2025-2026学年育才中学校高三下册5月高考模拟预测考试数学试题 含答案

/数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.2.若复数，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.17 B.19 C.25 D.304.5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（）A. B. C. D.5.为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：x12345Y50607080100由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（

）A.4 B.5 C.-4 D.-56.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（）A. B. C. D.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（）A. B. C. D.8.已知锐角，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.10.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A.当时，B.曲线在处的切线斜率为C.方程在区间内恰有两个实根D.当时，11.（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________.13.已知向量，，若在上的投影向量为，则________．14.已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______.四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且.（1）求角C；（2）若，的面积为，D为边的中点，求的长.16.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.17.已知函数．（1）求证：不是函数的极值点；（2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．18.“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：单位：人学历使用情况合计经常使用不经常使用本科及以上6535100本科以下5050100合计11585200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？（2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．（i）求比赛结束后甲获胜的概率；（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.P为椭圆上异于顶点的动点，且C的离心率为，，分别为C的左、右焦点，M为C的左顶点，记，．（1）求C的方程；（2）求证：；（3）设点，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA，MB于点D，E．问是否存在t，使得O，D，M，E四点共圆（O为坐标原点）？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，所以2.若复数，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：复数，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.17 B.19 C.25 D.30答案：C解析：解答过程：因为为等差数列，故，故，而，故，故，则公差，故.4.5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：每一名工人都有4种选择方法，根据分步计数原理求得5名工人不同选择方法的种数．解答过程：每一个工人都有4种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种.5.为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示：x12345Y50607080100由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（

）A.4 B.5 C.-4 D.-5答案：C解析：解答过程：依题意，，，由回归方程必过样本中心，得，解得，所以在样本点处的残差为.6.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由直线可得其斜率.因双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其斜率.因双曲线的渐近线方程为，故，则的离心率为.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出函数关系式，再代入求值.解答过程：由题意得，是正的常数，故，两边取对数得，故，所以14h后所剩污染物为.8.已知锐角，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值.解答过程：由得，即，由于，为锐角，故，设，则，令，当且仅当时取到等号.故的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用作差法来比较大小可判断AB，利用指数函数单调性可判断C，利用基本不等式可判断D.解答过程：因为所以，即，故A正确；因为，所以，即，故B正确；因为，不能确定指数函数是增函数，即不一定成立，故C错误；因为，所以，当且仅当时取等号，即，故D正确；故选：ABD10.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A.当时，B.曲线在处的切线斜率为C.方程在区间内恰有两个实根D.当时，答案：BD解析：思路：先求，再结合奇偶性即可判断A；根据导数的几何意义即可判断B；直接判断的符号即可判断C；构建函数，利用导数判断函数的单调性，得出即可判断D.解答过程：当时，，则，又因为函数为奇函数，所以，故A错误；由A知，当时，，所以，所以在处的切线斜率为，故B正确；由题意知时仍满足，当时，在内，恒成立，无零点；当时，在内，恒成立，无零点；故C错误；令，，则，当时，恒成立，函数单调递增，所以，即，故D正确.11.（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：根据正方体及外接球的特征判断即可.解答过程：当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________.答案：解析：思路：令即可将等式右边化为所求式子，然后计算.解答过程：令，则，所以，所以.13.已知向量，，若在上的投影向量为，则________．答案：解析：解答过程：因为在上的投影向量为，所以.14.已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______.答案：解析：解答过程：由题意知，，，所以，所以.四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且.（1）求角C；（2）若，的面积为，D为边的中点，求的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可;（2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可.（1）因为,,且,所以,由正弦定理可得:，即,由余弦定理得:，所以,又,所以.（2）因为,由三角形面积公式得:，解得,因为D为边的中点，所以，在中，，即，所以.16.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明过程见解析.（2）解析：思路：（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可.（1）设的中点为，连接.因为分别为的中点，所以，且.在直三棱柱中，，且，所以，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系，设直三棱柱的侧棱长，可得

三棱锥​，到底面的距离为，，因此，解得.则向量，，，设平面的法向量为，则，​

令，得，，即；平面​的一个法向量为；设两个平面夹角为，则.即两个平面的夹角余弦值为.17.已知函数．（1）求证：不是函数的极值点；（2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明过程见解析（2）存在，当时，函数的最小值为2解析：思路：（1）方法一：利用反证法证明即可.方法二：对函数求导，分类讨论的单调性，结合函数的极值点定义证明即可.（2）分类讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2.（1）方法一：函数的定义域为，，若为函数的极值点，则必有，由得，当时，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号，所以在上单调递增，不是的极值点，当时，，故不是的极值点，综上，不是函数的极值点，方法二：函数的定义域为，.当时，.令，则.当时，在上恒成立，则在上单调递减，即在上单调递减.当时，；当时，；因连续，故在的邻域内，单调递减，所以不是极值点.当时，令，即，解得.若，即，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，所以单调递增，所以不是极值点.若，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值.当时，，所以，即，所以单调递增，所以不是极值点.当时，，在和上各有一个零点，设为，，在上，，，单调递减；在和在上，，，单调递增；所以不是极值点.综上，不是函数的极值点.（2）由（1）知，，..当时，在上，，单调递减，所以，不符合题意.当时，令，即，解得.若，即时，在上，，单调递减，所以，不符合题意.若，即时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以.令，解得，符合题意.综上，存在，使得函数的最小值为2.18.“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：单位：人学历使用情况合计经常使用不经常使用本科及以上6535100本科以下5050100合计11585200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？（2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．（i）求比赛结束后甲获胜的概率；（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关（2）（i）；（ii）解析：思路：(1)先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断；(2)（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可；（ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可.（1）由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，，所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不