九年级数学下册 第26章 二次函数26.3 实践与探索第2课时 二次函数和一元二次方程（不等式）的关系教案 （新版）华东师大版

九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索第2课时二次函数和一元二次方程（不等式）的关系教案（新版）华东师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）教学内容九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索第2课时二次函数和一元二次方程（不等式）的关系教案

1.理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与一元二次方程解的关系。

2.学会利用二次函数的性质解决一元二次方程（不等式）的问题。

3.探索二次函数图象与一元二次方程（不等式）解的关系，培养学生的探究能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过探究二次函数与一元二次方程（不等式）的关系，学生能够提高抽象思维能力，学会从具体问题中提炼数学模型，并运用数学语言进行逻辑推理。同时，通过解决实际问题，学生能够提升数学建模能力，并在运算过程中提高准确性和效率。教学难点与重点1.教学重点

-理解二次函数的图象与一元二次方程解的关系：学生需要掌握当二次函数的y值等于某个特定值时，其图象与x轴的交点即为该一元二次方程的解。

-掌握二次函数的图象与一元二次不等式解的关系：学生需要理解当二次函数的y值大于或小于某个特定值时，其图象与x轴的相对位置如何确定不等式的解集。

-应用二次函数解一元二次方程（不等式）：通过具体的例子，学生需要学会如何将一元二次方程或不等式转化为二次函数的形式，并利用函数图象求解。

2.教学难点

-理解二次函数图象的对称性：学生可能难以理解二次函数图象的对称轴是如何影响方程解的分布的，需要通过实例和图象来加深理解。

-分析二次函数图象与不等式解的区间：学生可能难以判断二次函数图象与不等式解的交集部分，需要通过具体的函数和不等式进行练习，培养判断能力。

-解一元二次不等式时的分类讨论：在解一元二次不等式时，学生可能对如何根据函数图象进行分类讨论感到困惑，需要通过逐步分析和练习来掌握技巧。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、黑板、粉笔、教具（如二次函数图象模型）

-课程平台：学校内部教学平台、数学教学软件

-信息化资源：二次函数图象动态生成软件、一元二次方程求解器在线工具

-教学手段：实物教具展示、多媒体课件展示、课堂练习题、小组讨论、实际问题解决案例教学过程设计**导入环节（5分钟）**

1.展示生活中常见的抛物线形状，如汽车轨迹、火箭发射等，提问学生这些现象与数学有何关联？

2.引导学生回顾一元二次方程的解法，提出问题：“如何利用一元二次方程的解来理解二次函数的图象？”

3.提出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。

**讲授新课（15分钟）**

1.二次函数的图象与一元二次方程解的关系（5分钟）

-利用多媒体展示二次函数的标准形式y=ax²+bx+c，解释a、b、c的几何意义。

-通过图象展示，说明当y=0时，二次函数的图象与x轴交点的坐标即为方程ax²+bx+c=0的解。

-举例说明如何根据方程的解确定抛物线的顶点坐标。

2.二次函数的图象与一元二次不等式解的关系（5分钟）

-通过实例展示二次函数的y值大于或小于某个值时，图象与x轴的位置关系。

-讲解如何根据不等式的解集确定抛物线在x轴上方的部分。

3.应用二次函数解一元二次方程（不等式）（5分钟）

-通过具体例子，展示如何将一元二次方程或不等式转化为二次函数的形式。

-引导学生利用函数图象求解方程或不等式。

**巩固练习（15分钟）**

1.课堂练习（10分钟）

-分发练习题，要求学生独立完成。

-练习题包括：

-根据一元二次方程求抛物线的顶点坐标。

-根据一元二次不等式判断抛物线与x轴的交点情况。

-利用二次函数图象求解一元二次方程或不等式。

-教师巡视指导，解答学生疑问。

2.小组讨论（5分钟）

-将学生分成小组，讨论以下问题：

-如何判断二次函数图象的开口方向？

-如何根据二次函数的系数确定抛物线的对称轴？

-小组内交流讨论，每组选派代表汇报讨论结果。

**课堂提问（5分钟）**

1.提问学生：“通过本节课的学习，你对二次函数与一元二次方程（不等式）的关系有何认识？”

2.引导学生总结本节课所学内容，强化重点知识。

**师生互动环节（5分钟）**

1.教师提问：“如何利用二次函数的性质解决实际问题？”

2.学生举例说明，教师点评并总结。

**教学双边互动（5分钟）**

1.教师展示实际问题，如：设计一个抛物线形状的滑梯，要求其顶点位于地面上方，求滑梯的开口方向和顶点坐标。

2.学生分组讨论，提出解决方案，并展示给全班同学。

3.教师点评，总结解决实际问题的方法。

**核心素养能力的拓展要求（5分钟）**

1.引导学生思考：“如何将二次函数与一元二次方程（不等式）的关系应用于实际生活中的其他领域？”

2.学生举例说明，教师点评并总结。

**总结与反思（5分钟）**

1.教师总结本节课的学习内容，强调重点知识。

2.学生反思学习过程，提出自己的疑问或收获。

3.教师解答学生疑问，并布置课后作业。

**教学时间总计：45分钟**拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《二次函数的应用》

内容摘要：本篇文章详细介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括物理学中的抛体运动、工程设计中的曲线优化、经济学中的成本分析等。文章通过实例讲解，帮助学生理解二次函数的实用价值。

-《一元二次方程的几何解法》

内容摘要：本文介绍了利用二次函数图象解决一元二次方程的方法，包括图形交点法、判别式法等。文章通过图例，展示了如何将代数问题转化为几何问题，提高学生的解题技巧。

-《二次函数与不等式的综合应用》

内容摘要：本文探讨了二次函数与一元二次不等式的综合应用，包括不等式求解、函数性质分析等。文章通过实例，引导学生思考如何将二次函数与不等式结合起来解决实际问题。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己解决教材中未涉及的实际问题，如设计一个二次函数模型来描述某种物理现象。

-引导学生收集生活中与二次函数相关的实例，如建筑物的设计、汽车运动轨迹等，分析这些实例中的数学原理。

-鼓励学生探究二次函数图象与不等式解的更深入关系，如探讨不同类型的不等式对应的解集区间特征。

-组织学生进行小组讨论，分享各自对二次函数与一元二次方程（不等式）关系的理解和应用经验。

-鼓励学生尝试将二次函数的知识与其他数学分支，如三角函数、指数函数等相结合，探索交叉领域的数学问题。

3.实用性拓展内容：

-通过研究二次函数在物理学中的应用，学生可以学习如何利用二次函数模型预测物体运动轨迹，计算最大高度和最远距离等。

-在工程设计领域，学生可以学习如何通过优化二次函数的参数来设计出更加合理的结构，如桥梁、建筑物等。

-在经济学中，学生可以学习如何利用二次函数分析成本与产量的关系，预测市场需求等。

4.知识点全面性：

-在拓展与延伸活动中，学生需要掌握的知识点包括但不限于二次函数的定义、性质、图象与系数的关系、一元二次方程与不等式的解法、二次函数在实际问题中的应用等。

-通过这些活动，学生不仅能够巩固所学知识，还能够提高解决问题的能力，培养创新思维和自主学习的能力。重点题型整理1.**题目**：已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），求该函数的解析式。

**答案**：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c。由于交点坐标为（1，0）和（3，0），代入得：

a(1)²+b(1)+c=0

a(3)²+b(3)+c=0

解得a=1，b=-2，c=1。因此，二次函数的解析式为y=x²-2x+1。

2.**题目**：若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（2，-3），求该函数在x=0时的函数值。

**答案**：由于顶点坐标为（2，-3），代入二次函数的标准形式y=a(x-h)²+k得：

-3=a(2-2)²+k

解得k=-3。因为开口向上，所以a>0。由于顶点坐标（2，-3）是唯一的，函数在x=0时的函数值即为顶点的y坐标，即y=-3。

3.**题目**：解不等式x²-4x+3<0，并画出相应的解集。

**答案**：首先解一元二次方程x²-4x+3=0，得x=1和x=3。由于a=1>0，解集为两个根之间的区间，即1<x<3。

4.**题目**：若二次函数y=ax²+bx+c的图象在x轴上方的部分位于x轴的左侧，求a的取值范围。

**答案**：由于二次函数的图象开口向上，且在x轴上方的部分位于x轴的左侧，说明顶点的x坐标小于0。因此，二次函数的对称轴x=-b/(2a)必须小于0，即b/(2a)>0。由于a>0，所以b也必须大于0。

5.**题目**：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，2）和（3，-2），且顶点坐标为（2，k），求该函数的解析式。

**答案**：代入点坐标得：

a(-1)²+b(-1)+c=2

a(3)²+b(3)+c=-2

由于顶点坐标为（2，k），代入得：

k=a(2)²+b(2)+c

解得a=1，b=-4，c=6。因此，二次函数的解析式为y=x²-4x+6。教学反思与总结今天上了这节关于二次函数和一元二次方程（不等式）关系的课，我觉得整体上还是比较顺利的。首先，我觉得导入环节挺成功的，通过生活中的实例，孩子们对二次函数有了更直观的认识，提问也激发了他们的好奇心。

在讲授新课的过程中，我尽量用简洁明了的语言解释了二次函数的图象与一元二次方程解的关系，以及如何利用图象来解决不等式问题。我发现孩子们对于这部分内容接受得还蛮快的，特别是当他们看到自己画的图象和方程解的关系时，那种成就感很明显。

练习环节，我设计了一些实际问题，孩子们参与度很高，讨论得很热烈。不过，我也注意到有些孩子在解决一些稍微复杂的问题时，还是显得有些吃力。这可能是因为他们对二次函数的基本性质还不够熟悉。

在课堂提问环节，我发现孩子们对一些基础概念的理解