2026年四川省达州市中考数学试题（解析版）

达州市2026年初中学业水平暨高中阶段学校招生统一考试数学

本考试为闭卷考试、考试时间120分钟、满分150分．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷

（非选择题）两部分．

温馨提示：

1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题

卡对应位置．待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信

息是否一致．

2．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再

选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内，

超出答题区答案无效．在草稿纸、试题卷上作答无效．

3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁．

4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．

一、单项选择题（每小题4分，共40分）

1.下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（）

A.圆柱B.圆锥C.棱柱D.棱锥

【答案】A

【解析】

【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合．

2.点A3,2关于y轴对称的点A的坐标是（）

A.3,2B.3,2C.3,2D.3,2

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标变化规律，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，

求解即可．

【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点x,y关于y轴对称的点的坐标为x,y，

又∵点A的坐标为3,2，

∴对称点A的横坐标变为3，纵坐标保持不变，

∴A的坐标为3,2．2

3.两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若165，则2（）

A.45B.50C.55D.65

【答案】D

【解析】

【分析】根据矩形对边平行的性质，利用平行线的同位角相等及对顶角相等即可求解．

【详解】解：如图

矩形纸条的对边平行

∵水平纸条的上下边平行，倾斜纸条的左右边平行

∴水平纸条上下边平行

∵3165

倾斜纸条左右边平行

∵4365

2与4是对顶角

2465

4.下列计算正确的是（）

2

A.a6a2a8B.a6a8C.a6a2a3D.a6a2a8

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查整式运算中合并同类项法则和幂的运算法则，根据对应运算法则逐一判断选项即可．

【详解】解：选项A：∵a6和a2不是同类项，不能合并，∴A错误．

2

选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，a6a62a12a8，∴B错误．

选项C：∵a6a2a4，∴C错误．

选项D：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，a6·a2a62a8，∴D正确．

5.食盐的主要成分是，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在1%~1.5%时，汤咸

淡适中，味道最佳，小明Na向Cl锅里倒入1000mL水，要想烧出味美的汤，可放入盐（）（水的密度是1g/cm3，

1mL1cm3）

A.6gB.12gC.18gD.25g

【答案】B

【解析】

【分析】先根据体积和密度求出水的质量，再利用浓度公式列出不等式，得到盐的质量取值范围，即可选

溶质质量

出符合范围的选项，本题用到浓度公式浓度，溶液质量=溶质质量+溶剂质量．

溶液质量

【详解】解：∵1000mL=1000cm3，水的密度为1g/cm3

∴水的质量为100011000g

设放入盐的质量为xg，根据浓度要求在1%~1.5%，

x

可得不等式：1%1.5%

1000x

解左边不等式：0.011000xx

100.01xx

10

得x10.10g

0.99

解右边不等式：x0.0151000x

x150.015x

15

得x15.23g

0.985

∴盐的质量范围约为10.10gx15.23g，

选项中只有12g在此范围内．故选B．

6.“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（）

②

①

锐角三角形

三角形直角三角形

钝角三角形

③

④

x24x30一元二

ab2a3b多项式多项式

次方程

33

↓a2abb2ab单项式多项式

或一

x30x10a2a3abb2a2bb单项式单项式

元一次方程

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】C

【解析】

【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化

为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方

程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式．

【详解】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想；

②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想；

③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想；

④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想．

综上所述，用到转化思想的是②③④．

7.下列命题为真命题的是（）

A.对顶角相等B.三角形的一个外角等于它的两个内角之和

C.带根号的数都是无理数D.一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳

定

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查命题真假判断，根据对顶角相等，三角形的外角的性质，无理数的定义，方差的意义，

逐项分析判断，即可求解．

【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等，

∴A是真命题；

∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，

选项B未说明“不相邻”，

∴B是假命题；

∵42是有理数，说明带根号的数不一定是无理数，

∴C是假命题；

∵一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定，

∴D是假命题．

8.为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的mV

m

图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（）

V

A.当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍

B.当乙的质量为10g时，体积为10cm3

C.甲物质的密度小于乙物质的密度

D.甲物质的密度等于乙物质的密度

【答案】A

【解析】

m

【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合

V

图象特征逐项判断；

3

【详解】解：由图象可知，当V甲V乙20cm时，m甲20g，m乙10g，即m甲2m乙，

A正确；

∴

3

当m乙10g时，由图象可知V乙20cm，

B错误；

∴33

当V甲20cm时，m甲20g；当V乙20cm时，m乙10g；

m甲20gm10g

3乙3

甲31g/cm，乙30.5g/cm，

V甲20cmV乙20cm

甲乙，

C、D错误．

9∴.若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x50的正整数解．则等腰三角形的周长为

（）

A.3B.4C.5D.4或5

【答案】C

【解析】

【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据

三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案．

【详解】解：解不等式2x50，移项得2x5．

5

x．不等式的正整数解为1和．

2

等腰三角形的底边和腰不等，三边2长可能为1和，

分∵两种情况讨论：①若腰长为1，底边长为，三边2长为1,1,2．

2

112，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去．

②若腰长为，底边长为1，三边长为2,2,1，满足三角形三边关系，

此时周长为2215．

因此等腰三角形的周长为，

故选C．5

10.二次函数yax2bxc（a0，c0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：

x2

02

ycc

0

在下列结论中：①a0；②2ab0；③当x1时，y的值随着x值的增大而增大；④x12，x24

是关于x的方程ax2bxc0（a0）的两个根．正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导a，b，c的关系，再逐一判断

每个结论．

【详解】解：由表格可知，x0和x2时y值均为c，

02

因此二次函数对称轴为x1，

2

b

由对称轴公式得1，即b2a．

2a

x2时y0，代入二次函数得a(2)2b2c0，即4a2bc0，

c

将b2a代入得8ac0，即a．

8

c

①c0，a0，①正确．

8

②由b2a可知2ab0成立，②正确．

③a0，抛物线开口向上，对称轴为x1，x1时，y随x增大而减小，③错误．

2x

④已知x2是一个根，设另一个根为x，由对称轴得21，解得x4，因此方程两根为

222

x1=2,x2=4，④正确．

综上，正确结论共3个．

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示．则m________n（填“”或“”）．

【答案】

【解析】

【分析】根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数进行判断即可．

【详解】解：由数轴可知，点m在点n的左侧．根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，

mn．

12.6把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是________．

1

【答案】

6

【解析】

【分析】随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有等可能的结果总数，本题只需确定总结

果数和符合条件的结果数，代入计算即可．

【详解】解：由题意可知，所有等可能的结果总数为，能打开门锁的结果数为1，

1

因此能打开门锁的概率是．6

6

13.如图，ABDE、BEFC．请你添加一个条件________，使得ABC≌DEF．

【答案】ABDE（答案不唯一，如AD或ACBF等）．

【解析】

【分析】根据平行线的性质得出BDEF，根据线段的和差关系得出BCEF，此时具备了一边一

角对应相等，根据全等三角形的判定定理SAS、ASA或AAS添加相应的条件即可．

【详解】解：ABDE，

BDEF．

BEFC，

BEECFCEC，即BCEF．

若添加ABDE，

ABDE

在和DEF中，BDEF

△𝐴�BCEF

ABC≌DEFSAS．

若添加AD

AD

在和DEF中，BDEF

△𝐴�BCEF

ABC≌DEFAAS．

若添加ACBF

BDEF

在和DEF中，BCEF

△𝐴�ACBF

△ABC≌△DEFASA．

14.中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，

开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未

知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式

表示多项式144x25184x2488320，则图2表示的多项式的二次项系数为________．

【答案】3780

【解析】

【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中

最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可．

【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下，

图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项，

图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位，

千∴位为横式，表示3，百位为纵式，表示7，十位为横式（参考图1中千位8的表示），表示8，

个位为◯，表示，

该多项式的二次0项系数为3780．

1∴5.如图，已知正六边形ABCDEF的中心为O、边心距OM3，分别以、为圆心，以正六边形的

边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是______�__．�

𝐴𝐷

8

【答案】63

3

【解析】

【分析】连接、BE、，由题意可得、BE、交于点O，得出ODE是等边三角形，利用

等边三角形的性��质和三角函�数�可计算出DE�2�．由正多边�形�的内角公式可得BCDAFE120，用

正六边形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积．

【详解】解：如图，连接、BE、，

����

62180

在正六边形ABCDEF中，BCDAFE120，AFBCDE，

6

∵点O为正六边形ABCDEF的中心，

∴、BE、交于点O，

∴��DOE36�0�660,DOEO，

∴ODE是等边三角形，

∴DEOD，ODE60，

根据题意，OMDE，

OM3

在RtODM中，OD2，

sin∠ODEsin60

∴AFBCDEOD2，

1

∵S6S6DEOM63，

正六边形ABCDEF△ODE2

∴S阴影S正六边形ABCDEFS扇形FAES扇形CBD

120π22120π22

63

360360

44

63

33

8

63．

3

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）

0

16.计算2sin30202641．

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查实数的混合运算，用到特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、算术平方根、绝对值的

相关知识，分别计算各项后再合并即可得到结果．

1

【详解】解：原式212111213．

2

a2-b2a-b

17.化简：¸．

4a2+12aba+3b

ab

【答案】

4a

【解析】

【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用

到平方差公式和分式的运算法则．

(ab)(ab)a3b

【详解】解：原式

4a(a3b)ab

ab

．

4a

18.为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知识竞赛活动．以下是本次竞赛

成绩（成绩为百分制且为整数）的数据收集、整理、分析过程．

【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取30名学生的竞赛成绩进行记录数据．

【整理数据】将收集的60名学生的竞赛成绩进行整理（成绩均不低于60分，用x表示），将成绩分为四个

等级：A等级（90x100）；B等级（80x90）；C等级（70x80）；D等级（60x70）．

下面给出了部分数据：

七年级30名学生竞赛成绩的数据是：

65、65、69、72、73、74、74、75、75、78、78、79、82、83、84，

84、85、85、85、86、87、88、89、93、94、96、97、97、98、100．

八年级30名学生竞赛成绩在B等级中的数据是：

89、88、87、87、85、85、83、88、82、83．

【描述数据】根据整理的数据、绘制出如下统计图表：

所抽取学生竞赛成绩得分统计表

统计量年级七年级八年级

平均数8383

中位数ab

众数c83

【分析数据】根据以上信息，回答下列问题．

（1）表格中的________，________，c________；

（2）根据以上数�=据，你认为该校�=七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由；（言

之有理即可）

（3）该校八年级有学生600人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数．

【答案】（1）84，86，85

（2）解：我认为八年级的学生对交通安全知识掌握得更好，理由如下：

∵七年级与八年级的平均数相同，都为83分，而八年级学生成绩的中位数为86分，大于七年级学生成绩

的中位数为84分，

∴八年级的学生对交通安全知识掌握得更好；

（3）220人

【解析】

【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可；

（2）根据平均数，中位数进行分析求解即可；

（3）根据竞赛成绩不低于90分的学生人数的百分比，再乘以总人数即可解答．

【小问1详解】

解：七年级从低到高排列后第15名，16名学生的竞赛成绩是84分，84分，

8484

∴a84，

2

∵七年级30名学生竞赛成绩出现次数最多的为85，

∴众数c85，

∵八年级A组有11人，

∴八年级30名学生竞赛成绩从高到低排列，第15名，16名学生的竞赛成绩是87分，85分，

8785

即八年级中位数b86；

2

【小问2详解】

略

【小问3详解】

11

解：600220（人）．

30

答：估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数有220人．

19.在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面

思维导图帮助学生理解记忆．

（1）在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________；

（2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形

中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上）

（3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．

已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且BEDF．

求证：四边形AECF是菱形．𝐴����

【答案】（1）相等，相等且互相垂直

（2）一组邻边相等的矩形（答案不唯一）

（3）证明：连接AC交于点O，如图

��

四边形是正方形，

∵OBO�D��，�OAOC，ACBD．

BEDF，

\BE+OB=DF+OD，

即OEOF．

又OAOC，

四边形AECF是平行四边形．

∴ACEF，

∴四边形AECF是菱形．

【解析】

【分析】（1）根据矩形，正方形的判定进行求解即可；

（2）根据正方形的判定进行求解即可；

（3）连接AC交于点O，根据正方形的性质，得到，OAOC，ACBD，继而推导出

OEOF，得到�四�边形AECF是平行四边形，再根据A�C�=�E�F，可得到四边形AECF是菱形，即可解

答．

【小问1详解】

解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，

∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，

即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直；

【小问2详解】

解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知

横线上的答案为一组邻边相等的矩形（答案不唯一）；

【小问3详解】

略

20.在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出

发，先沿坡角为42的山坡行走300m到达B处，再沿坡角为30的山坡行走200m到达山顶C处．估计这

座小山的高度．（参考数据：sin420.67、cos420.74，tan420.90，结果保留整数）

【答案】301米

【解析】

【分析】通过构造直角三角形，分别求出BF、CH，利用分段垂直高度累加法，由CGCHBF即可

求解．

【详解】解：过点B作BFAD于，过点作CGAD于，交BE于点H．

���

由题意可得：ADBE，

∴CHBE，

∴四边形BFGH为矩形，故GHBF，

在RtABF中，AB300米，BAF42，

BF300sin423000.67201（米）

∴HG201米．

在中，BC200米，CBE30，

1

CGRt△2�00��sin30200100（米）

2

小山高度CGCHHG100201301（米）．

答：这座小山的高度301米．

21.已知：如图，P为外一点，PA与相切于点A．连接OP，ACOP，为的直径、

连接PB．⊙�⊙���⊙�

（1）试判断PB与的位置关系，并说明理由；

（2）若的半径⊙为�6、AC4，求PB的长．

【答案】（⊙1�）PB与相切，理由如下：

连接AO，⊙�

∵PA与相切，

∴PAO⊙�90．

∵ACOP，

∴AOPOAC,ACOPOB．

∵OAOBOC，

∴OACACO，

∴AOPPOB．

∵OPOP，

∴PAO≌PBO，

∴PBOPAO90，

∴PBBO，

∴PB与相切；

⊙�

（2）3

【解析】

【分析】（1）连接，根据切线的性质得PAO90，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明

AOPPOB，��然后根据“边角边”证明PAO≌PBO，可得PBO90，进而得出答案；

（2）作ODAC，根据垂径定理得AD2，再根据勾股定理求出OD2，然后说明ADO∽OBP，

ADOD

可得，则此题可解．

OBPB

【小问1详解】

略

【小问2详解】

解：如图所示，过点O作ODAC于点D，

1

∴ADCDAC2．

2

在RtAOD中，OAOB6,AD2，

根据勾股定理，得ODOA2AD2(6)2222．

∵CAOPOB,PBOADO90，

∴ADO∽OBP，

ADOD

∴，

OBPB

22

即，

6PB

解得PB3．

22.综合与实践

某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种

植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路AC（忽略小

路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬

背景菜，Ⅱ区域（ACD）种植乙种蔬菜．△𝐴�

用测量工具测得：米，BC8米，CD24米，AD26

素材一

米，；𝐴=6

∠𝐴�=90°

素材二用200元购进甲种菜苗，1080元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价

比甲种菜苗的单价多20%，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍

多200株；4

经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为75%，乙种菜苗成活率为

素材三

95%．

完成以下任务

（1）任务一：求四边形空地的面积；

（2）任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价；

购买某种菜苗的费用

（3）任务三：从成活率看，菜苗实际成本G，比较大小：G甲________G乙（填

实际成活的菜苗株数

“”“”或“”）

【答案】（1）144平方米

（2）甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6元每株

（3）

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理求得AC，进而根据勾股定理证明ACD是直角三角形，且ACD90，再

根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解；

（2）设甲菜苗的单价为x元每株，乙菜苗的单价为1.2x元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求

解．

（3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解．

【小问1详解】

解：∵，BC8，，

𝐴=6∠𝐴�=90°

∴ACAB2BC210米

∵CD24米，AD26米，

∴AC2100,CD2576,AD2676

∴AD2AC2CD2

∴ACD是直角三角形，且ACD90

1111

∴SⅠSⅡABBCACCD681024144平方米；

2222

【小问2详解】

设甲菜苗的单价为x元每株，乙菜苗的单价为120%x1.2x元每株，根据题意得，

2001080

4200

x1.2x

解得：x0.5，经检验x0.5是原方程的解，且符合题意，

∴乙菜苗的单价为1.2x1.20.50.6元，

答：甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6元每株

【小问3详解】

200

甲种菜苗的数量为400（株），成活数为40075%300（株）

0.5

2002

G甲

3003

1080

乙种菜苗的数量为1800（株），成活数为180095%1710（株）

0.6

108012

G乙

171019

212

∵

319

∴G甲G乙

23.数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系

【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为

“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．

根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：

【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所

以它们是“陌生函数”

1

【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定y2x1与y的关系时，由函数表达式得

x

1

2x1，去分母得2x2x10，因为Δ90，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”

x

【问题解决】

2

（1）对于函数①y，②y2x，③y3x1．其中①与②是“______函数”，①与③是“______

x

函数”；

m

（2）若ym0与ykxbk0是“友好函数”，如图2，当yy时，x的取值范围是______；

1x212

n

若yn0与y2x6是“相连函数”，则n的值为______；

x

kk

（3）如图3，过点C0,6的直线l、l对应的函数分别与y1（k0，x0），y2（k0，

12x1x2

x0）是“相连函数”，相连点分别为，Q，l1、l2与x轴分别交于A，B两点，已知，k1k218，

22�𝐴=6

求k1k2的值．

【答案】（1）陌生；友好

9

（2）x3或0x1；

2

（3）45

【解析】

【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可；

n

（2）根据图象判断yy时，x的取值范围；联立yn0与y2x6，由Δ0求出n的值；

12x

k

（3）设直线l的函数解析式为ykx6，直线l的函数解析式为ykx6，将ykx6与y1联

13243x

9

22

立，并结合Δ0可得k3，进而计算出点A的坐标为k1,0，同理，点B的坐标为k2,0．由

k133

22

可得k2k19，利用完全平方公式变形可计算出k1k2的值．

【𝐴小=问61详解】

2

解：对于①与②，联立得2x，

x

整理，得x210，

∵x211，

2

∴该方程无实数解，即y与y2x无交点，

x

∴①与②是“陌生函数”，

2

对于①与③，联立得3x1，

x

整理，得3x2x20，

2

∴Δ1432250，

2

∴y与y3x1有两个交点，

x

∴①与③是“友好函数”；

【小问2详解】

解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为3和1，且在x3和0x1部分，反比例函数的图象高于

一次函数的图象，

∴当y1y2时，x的取值范围是x3或0x1；

n

联立yn0与y2x6，得，

x

n

2x6，

x

整理，得2x26xn0，

n

∵yn0与y2x6是“相连函数”，

x

2

∴Δ642n0，

9

解得n；

2

【小问3详解】

解：设直线l1的函数解析式为yk3x6，直线l2的函数解析式为yk4x6，

k

联立ykx6与y1，得，

3x

k

kx61，

3x

2

整理，得k3x6xk10，

k

∵ykx6与y1是“相连函数”，

3x

2

∴Δ64k3k10，

9

∴k1k39，即k3，

k1

9

∴直线l1的函数解析式为yx6，

k1

9

2

将y0代入yx6，得xk1，

k13

2

∴点A的坐标为k1,0，

3

2

同理，点B的坐标为k2,0，

3

22

∴ABkk6，即kk9，

323121

∴2222．

k1k2k2k12k1k2921845

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax1x3与x轴交于A，B两点．与y轴交于点．直

�

线yxm经过点、与x轴交于点D3,0．

�

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）若线段在抛物线的对称轴上运动，且EF2，求四边形DCEF周长最小时点的坐标；

���

（3）将抛物线沿射线方向平移32个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存

在以A，，为顶点��的直角三角形？若存在，直接写出�点的坐标；若不存在．说明理由．

【答案】（�1）m�3，yx22x3�

14

（2）E1,

5

111

（3）存在，G2,、G2,1、G2,2、G2,

33

【解析】

【分析】（1）将点D代入直线方程求m，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数a，展开得抛物线表

达式；�

（2）、为定长，将周长最小转化为求CEDF的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，

利用两�点�之间��线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解；

（3）先根据平移方向与距离�，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾

�

股定理列方程求解．

【小问1详解】

解：∵直线yxm与x轴交于点D3,0，

∴把D3,0，代入yxm得03m，

解得m3，

∴直线解析式为yx3，

∵直线yx3经过点，且点在y轴上，

��

∴令，得y3，

�=0

∴C0,3，

∵抛物线yax1x3与y轴交于点，

�

∴把C0,3代入yax1x3，得33a，

解得a1，

∴yax1x3x1x3x22x3，

综上所述，m3，抛物线的函数表达式为yx22x3；

【小问2详解】

解：∵C0,3，D3,0，

∴OC3，OD3，

∴CDOC2OD2323232，

∵EF2，

∴四边形DCEF的周长为：CDEFCEDF322ECDF，

∴求四边形DCEF周长的最小值，只需求CEDF的最小值，

2

∵抛物线的函数表达式为yx22x3x14，

∴抛物线的对称轴为直线x1，

∵、在直线x1上，且EF2，在上方，

∴设�E�1,t，F1,t2，��

如图：把点D向上平移2个单位得D3,2，作D''与D关于直线x1对称，则D5,2，连接DD、

DD''、ED、ED、CD，

在四边形DFED中，

∵DDx轴，EFx轴，

∴DDEF，

∵DDEF2，

∴四边形DFED是平行四边形，

∴DFDE，

∴CEDFCEDE，

∵D与D关于直线x1对称，在直线x1上，

∴DEDE，�

∴CEDFCEDECEDE，

∵两点之间线段最短，

∴当点在CD与直线x1的交点处时，CEDE最小，

设直线�CD的函数解析式为ykxbk0，

3b

把C0,3，D5,2代入ykxbk0得：，

25kb

1

k

5

解得，

b3

1

∴直线CD的解析式为yx3，

5

14

∵当x1时，y，

5

14

∴E1,；

5

【小问3详解】

解：∵抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点，

∴令y0，得x22x30，

解得：x1或x3，

∵A在B左侧，

∴A1,0，B3,0，

∵由（1）知，C0,3，

∴OC3，OB3，

∴BCOC2OB2323232，

∵抛物线沿射线方向平移32个单位长度，且B在抛物线上，BC32，

��

∴B点沿射线方向平移32个单位长度后与点重合，

∵OB3，O�C�3，�

∴抛物线沿射线方向平移32个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，

如图：��

∵抛物线yx22x3的对称轴为直线x1，

∴平移后对称轴为直线x2，

∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点，

∴设�G2,n，

∵A1,0，C0,3，

∴22，222，

AC100310AG120n1+n

222

CG20n34n3，

①若ACG90，如图：

则AC2CG2AG2，

2

∴104n31n2，

11

解得n，

3

11

∴G2,，

3

②若AGC90，如图：

则AG2CG2AC2，

2

∴1n24n310，

解得n1或n2，

∴G2,1或G2,2，

③若CAG90，如图：

则AG2AC2CG2，

2

∴