2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.计算：=（）A. B.1 C. D.2.设向量=（m,1），=（2，m），则“m=”是“∥”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件

C.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件3.样本数据11，12，14，14，15，22，24，30，46的30%分位数为（）A.14 B.16 C.18 D.204.空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m,n,则下列命题正确的是（）A.若α⊥β，m⊥α，m⊥n,则n∥β

B.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

C.若α⊥β，n⊥β，则n∥α

D.若n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β5.某段道路在一天中的汽车时速的频率分布直方图如图所示，则（）A.a=0.1

B.时速的众数估计值是60

C.时速的中位数估计值是62.5

D.时速的平均数估计值大于其中位数的估计值6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列结论错误的是（）A.若sinA＞sinB，则a＞b

B.若B=60°，，c=2，则符合条件的三角形有且仅有1个

C.若sin2A=sin2B，则A=B

D.若△ABC的面积，则7.一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.8.在四棱锥S-ABCD中，DA，DC，DS两两垂直，∠ASB=∠BSC=∠CSD=∠DSA，若∠ASC=α，∠BSD=β，AS与平面DCS所成的角为γ，则以下结论正确的是（）A.β＜α＜γ B.β＜γ＜α C.γ＜β＜α D.γ＜α＜β二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若，，，则（）A.事件A与B不互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.10.已知复数，z1，z2（i为虚数单位），则下列结论中正确的是（）A.1+ω+ω2=0 B.ω3=1

C.若=，则|z1|=|z2| D.若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1z2=011.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是侧面ADD1A1内的一点（包含边界），E是棱CC1上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当P为A1D的中点时，不存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1

B.存在点P，E，使得平面B1D1P∥平面EBD

C.过点A，P，E的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形

D.当E与C重合且时，点P的轨迹长度为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正三棱柱的底面边长为，高为20，则该棱柱内部能容纳的体积最大的球的表面积为

.13.若函数f（x）=2sin2ωx+sin2ωx（ω＞0）在区间（0，π）上恰有两个零点，则ω的最大值是

.14.三棱锥D-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，△ADC为正三角形，二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

一个不透明的袋子中装有m个红球和n个绿球（m,n∈N*），这些球除颜色外都相同.现有放回地从袋中依次取2个球.

（1）当m=2，n=1时，记两个红球为Ri（i=1，2），绿球为G，写出试验的样本空间Ω和样本点个数n（Ω）；

（2）若m=3，且取出的2个球都是红球的概率为.

①求n的值；

②求取到的2个球颜色不同的概率.16.(本小题15分)

如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设=，=.

（1）用向量，表示和；

（2）若AB=3，∠BAD=60°，求cos∠BFE.17.(本小题15分)

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，D是AB的中点.

（1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）已知E为A1B1中点，平面A1CD与平面A1B1C1的交线为l,求证：l∥C1E；

（3）求三棱锥B-A1CD的体积.

（注：本题用空间向量作答不给分）18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.

（1）求A；

（2）若点D是边BC上靠近点B的三等分点，且，求的值；

（3）若△ABC是锐角三角形，且a=3，求△ABC面积的取值范围.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且PA=2，AB=4，AC⊥BC.

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）当AC=2时，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值；

（3）当1≤AC≤2时，求二面角A-PB-C的正弦值的取值范围.（注：本题用空间向量作答不给分）

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AC

10.【答案】ABC

11.【答案】BCD

12.【答案】4π

13.【答案】

14.【答案】13π

15.【答案】Ω={R1R1，R1R2，R1G，R2R1，R2R2，R2G，GR1，GR2，GG}，

n（Ω）=9

①n=4，②

16.【答案】=+，=-

-

17.【答案】证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O为AC1的中点，

因为D是AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂面A1CD，BC1⊄面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD；

证明：因为D，E分别为AB，A1B1的中点，

所以DE∥AA1∥CC1，DE=AA1=CC1，所以四边形CC1ED为平行四边形，

因此CD∥C1E，又因C1E⊄面A1CD，CD⊂面A1CD，所以C