质量统计基础知识

统计基础知识

一、总体与样本

（一）总体与个体

在一个统计问题中，称研究对象的全体为总体，构成总体的每个成员称为

个体。若关心的是研究对象的某个数量指标，那么将每个个体具有的数量指标称

为个体，这样一来，总体就是某数量指标值的全体（即一堆数），这一堆数有

一个分布，从而总体可用一个分布描述，简单地说，总体就是一个分布。统计学

的主要任务就是：

（1）研究总体是什么分布？

（2）这个总体（即分布）的均值、方差（或标准差）是多少？

［例1.3-1］（1）对某产品仅考察其合格与否，记合格品为0,不合格品

为1,那么：

总体=｛该产品的全体）=（由0或1组成的一堆数｝,这一堆数的分布是什么呢？

若记1在总体中所占比例为P,则该总体可用二点分布b（l,p）（n=l的二项分布）

表示：

X01

P

比如，有两个工厂生产同一产品，甲厂的不合格品率，乙厂的不合格品率，

甲乙两厂所生产的产品（即两个总体）分别用如下两个分布描述：

X甲01

P

X乙01

P

如此认识总体,既能看到总体的本质，又能看到不同总体的差别C

（2）考察某橡胶件的抗张强度，它可用0到8上一个实数表示，这时总体

可用区间［0,8）上的一个概率分布表示。国内外橡胶业对其抗张强度有较多研

究，认为橡胶件的抗张强度服从正态分布，该总体常称为正态总体。这时统计

要研究的问题是：正态均值是多少？正态分布方差是多少？又如若对橡胶件进

行技术改进，如通过改进配料，提高了该橡胶件抗张强度的均值。这时我们要研

究的问题是：技术改进前后的正态均值有多大改变？

（3）用非对称分布（即偏态分布）描述的总体也是常见的。比如某型号电

视机寿命的全体所构成的总体就是一个偏态分布

（二）样本

从总体中抽取部分个体所组成的集合称为样本。样本中的个体有时也

称为样品，样本中所包含的个体的个数称为样本量，常用n表示。

人们从总体中抽取样本是为了认识总体，即从样本推断总体，如推断总体

是什么类型的分布？总体均值为多少？总体的标准差是多少？为了使此种统计

推断有所依据，推断结果有效，对样本的抽取应有所要求。

满足下面两个条件的样本称为简单随机样本，简称随机样本。

(1)随机性。总体中每个个体都有相同的机会入样。比如，按随机性要求

抽出5个样品，记为，则其中每一个个体的分布都应与总体分布相同。只要随

机抽样就可保证此点实施。

(2)独立性。从总体中抽取的每个个体对其他个体的抽取无任何影响。假

如总体是无限的，独立性容易实现；若总体很大，特别地，与样本量n相比是很

大时，即使总体是有限的，此种抽样独立性也可得到基本保证。

综上两点，随机样本可以看做n个相互独立的、同分布的随机变量,每一

个个体的分布与总体分布相同。今后讨论的样本都是指满足这些要求的简单随机

样本。在实际中抽样时，也应按此要求从总体中进行抽样。这样获得的样本能够

很好地反映实际总体。图1.3-3显示两个不同的总体，图上用虚线画出的曲线是

两个未知总体。若是按随机性和独立性要求进行抽样，则机会大的地方(概率密

度值大)被抽出的样品就多；而机会少的地方(概率密度值小)，被抽出的样品就

少。分布愈分散，样本也很分散；分布愈集中，样本也相对集中。

抽样切忌受到干扰，特别是人为干扰。某些人为的倾向性会使所得样本不

是简单随机样本，从而使最后的统计推断失效。

若是从总体X中获得的样本，那么是独立同分布的随机变量。样本的观

测值用表示，这也是我们常说的数据。有时，为了方便起见，不分大写与小写，

样本及其观测值都用表示，今后将采用这一方法表示.

［例1.3-2］样本的例子及表示方法。

(1)某食品厂用自动装罐机生产净重为345g的午餐罐头。由于生产中众

多因素的干扰，每只罐头净重都有差别，现从生产线上随机抽10个罐头，称其

净重，得：

344336345342340338344348344346

这就是样本量为10的一个样本，它是来自该生产线上罐头净重这个总体的

一个样本。

(2)某型号的20辆汽车记录了各自每加仑汽油行驶的里程数(单位：km)

如下：

29.827.628.328.727.930.129.928.028.727.9

28.529.527.226.928.427.928.030.029.629.1

这是来自该型号汽车每加仑汽油行驶里程这个总体的一个样本，样本量是

20。

（3）（分组样本）对363个零售商店调查其周零售额（单位：千元）的结果如

下表1.37所示：

表1.3-1周零售额的调查结果（单位：千元）

零售额（1,5]（5,10]（10,20]（20,30]

商店数611351104215

这是一个样本量为363的样本，对应的总体是该地区全部零售商店的周零

售额。这个样本与前两个样本不同，它仅给出样本所在区间，没有给出具体的零

售额。这样做虽会失去一些信息，但要准确获得每个零售店的周零售额并非易事，

能做到的是把区间再缩小一些。这种样本称为分组样本。在样本量n很大时，比

如几百甚至上千个.罗列所有数据非常不便，日便人眼花缭乱,不得要领,这时

可把样本作初步整理转化为分组样本并加以表达，这样可立即给人一个大致的印

象。以后在作频率直方图时，也要用到这个方法。

（4）（有序样本）设是从某总体随机抽取的一个样本。将它们按从小到大

的顺序排列为，这便是有序洋本。比如，在本例中（1）的样本量为10的样本，

经排序可得如下的有序样本：

从有序样本可获得一些有用信息。比如，样本中的最小值为，最大值为，

两者之差，即样本极差。这些量对我们认识生产线都是有帮助的。

二、频数（频率）直方图

（一）直方图的作法

为研究一批产品的质曷情况，需要研究它的某个质曷特性（这里为了叙述

简单起见，仅讨论一个质量特性，有必要时也可以同时讨论多个质量特性）X的

变化规律。为此，从这批产品（总体）中抽取一个样本（设样本量为n）,对每个样

本产品进行该特性的测量（观测）后得到一组样本观测值，记为，这便是我们通

常说的数据。

为了研究数据的变化规律，需要对数据进行一定的加工整理。直方图是为

研究数据变化规律而对数据进行加工整理的一种基本方法。下面用一个例子来说

明直方图的概念及其作法。

[例1.3-3]食品厂用自动装罐机生产罐头食品，从一批罐头中随机抽取100

个进行称量，获得罐头的净重数据如下：

342352346344343339336342347340

340350347336341349346348342346

347346346345344350348352340356

339348338342347347344343349341

348341340347342337344340344346

342344345338351348345339343345

346344344344343345345350353345

352350345343347354350343350344

351348352344345349332343340346

342335349348344347341346341342

为了解这组数据的分布规律，对数据作如下整理：

(1)找出这组数据中的最大值，及最小值，计算它们的差R=・，R称为极

差，也就是这组数据的取值范围。在本例中=356,,=332,从而R=356-332=24o

(2)根据数据个数,即样本量n,决定分组数k及绢距h。

一批数据究竟分多少组，通常根据n的多少而定，不过这也不是绝对的，

表1.3-2是可以参考的分组数。

表1.3-2直方图分组组数选用表

样本量推荐组数

50-100

101-250

250以上6-10

7~12

10-20

选择k的原则是要能显示出数据中所隐藏的规律，组数不能过多，但也不

能太少C

每一组的区间长度，称为组距。组距可以相等，也可以不相等。组距相等

的情况用得比较多，不过也有不少情形在对应于数据最大及最小的一个或两个

组，使用与其他组不相等的组距。对于完全相等的组距，通常取组距h为接近

R/k的某个整数值。

在本例中，n=100,取k=9,R/k=24/9=2.7,故取组距h=3。

(3)确定组限(即每个区间的端点)及组中值。为了避免一个数据可能同时属

于两