人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习圆锥曲线的方程章末检测卷(原卷版+解析)

圆锥曲线的方程章末检测卷题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（

）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或82．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．椭圆和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支3．椭圆与椭圆的关系为（

）A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率4．下列选项中椭圆的形状最扁的是（

）A． B．C． D．5．顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（

）A．或 B．或C． D．6．下列说法正确的个数是（

）（1）动点满足，则P的轨迹是椭圆（2）动点满足，则P的轨迹是双曲线（3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线（4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线A．0 B．1 C．2 D．37．点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．8．过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．关于、的方程表示的轨迹可以是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆11．已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为.设，，是直线上的动点，直线，分别与E的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（

）A．双曲线的方程为 B．C．以为直径的圆经过点 D．当时，平行于轴12．经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（

）A．当与轴垂直时，最小 B．C．以弦为直径的圆与直线相离 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为_____.14．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率_____.15．如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左，右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一交点为，若，则直线的斜率为_____.

16．已知动点到抛物线的焦点的距离为1，则的轨迹方程是_____若，是抛物线上的动点，则的最小值是_____．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程；(2)求的面积.18．求符合下列条件的曲线方程：(1)以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程.(2)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，求抛物线的方程及点的坐标.19．已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.20．已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.21．已知双曲线的一条渐近线为，右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)若过点作直线交双曲线的右支于两点，点满足，求证：存在两个定点，使得为定值，并求出这个定值.22．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值.

圆锥曲线的方程章末检测卷题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若椭圆的离心率为，则该椭圆的长轴长为（

）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8【答案】D【解析】分焦点在轴或轴两种情况，讨论椭圆的长轴长.【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，则，离心率，则，椭圆的长轴长.当椭圆的焦点在轴时，，，则，离心率，则，此时椭圆的长轴长.综上可知，椭圆的长轴长为4或8.故选：D2．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．椭圆和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支【答案】D【分析】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案.【详解】圆，，圆心，，圆，，圆心，，设，因为圆同时与圆及相外切，所以，即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.故选：D3．椭圆与椭圆的关系为（

）A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率【答案】B【分析】利用椭圆的方程分别求出两个方程的a，b，c的值以及焦点所在位置，即可判断每个选项的正误.【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，对于椭圆，因为，则，可得，且焦点在y轴上，所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，所以A、C、D错误，B正确.故选：B.4．下列选项中椭圆的形状最扁的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过求椭圆的离心率来求得正确答案.【详解】A选项，，，B选项，，，C选项，，，，D选项，，，，其中最接近的是，所以最扁的是.故选：C5．顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】当焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，列出方程组求得；当焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，列出方程组求得，即可求解.【详解】解：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为1，因为顶点间的距离为，渐近线方程为，可得，解得，所以双曲线的方程为.故选：A.6．下列说法正确的个数是（

）（1）动点满足，则P的轨迹是椭圆（2）动点满足，则P的轨迹是双曲线（3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线（4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据椭圆、双曲线定义及公式的几何意义判断（1）、（2），应用两点、点线距离公式求P的轨迹判断（3），由已知条件得或即可判断（4）.【详解】（1）公式的几何意义为到、的距离之和为4，而、的距离等于4，故P的轨迹不是椭圆，错误；（2）公式的几何意义为到与到的距离之差为5，且、的距离等于4，P的轨迹不是双曲线，错误；（3）由题设，到y轴的距离比到的距离小1，则，可得P的轨迹是或，错误；（4）由题设，或，故P的轨迹是圆和直线（在圆上或圆外部分，即两条射线)，正确.故选：B.7．点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解.【详解】解：设，又，且，则，与椭圆方程联立，即，解得或，则，即，即，则，故选：B8．过点作两条直线分别交抛物线于，两点，记直线，的斜率分为，，若，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线的方程为：，，与抛物线联立得到，由斜率公式表示出结合韦达定理化简可得，，解方程求出，即可求出直线的方程.【详解】因为点作两条直线分别交抛物线于，两点，在抛物线上，所以直线斜率一定不为，设直线的方程为：，设，与联立方程可得：，即，所以，则，所以①，，所以②，由①②可得：，所以，故.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．关于、的方程表示的轨迹可以是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线【答案】BC【分析】对实数的取值进行分类讨论，化简原方程，结合圆的方程以及圆锥曲线方程可得出结论.【详解】当时，该方程表示的轨迹是直线；当时，该方程表示的轨迹是直线；当且时，原方程可化为.当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆【答案】ABC【分析】根据椭圆的定义以及几何性质，结合题意依次判断每个选项，可得答案.【详解】A选项：根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；B选项：因为运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；C选项︰因为卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故C正确；D选项：设e为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆越扁，故D不正确，故选：．11．已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为.设，，是直线上的动点，直线，分别与E的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（

）A．双曲线的方程为 B．C．以为直径的圆经过点 D．当时，平行于轴【答案】ACD【分析】根据题意，得出，，即可求出双曲线标准方程判断A；设，表示出，，即可判断B；利用直线与双曲线相交得出坐标，即可判断C；利用，得出的值，即可判断D.【详解】由题知，，，，解得，所以双曲线方程为，A正确；由A知，，，设，则，，所以，B错；由上述知，直线方程为，直线方程为，联立，得，因点是异于的上支点，所以，代入直线方程得，即，联立，得，因点是异于的上支点，所以，代入直线方程得，即，则，，所以，即，所以以为直径的圆经过点，C正确；当时，即，，所以代入坐标得，所以平行于轴，D正确.

故选：ACD12．经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（

）A．当与轴垂直时，最小 B．C．以弦为直径的圆与直线相离 D．【答案】ABD【分析】先设直线的方程，联立抛物线，可得D.用抛物线焦点弦公式表示，可得A.利用抛物线定义，可表示，可证B.利用抛物线定义，结合图像位置关系可判断C.【详解】

如图，设直线为，联立，得，即，所以，，故D正确，，将代入得，故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确，，代入，，得，故B正确，设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为分别过作抛物线的垂线，垂足分别为,由抛物线的定义知，，则,故以弦为直径的圆与直线相切，C错误，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为.【答案】【分析】设双曲线的方程为：，把点代入双曲线方程即可求解．【详解】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，把点代入双曲线方程可得，所以双曲线方程为，化为标准方程得，所以，，，，所以双曲线的焦距为．故答案为：．14．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率.【答案】/【分析】由题意可得四边形为平行四边形，根据及托勒密定理可得四边形为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论．【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，则，，可得四边形为平行四边形，

又及托勒密定理，可得四边形为矩形．设，，在中，，则，，，，，，解得．双曲线的离心率为．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左，右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一交点为，若，则直线的斜率为.

【答案】【分析】由求出，设，可得，从而，进而由，可求出.【详解】由椭圆的对称性及得，因为，所以，设，则，即，则，因为，所以，所以，所以，故.故答案为：16．已知动点到抛物线的焦点的距离为1，则的轨迹方程是若，是抛物线上的动点，则的最小值是．【答案】4【分析】由抛物线方程求其焦点，设动点的坐标为，由，列方程求的轨迹方程，由圆的性质可得，所以，再求的最小值即可.【详解】抛物线的焦点为，设动点的坐标为，因为，所以，故点的轨迹方程是，设点，则由抛物线的定义得，

．因为所以，当且仅当点与点重合时等号成立，又，所以．令，则，所以．因为，显然有，则由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立．故的最小值为．故答案为：，.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用离心率以及焦点坐标即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式以及点到直线的距离公式即可求解面积.【详解】（1）由已知有解得所以椭圆的方程为.（2）由消去，整理得.设，则直线的方程为，到直线的距离.所以的面积为18．求符合下列条件的曲线方程：(1)以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程.(2)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，求抛物线的方程及点的坐标.【答案】(1)(2)，【分析】（1）由椭圆的性质求出双曲线的焦点和顶点，即可得解．（2）根据抛物线的定义求出，即可求出抛物线方程，再将点坐标代入抛物线方程，求出，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆长轴两个端点为，半焦距为，所以椭圆焦点为，所以双曲线的焦点为，顶点为，设双曲线方程为，即、，所以，所以该双曲线的方程为．

（2）抛物线的焦点为，准线为，因为点在抛物线上且，即，解得，所以抛物线方程为，又点在抛物线，所以，解得或（舍去），所以.

19．已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，进而根据的关系即可求解，（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线的方程，即可求解过定点.【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，又因为，解得，故双曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率不为0时，设，则联立方程组，得整理得：.，且，,，令得，，直线过定点.当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.综上：直线过定点.20．已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，0【分析】（1）先求得，设，由可得，求得，从而可得椭圆方程；（2）设，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理可得，由题意得，而，把代入即可求解.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，设满足，则，又，则，所以椭圆的方程.（2）直线，代入椭圆，可得，由于直线交椭圆于两点，所以，整理得.设，由于点与关于原点对称，所以，于是有，，又，于是有故直线的斜率