝6.1．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝1.5米，BD2+A′D2＝A′B′2，∴BD2+1.52＝6.1，∴BD2＝2．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的宽度CD为2.7米．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．21、（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2）；（3）点P的坐标为（1，0）．【分析】（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，证明≌，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，AD＝BE，求出点C的坐标；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到OM的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案；（3）根据轴对称的最短路径问题作出点P，求出直线B的解析式，根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标．【详解】解：（1）如图，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在和中，，∴≌（AAS），∴CD＝AE，AD＝BE，∵A（2，0）、B（3，3），∴OA＝2，OE＝BE＝3，∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，∴C的坐标是（﹣1，1）；（2）如图，作BE⊥x轴于E，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B点的坐标为（3，3），C点的坐标是（﹣1，1），∴，解得，，∴直线BC的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，∴OM＝，∴的面积＝梯形MOEB的面积﹣的面积﹣的面积＝×（+3）×3﹣×2×﹣×1×3＝；（3）如图，作M关于x轴的对称点（0，﹣），连接B，交x轴于点P，此时PB+PM=PB+P=B的值最小，设直线B的解析式为y＝mx+n，则，解得，，∴直线B的解析式为y＝x﹣，点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，∴点P的坐标为（1，0）．此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求一次函数解析式和求两线段和的最小值，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求一次函数解析式和轴对称的最短路径问题是解决此题的关键．22、（1）见解析；（2）见解析；（1）见解析，1【分析】（1）先找到点A、B、C关于直线的对称点A、B′、C′，然后连接AB′、B′C′，AC′即可；（2）连接B′C交直线l于点P，连接PB即可；（1）根据等腰三角形的定义分别以C、A为圆心，AC的长为半径作圆，即可得出结论．【详解】解：（1）先找到点A、B、C关于直线的对称点A、B′、C′，然后连接AB′、B′C′，AC′，如图所示，△AB′C′即为所求．（2）连接B′C交直线l于点P，连接PB，根据两点之间线段最短可得此时最小，如图所示，点P即为所求；（1）以C为圆心，AC的长为半径作圆，此时有M1、M2，两个点符合题意；以A为圆心，AC的长为半径作圆，此时有M1符合题意；如图所示，这样的点M共有1个，故答案为：1．此题考查的是作已知图形的轴对称图形、轴对称性质的应用和作等腰三角形，掌握轴对称的性质和等腰三角形的定义是解决此题的关键．23、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；点坐标为．【分析】（1）作各个顶点关于轴对称的对称点，顺次连接起来，即可；（2）将向右平移4个单位后的对应点，顺次连接起来，即可；（3）作出关于轴的对称点，连接，交轴于点，即可．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示，作出关于轴的对称点，连接，交轴于点，点坐标为．本题主要考查平面直角坐标系中，图形的轴对称与平移变换及点的坐标，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键．24、（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）根据等腰三角形的性质等边对等角、全等三角形的判定进行推导即可；（2）由（1）的结论根据全等三角形的性质可得，再利用等式的性质可得，最后由等腰三角形的判定等角对等边可得结论．【