2026年天津市中考数学试题（解析版）

2026年天津市初中学业水平考试

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，

第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．

答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”

上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案

答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．

祝你考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．

2．本卷共12题，共36分．

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.计算52的结果等于（）

A.7B.7C.3D.3

【答案】D

【解析】

【详解】解：52523．

2.下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【详解】解：它的主视图是，

．

3.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】如果一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据

轴对称图形的定义求解即可．

【详解】解：A选项：汉字“奋”沿竖直中线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故A

选项符合题意；

B选项：汉字“楫”左右结构不同，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；

C选项：汉字“争”笔画不对称，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；

D选项：汉字“先”笔画不对称，不是轴对称图形，故D选项不符合题意．

4.2026年5月28日，2026世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达130000平方米，创历年之最．将

数据130000用科学记数法表示应为（）

A.0.13106B.1.3105C.13104D.130103

【答案】B

【解析】

【详解】解：1300001.3105．

5.估计111的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

【答案】C

【解析】

【分析】先估算出11的取值范围，再对不等式两边加1，即可得到111的范围．

【详解】解：91116

91116，即3114

不等式两边同时加1，得3111141，即41115

因此111的值在4和5之间．

16

6.若点Ax,2，Bx,4，Cx,8都在反比例函数y的图象上，则x，x，x的大小关系是

123x123

（）

A.x1x2x3B.x2x1x3C.x1x3x2D.x2x3x1

【答案】C

【解析】

【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的

大小．

16

【详解】∵反比例函数y中，k160，

x

∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵点A的纵坐标20，

∴点A在第三象限，可得x10，

∵点B、C的纵坐标4,8都大于0，

∴点B、C都在第一象限，

又∵48，

∴x2x30

综上可得x1x3x2．

7.2sin30cos45的值等于（）

2

A.12B.0C.1D.2

2

【答案】B

【解析】

【详解】解：2sin30cos45

12

2

22

22

22

0．

8.《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，

不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3

钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可以列出的方程为（）

A.5x457x3B.5x37x45

C.5x457x3D.5x457x3

【答案】A

【解析】

【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程．

【详解】解：设人数为x，

∵每人出5钱，还差45钱，

∴羊价可表示为5x45钱，

∵每人出7钱，还差3钱，

∴羊价可表示为7x3钱，

∵羊价固定不变，

∴可列方程为5x457x3．

4b2

9.计算的结果等于（）

a2b2ab

222

A.2a2bB.C.D.

abbaab

【答案】D

【解析】

4b2

【详解】解：原式

ababab

4b2ab

abababab

4b2a2b

abab

2a2b

abab

2ab

abab

2

．

ab

10.如图，在ABC中，ABAC，BAC100，BD是ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以

1

点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的

2

长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则CDH

的大小为（）

A.25B.30C.35D.40

【答案】B

【解析】

【分析】利用等边对等角求得ABC40，利用角平分线的定义求得ABD20，利用三角形的外角

性质求得BDC120，由作图知DGBD，据此求解即可．

【详解】解：∵ABAC，BAC100，

1

∴ABC180BAC40，

2

∵BD是ABC的角平分线，

1

∴ABDABC20，

2

∴BDCABDBAC120，

由作图知DGBD，

∴BDH90，

∴CDHBDCBDH1209030．

11.如图，在ABC中，AB8，AC6，将ABC绕点A顺时针旋转得到ADE，使点C的对应点E

落在边AB上，点B的对应点为D，连接CE并延长，与BD相交于点F，若BF3，则ABF的面积为

（）

A.255B.410C.82D.72

【答案】C

【解析】

【分析】由旋转的性质可知：ACAE6,ABAD8,CAEBAD，则有ACE∽ABD，然后

可得BEF∽BDA，则有BFEF3，过点F作FHAB，进而根据勾股定理及等腰三角形的性质

进行求解即可．

【详解】解：由旋转的性质可知：ACAE6,ABAD8,CAEBAD，

AEAC3

∴，BEABAE2，

ADAB4

∴ACE∽ABD，

∴AECADB，

∵AECBEF，

∴BEFBDA，

∵FBEABD，

∴BEF∽BDA，

BFEF

∴，

BADA

∴BFEF3，

过点F作FHAB，如图所示：

1

∴BHEHBE1，

2

∴FHBF2BH222，

1

∴SABFH82．

ABF2

12.矩形ABCD中，AB5cm，AD7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向

终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为

ts．当t3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论：

①当t6s时，四边形APCQ是平行四边形；

35

②APQ的最大面积为cm2；

2

③当APQ的面积为10cm2时，t25s或t10s．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二

次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断．

【详解】解：①当t6s时，如图2，

BQ651，AP6，

∴CQ716，

∴CQAP6，

∵矩形ABCD，

∴ADBC，即APQC，

∴四边形APCQ是平行四边形，①正确；

②当点P在AD上，点Q在AB上，此时0t5时，如图1，

1

APAQt，St2，

APQ2

25

∴当t5时，APQ的最大面积为cm2；

2

当点P在AD上，点Q在BC上，此时5t7时，如图3，

15

APt，BQt5，S5tt，

APQ22

35

∴当t7时，APQ的最大面积为cm2；

2

当点P在CD上，点Q在BC上，此时7t12时，如图4，

DPt7，BQt5，CP12t，CQ12t，

∴SAPQS矩形ABCDSADPSCPQSABQ

111

577t712t12t5t5

222

112

t26tt618，

22

1

∵0，当t6时，SAPQ随t的增大而减少，

2

∴不存在最大值，

35

综上，APQ的最大面积为cm2，②正确；

2

③当点P在AD上，点Q在AB上，此时0t5时，

1

又②可知：APAQt，St2，

APQ2

1

由题意得t210，

2

∴t25（负值已舍）；

当点P在AD上，点Q在BC上，此时5t7时，

15

由②可知：S5tt，

APQ22

5

由题意得t10，

2

∴t4（不符合题意，舍去）；

当点P在CD上，点Q在BC上，此时7t12时，

1

St26t，

APQ2

1

由题意得t26t10，

2

∴t2（不符合题意，舍去）或t10；

综上，当APQ的面积为10cm2时，t25s或t10s，③正确．

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）．

2．本卷共13题，共84分．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别．从

袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为________．

2

【答案】

15

【解析】

【分析】根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取出红球的可能结果数，即可求解．

2

【详解】解：所有可能的结果数为15，取出红球的可能结果数为2，则取出红球的概率为．

15

14.计算x2y3x2的结果为________．

【答案】

3x4y

【解析】

【详解】解：x2y3x2

3x2x2y

3x22y

3x4y．

15.计算(103)(103)的结果为______．

【答案】7

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可．

【详解】(103)(103)

103

7．

故答案为：7．

16.将直线yxb（b为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，

则b的值可以是________（写出一个即可）．

【答案】1（答案不唯一，满足b2即可）

【解析】

【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到b的取值范

围，写出一个符合要求的值即可．

【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线yxb向上平移2个单位长度后，得

到新直线的解析式为yxb2，

∵平移后的直线经过第一、二、四象限，

∴k10，b20，

解得b2，

b的值可以取1，符合题意（答案不唯一）．

17.如图，在菱形ABCD中，BC5，B60，连接AC．

（Ⅰ）线段AC的长为________；

（Ⅱ）点E在边AB上，点F在BC的延长线上，EF与AC相交于点G，H为CD的中点．若AECF1，

则线段GH的长为________．

21

【答案】①.5②.

2

【解析】

【分析】（Ⅰ）因为菱形四边相等，所以ABBC，又因为B60，所以ABC是等边三角形，由此可

直接得到AC的长度．

（Ⅱ）过点E作EM//BC，交AC于点M，过H作HNAC于点N，根据等边三角形的性质和判定先

证得AEM是等边三角形，进而可证得EMG≌FCG，可求得CG的长度，在RtCHN中，

HCN60，可求出HN,GN的长，最后可利用勾股定理求出GH的长．

【详解】解：（Ⅰ）菱形ABCD，

ABBC5．

又B60，

ABC是等边三角形，

ACBC5．

（Ⅱ）过点E作EM//BC，交AC于点M，过H作HNAC于点N，如图：

ABC是等边三角形，

BACACB60，

EM//BC，

AEMB60，EMGFCG，

AEM是等边三角形，

AEEMAM1．

CF1，

EMCF，

又EGMFGC，

EMG≌FCGAAS，

MGCG．

CMACAM514，

1

CGCM2．

2

已知H是CD中点，CDBC5，

5

CH，

2

由菱形性质得ACDACB60，即GCH60．

在RtCHN中，HCN60，

5155353

CNCHcos60​，HNCHsin60，

224224

53

GNCGCN2．

44

2

2

在中，由勾股定理：22235397521，

RtGNHGHGNHN

44164

21

GH（负值已舍去）．

2

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在网格线上，以AC为直径

的半圆经过点B．

（Ⅰ）线段AB的长为________；

（Ⅱ）点M在线段BC上，点N在线段AM上，满足BNMCNMACB．请用无．刻．度．的直尺，

在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

________．

【答案】①.13②.解法一：如图，取格点D，连接CD，与网格线交于点E，连接AE，与BC

交于点M，与半圆相交于点F，连接BF，与网格线相交于G，取BC与网格线的交点H，连接GH并

延长，与网格线相交于I，连接CI并延长，与AM相交于点N，则点M,N即为所求.

解法二：如图，

设AC,BC分别与格线交于点O，点D，连接OD并延长交格线于点E，连接AE交BC于点M，交格线于

点F，设AB交格线于点G，连接FG并延长交格线于点H，连接BH交半圆于点K，连接KG交AB于

点N，则点M，点N即为所求．

【解析】

【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；

（Ⅱ）解法一：连接BD,BN,BE，由网格线的特点可得：E为CD中点，H为GI,BC的中点，可得

BGH≌CIHSAS，进一步可证明BF∥CN，可得BFNCNM，结合BFNACB，可

得ACBCNM，由AC为直径可得ABC90，而ABBD，可得ACDC，

ACBDCBCNM，BE是中位线，可得BEAC，可得BECE，EBMACB，可得

CMECNMNCMDCBNCMECN，可得ECM∽ENC，可得

BE2CE2EMEN，结合BEMBEN，可得EBM∽ENB，可得EBMBNEACB；

解法二：可证明点O为AC的中点，点D为BC的中点，点D为OE的中点，点G为AB的中点，点G为

FH的中点，则可证明四边形OCEB是菱形，得到CBEBCEACB；证明四边形AHBF是平行

四边形，进而可证明四边形AKBN是平行四边形，得到AKBANB；由圆内接四边形对角互补可得

AKBACB180，则可证明BNMACB，得到BNMBCE，据此可证明B、N、C、E

四点共圆，得到CNMBCEACB，则BNMCNMACB．

【详解】解：（Ⅰ）由网格的特点和勾股定理可得AB223213；

（Ⅱ）解法一：如图，取格点D，连接CD，与网格线交于点E，连接AE，与BC交于点M，与半圆相

交于点F，连接BF，与网格线相交于G，取BC与网格线的交点H，连接GH并延长，与网格线相交于

I，连接CI并延长，与AM相交于点N，则点M,N即为所求.

解法二：如图所示，连接BE，CE，BN，CN，AK，取格点P、Q，

OAAP1

可证明AOP∽ACQ，得到，则点O为AC的中点，即点O为半圆的圆心，

ACAQ2

同理可得点D为BC的中点，点D为OE的中点，点G为AB的中点，点G为FH的中点，

∴四边形OCEB是平行四边形，

又∵OBOC，

∴四边形OCEB是菱形，

∴ACBBCE，BECE，

∴CBEBCEACB；

同理可证明四边形AHBF是平行四边形，

∴BHAF，

∴GKBGNA，GBKGAN，

又∵AGBG，

∴GBK≌GANAAS，

∴BKAN，

∴四边形AKBN是平行四边形，

∴AKBANB；

∵四边形ACBK是圆内接四边形，

∴AKBACB180，

又∵ANBBNM180，

∴BNMACB，

∴BNMBCE，

∴B、N、C、E四点共圆，

∴CNMCBEACB，

∴BNMCNMACB．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

2xx3①

19.解不等式组

3x4x②

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为．

【答案】（1）x3

（2）x2

（3）如图：（4）3x2

【解析】

【分析】（1）利用解一元一次不等式的方法求解即可；

（2）利用解一元一次不等式的方法求解即可；

（3）利用两个不等式的解画图即可；

（4）根据数轴即可写出原不等式组的解集．

【小问1详解】

解：2xx3，

移项，得2xx3，

合并，得x3；

【小问2详解】

解：3x4x，

移项，得3xx4，

合并，得2x4，

系数化为1，得x2；

【小问3详解】

略

【小问4详解】

解：由数轴可知，不等式组的解集为3x2．

20.某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校a名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结

果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填空：a的值为________，图①中m的值为________，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的

众数和中位数分别为________和________；

（2）求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；

（3）根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为多少？

【答案】（1）50，30，5，5．

（2）5

（3）240人

【解析】

【分析】（1）根据“部分量对应占比总量”可计算a的值；也可将条形图中各组人数相加得到a，因为

扇形统计图各部分占比总和为1，所以用1减去其余各组的占比得到5次对应的占比，即m的值，找出出现

次数最多的出行次数即可求出众数，将所有数据从小到大排序，因为总人数为a，若a为偶数，取中间两个

数的平均数，若a为奇数，取中间位置的数；

（2）使用加权平均数公式，将每次出行次数乘以对应人数后求和，再除以总人数a；

（3）估计总人数中出行6次的人数：因为样本中出行6次的人数占比可求，所以用总人数1200乘以该占

比得到估计值．

【小问1详解】

解：因为出行3次共6人，占比12%，

所以a612%50，

因为百分比总和为100%，

所以m1001224201430，

因为出行次数为5次的人数最多（15人），因此众数是5．

因为总共有50个数据，中位数为排序后第25、26个数据的平均数，排序后第25、26个数据都是5，因此

中位数是5．

【小问2详解】

3641251561077250

解：根据加权平均数公式：x5（人）

5050

答：这组数据的平均数为5．

【小问3详解】

解：样本中绿色出行次数为6次的人数占比为20%，因此估计全校1200名学生中：120020%240（人）

答：估计该校周末绿色出行次数为6次的人数约为240人．

21.已知点A，B在O上，AOB120，点C在AB上，点D在以A，B为端点的优弧上．

（1）如图①，当C为AB的中点时，若DBDC，求OBC和OBD的大小；

（2）如图②，当AOC90时，过点D作O的切线EF，且EFOB，CD与OB相交于点G，若O

的半径为3，求BD和DG的长．

【答案】（1）OBC60，OBD15

（2）BD32，DG23

【解析】

【分析】（1）连接OC，根据题意可得ACBC，则可得到AOCBOC60，由圆周角定理可得

BDC30；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出OBC,DBC的度数，进而可求出

OBD的度数；

（2）连接OD，由切线的性质得到ODF90，则由平行线的性质可得BOD90；由勾股定理可

求出BD32；求出BOC30，则由圆周角定理得到BDC15；可证明ODB45，则

ODG30，解直角三角形求出DG的长即可．

【小问1详解】

解：如图①所示，连接OC，

∵C为AB的中点，

∴ACBC，

1

∴AOCBOCAOB60，

2

1

∴BDCBOC30；

2

∵OBOC，

∴OCBOBC，

∵OCBOBCBOC180，

∴OCBOBC60；

∵DBDC，

∴DBCDCB，

∵DBCDCBBDC180，

∴DBCDCB75，

∴OBDDBCOBC15；

【小问2详解】

解：如图②所示，连接OD，

∵EF与O相切，

∴ODEF，即ODF90，

∵EFOB，

∴BODODF180，

∴BOD90；

∵O的半径为3，

∴ODOB3，

∴BDOB2OD2323232；

∵AOB120，AOC90，

∴BOCAOBAOC30，

1

∴BDCBOC15；

2

∵ODOB，BOD90，

180BOD

∴ODBOBD45，

2

∴ODGODBBDC30，

OD3

∴DG23．

cosODGcos30

22.综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图①）．

某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，ABBC，BCDE，

AB的延长线与水平线DE相交于点O．从地面C处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE，

CD22m；在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角ODA为42，斜坡CD的倾斜角（ODC）为12；

在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角OEA为35，DE9m．根据该学习小组测得的数据，求引

滦入津工程纪念碑AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan350.7，tan420.9，sin120.2．

【答案】引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m．

【解析】

AOAO

【分析】分别在RtAOD中，得出DO，在RtAOE中，得出EO，再根据

tan42tan35

EODODE9m，列式求出AO，过点C作CHDE，垂足为H，在RtCDH中，利用

CH

sinCDH，求出CH，再利用四边形BCHO是矩形，结合ABAOBO，即可求解．

CD

【详解】解：根据题意，有AOE90，

AO

在RtAOD中，tanODA，ODA42，

DO

AO

得DO，

tan42

AO

在RtAOE中，tanOEA，OEA35，

EO

AO

得EO，

tan35

∵EODODE9m，

AOAO

∴9，

tan35tan42

9tan35tan4290.70.9

∴AO28.35m，

tan42tan350.90.7

如图，过点C作CHDE，垂足为H，

CH

在RtCDH中，sinCDH，CDH12，CD22，

CD

∴CHCDsinCDH22sin12220.24.4m，

∵CBOBOHOHC90，

∴四边形BCHO是矩形，

∴BOCH4.4m，

∴ABAOBO28.354.424m，

即引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m．

23.已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，体育公园离家

2km．小杰从家出发，先匀速骑行了10min到体育公园，在体育公园停留了40min，之后匀速骑行了5min

到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min后，再匀速骑行了5min回到家．下面图中x表示时间，y表示离

家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：

（1）填表：

小杰离开家的时间

6205065

/min

小杰离家的距离

2

/km

（2）当50x80时，请直接写出小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式；

（3）当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min直接回到家．在

50x80的时段内，对于同一个x的值，小杰离家的距离为y1，小杰的爷爷离家的距离为y2，当y1y2

时，求x的值（直接写出结果即可）．

【答案】（1）填表如下：

小杰离开家的时

6205065

间/min

小杰离家的距离1.2221

/km

0.2x1250x55

（2）y155x75

0.2x1675x80

（3）52.5或65或77.5

【解析】

【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家6min时离家的距离；再根据图象分别得

到小杰离开家50min和65min时离家的距离，即可填表；

（2）分三种情况讨论：50x55、55x75、75x80，结合图象，利用待定系数法即可求解；

（3）根据题意y2与x满足一次函数关系，利用待定系数法求出y20.04x3.640x90，再分三

种情况讨论：50x55、55x75、75x80，令y1y2，即可求出x的值．

【小问1详解】

解：小杰骑行到体育公园的速度为2100.2km/min，

∴当小杰离开家6min时，离家的距离为0.261.2km；

由图象得，当小杰离开家50min时，离家的距离为2km；

当小杰离开家65min时，离家的距离为1km；

填表略；

【小问2详解】

解：当50x55时，小杰离家的距离y与时间x的满足一次函数关系，

设yk1xb1，

50k1b12

代入50,2和55,1得，，

55k1b11

k10.2

解得，

b112

∴y0.2x1250x55；

当55x75时，由图象得，y1，

∴y155x75；

当75x80时，小杰离家的距离y与时间x的满足一次函数关系，

设yk2xb2，

75k2b21

代入75,1和80,0得，，

80k2b20

k10.2

解得，

b116

∴y0.2x1675x80；

0.2x1250x55

综上，小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式为y155x75；

0.2x1675x80

【小问3详解】

解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为405090min，

由题意得，y2与x满足一次函数关系，设y2kxb，

40kb2

代入40,2和90,0得，，

90kb0

k0.04

解得，

b3.6

∴y20.04x3.640x90；

当50x55时，

∵y1y2，

∴0.2x120.04x3.6，

解得x52.5；

当55x75时，

∵y1y2，

∴10.04x3.6，

解得x65；

当75x80时，

∵y1y2，

∴0.2x160.04x3.6，

解得x77.5；

综上，当y1y2时，x的值为52.5或65或77.5．

24.将一个四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，点A，C

分别在第一、第四象限，且关于x轴对称，OA6，A90，AOC120．

（1）填空：如图①，点B的坐标为________，点C的坐标为________；

（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线lx轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应

点O落在x轴的正半轴上．设OPt．

①如图②，若直线l分别与边AB，CB相交于点D，E，当折叠后重叠部分为五边形时，点A，C的

对应点分别为A，C，AO与DB相交于点F，CO与EB相交于点G．试用含有t的式子表示线

段DF的长，并直接写出t的取值范围；

②设折叠后重叠部分的面积为S，当2t8时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】（1）12,0，3,33

43723

（2）①DFt43，3t6；②43S

35

【解析】

【分析】（1）连接AC交x轴于点R，然后解RtAOB,RtAOR，再根据轴对称的性质即可求解；

（2）①导角得到OBFOFB，则OFOB122t，那么

AFAOOF6122t2t6，然后解RtAFD，即可求解DF，然后找出两个临界位置求

解t的取值范围即可；

②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解S的取值范围．

【小问1详解】

解：连接AC交x轴于点R，

∵OA6，A90，AOC120．

1

∴由对称可得，AOBCOBAOC60，ACOB，

2

OA

∴OB12，OROAcosAOB3，AROAsinAOB33，

cosAOB

∴B12,0，A3,33，

∵点A，C关于x轴对称，

∴C3,33；

【小问2详解】

解：①在RtAOB中，∵AOB60，

∴ABO30，

由折叠可得，AOAO6，OPOPt，AA90，AOPAOP60，

∴OBOBOPOP122t，OFBAOPABO30

∴OBFOFB

∴OFOB122t

∴AFAOOF6122t2t6，

由AFDOFB得，AFD30，

AF2t6

在RtAFD中，cosAFD，得DF

DFcos30

43

∴DFt43

3

当点A,A,D,F重合时，如图：

此时由（1）可得，tOP3；

当点O,F,G,B重合时，如图：

此时OB2t12，则t6，

∴t的取值范围为3t6；

②当2t3时，如图，记直线l与OA,OC交于点D,E，重叠部分为DOE，

此时，

SSDOE

在RtDOP中，DPOPtanAOB3t，

∴由对称可得，DE2DP23t，OPOPt，

112

∴SSDEOP23tt3t，

DOE22

∵30，对称轴为直线t0

∴当2t3时，S随着t的增大而增大

∴t2时，S43；t3时，S93，

∴2t3时，43S93；

当3t6，重叠部分为五边形DEGOF，延长OF交直线l于点K，

在RtKPO中，KOP60，

∴K30AFD

123

∴DKDF，ADDFt23

23

∵DAF90

∴KAAF2t6

∴KF4t12，

1123432

∴，

SKFDKFAD4t12t23t3

2233

在RtKPO中，KPOPtanAOP3t

∴132

SOPKPt

KPO22

∴32432532

SStt3t83t123

KPOKFD236

5353

∴22，

S五边形DEGOF2S四边形DPOF2SKPOSKFD2t83t123t163t243

63

53

即St2163t243

3

16324

53t

∵0，3t6，对称轴为直线535，

32

3

2

24532424723

∴当t时，S取得最大值为S163243，

53555

当t3时，可求S93；当t6时，可求S123，

723

∴当3t6时，93S；

5

当6t8时，重叠部分为BDE，

此时BPOBOP12t，

在RtDPB中，ABO30，

3

∴DPBPtanABO12t，

3

23

∴由对称可得，DE2DP12t，

3

112332

∴SSDEBP12t12t12t，

BDE2233

3

即St283t483，

3

83

3t12

∵0，对称轴为直线3，

32

3

∴